二叉树的构造(如何唯一确定一棵二叉树?附证明)

news2024/12/28 21:01:09

二叉树的构造(如何唯一确定一棵二叉树?附证明)

一些直观的认识

▪ 同一棵二叉树具有唯一先序序列、中序序列和后序序列。

▪ 不同的二叉树可能具有相同的先序序列、中序序列和后序序列。

通过上面两个例子的验证：

▪ 仅有一个先序序列（或中序序列、后序序列），无法确定这颗二叉树的树形！

▪ 思考：给定先序序列、中序和后序遍历序列中任意两个，是否可以唯一确定这颗二叉树的树形？

二叉树的构造

（1）同时给定一棵二叉树的先序序列和中序序列，就能唯一确定棵二叉树？

• 是！

• 定理1

（2）同时给定一棵二叉树的中序序列和后序序列，就能唯一确定这棵二叉树？

• 是

• 定理2

（3）同时给定一棵二叉树的先序序列和后序序列，就能唯一确定这棵二叉树吗？

• 否

下面我们给出证明：

定理1

▪ 任何n(n>=0)个不同节点的二叉树,都可由它的中序序列和先序序列唯一地确定。

证明（数学归纳法）

• 基础: 当 n=0 时,二叉树为空,结论正确.

• 假设: 设节点数小于n的任何二叉树,都可以由其先序序列和中序序列唯一地确定

• 归纳: 已知某二叉树具有n(n>0)个不同节点,其先序序列是a₀a₁ …a_n-1;中序序列是b₀b₁…b_k-1b_k+1…b_n-1 .

▪ 先序遍历“根-左-右”,a₀ 必定是二叉树的根节点

▪ a₀ 必然在中序序列中出现,设在中序序列中必有某个b_k(0<=k<=n-1)就是根节点a₀。

• 由于bk是根节点,中序遍历“左-根-右”，故中序遍历中

▪ b₀b₁…b_k-1必是根节点b_k(a0)左子树的中序序列,即b_k的左子树有k个节点

▪ b_k+1…b_n-1必是根节点b_k(a0)右子树的中序序列,即b_k的右子树有n-k-1个节点

• 对应先序序列,紧跟在根节点a₀之后的k个节点a₁…a_k是左子树的先序序列,a_k+1…a_n-1,这n-k-1就是右子树的先序序列.

• 根据归纳假设,子先序序列a₁…a_k和子序序列b₀b₁…b_k-1可以唯一地确定根节点a₀的左子树,而先序序列a_k+1…a_n-1和子中序序列b_k+1…b_n-1可以唯一地确定根节点a₀的右子树.

通过上面的证明,我们从先序遍历和中序遍历进行逐层分解,唯一确定了一个二叉树.进而逆向证明了二叉树是可以通过其先序遍历和中序遍历唯一确定.

我们观察下面例子:

①通过先序遍历序列的第一个节点,即可确定二叉树的根。

②我们根据得到的根查找中序遍历序列,就可以找到此二叉树的根。

根据中序遍历的特点就可以得知:根节点的左边就是其左子树的中序遍历序列,其右边就是其右子树的中序遍历序列

③我们通过查找中序序列的根的左边的节点个数，就可以确定二叉树的左子树，根据根右边的节点个数，就可以确定二叉树的右子树。

④ 根据中序序列的第二个节点，就可以确定下一层级的根节点，然后拿这个根节点去查找中序遍历的序列，就可以找到此层级的左子树和右子树，以此类推。

所以我们可以根据上面证明的性质，进行二叉树的构造

算法实现

框架：

BTNode *CreateBT1(先序序列,中序序列,处理的本层级的二叉树节点个数)

{
	如果传入的二叉树节点个数是0,则返回空;

    否则,为新节点申请空间;
    
    在先序序列第一个节点确定二叉树的根;
    
    拿着根节点在中序序列找到根节点位置k;
    
    然后我们拿着这个序列就可以确定本层级的根的左右子树,
    就可以构造下一层级的二叉树了.

	返回构造的二叉树即可;        
}

代码实现:

//传入先序序列,中序序列,本层级处理的二叉树节点个数
BTNode *CreateBT1(char *pre,char *in,int n)
{
    //定义访问二叉树的指针
    BTNode *s;
    //定义寻找二叉树的根的中间变量
    char *p;
    //定义根节点的位置k
    int k;
    //先判断二叉树是否为空
    if(n<=0)
    {
        return NULL;
    }        
    //如果通过上述验证,则不为空,为根节点申请空间
    s = (BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));
    //根节点数据区赋值,即为先序序列pre的第一个字符
    s->data = *pre;
    //现在根找到了,就去找二叉树的左右子树
    //这就需要借助中序序列了,中序序列遍历顺序为左->根->右,所以先找到根,就可以找到其左子树
    //在中序中找根节点的位置k
    for(p=in;p<in+n;p++)	//in是传入的in数组开始的位置
    {
         if(*p==*pre)
         {
             break;
         }    
    }
    //找到根节点的位置,我们就找到了此层级的二叉树的根,同时我们也就可以通过中序序列数组                                    
    //确定二叉树左子树的个数和右子树的个数, 为下一层级构造做准备
	k = p-in;	//根开始位置减去数组开始位置,就是左子树个数
    //构造左右子树
    s->lchild = CreateBT1(pre+1,in,k);
    //pre+1:下一层级的左子树根,我们对先序序列指针后移一位
    //in: 中序序列,左子树仍然是从头开始
    //k : 左子树个数就是上面求的
	s->rchild = CreateBT1(pre+k+1,p+1,n-k-1);
    //右子树的根,我们既然已经知道左子树的个数,就知道根在先序序列第几位
    //pre+k+1: 右子树的先序序列是根右边的,我们通过查个数即可知道其开始的位序=开始+左子树+1
    //p+1: 右子树的中序序列是根右边开始的,所以从根的位置p+1即可
    //n-k-1: 右子树的个数是总是减去左子树,再减去根
    //最后返回构造的二叉树即可
    return s;
}