Python计算特征值与特征向量案例+传统方法+雅可比Jacobi迭代法

news2024/11/28 11:33:45

{1}几个例子🌰

{2}特征值

{3}奇异矩阵

{4}特征向量

{5}特征值和特征向量的计算方法

特征值性质

特征向量性质

{6}巩固练习

{7}迭代法

什么时候收敛？收敛速度如何？

{8}雅可比迭代法

{1}几个例子🌰

例1：

import numpy as np
A = np.array([[3,-1],[-1,3]])
print('输出矩阵A:\n',A)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(A)
print('输出矩阵A特征值eigenvalue:\n',eigenvalue)
print('输出矩阵A特征向量eigenvector:\n',eigenvector)

输出：

输出矩阵A:
 [[ 3 -1]
 [-1  3]]
输出矩阵A特征值eigenvalue:
 [4. 2.]
输出矩阵A特征向量eigenvector:
 [[ 0.70710678  0.70710678]
 [-0.70710678  0.70710678]]

例2：

import numpy as np
A = np.array([[-1,1,0],[-4,3,0],[1,0,2]])
print('打印矩阵A:\n',A)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(A)
print('打印矩阵A特征值:\n',eigenvalue)
print('打印矩阵A特征向量:\n',eigenvector)

输出：

打印矩阵A:
 [[-1  1  0]
 [-4  3  0]
 [ 1  0  2]]
打印矩阵A特征值:
 [2.+0.00000000e+00j 1.+1.57775604e-09j 1.-1.57775604e-09j]
打印矩阵A特征向量:
 [[ 0.        +0.00000000e+00j -0.40824829+3.22058103e-10j
  -0.40824829-3.22058103e-10j]
 [ 0.        +0.00000000e+00j -0.81649658+0.00000000e+00j
  -0.81649658-0.00000000e+00j]
 [ 1.        +0.00000000e+00j  0.40824829+3.22058103e-10j
   0.40824829-3.22058103e-10j]]

例子3：

import numpy as np
A = np.array([[-2,1,1],[0,2,0],[-4,1,3]])
print('输出矩阵A:\n',A)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(A)
print('输出矩阵特征值:\n',eigenvalue)
print('输出矩阵特征向量:\n',eigenvector)

输出：

输出矩阵A:
 [[-2  1  1]
 [ 0  2  0]
 [-4  1  3]]
输出矩阵特征值:
 [-1.  2.  2.]
输出矩阵特征向量:
 [[-0.70710678 -0.24253563  0.30151134]
 [ 0.          0.          0.90453403]
 [-0.70710678 -0.9701425   0.30151134]]

{2}特征值

{3}奇异矩阵

判断矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。

看矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。

若|A|≠0可知矩阵A可逆，可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。　

若A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。

若A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

{4}特征向量

一旦己知矩阵的特征值，则通过解上图中式（3.73）给出的齐次线性方程组，可获得对应的特征向量。由于 $M-\lambda _{i}I$ 是一个奇异矩阵，其对应的简约矩阵至少有1行元素全部为 0，因此，该方程组有无穷多个解。式（3.72）一个明显的性质是，如果 $V_{i}$ 是与特征值 $\lambda _{i}$ 对应特征向量，则其与标量的乘积 $aV_{i}$ 也为特征向量，a可以为任意非0常数，如果需要，特征向量可以写成单位长度为1的形式。

对于nxm矩阵M来说，当且仅当，对任意的i和j，有 $M_{ij}=M_{ji}$ ，则该矩阵M为对称矩阵。也就是说，一个矩阵的元素相对主对角线对称，则称该矩阵为对称矩阵。

由实数元素组成的对称矩阵M的特征值为实数。

对称矩阵M的两个不同特征值分别对应的特征向量正交。

{5}特征值和特征向量的计算方法

特征值性质

特征向量性质

n 阶矩阵A 的互不相等的特征值 $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m}$ 对应的特征向量 $\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{m}$ 线性无关。

若 $\lambda _{i}$ 为矩阵A的 $k$ 重特征值，则属于特征值 $\lambda _{i}$ 的线性无关的特征向量的个数不超过其特

征值的重数 $k$ 。

若 $\xi _{1},\xi _{2}$ 为特征值 $\lambda _{i}$ 对应的特征向量，则其非零线性组合 $k_{1}\xi _{1}+k_{2}\xi _{2}$ （ $k_{1},k_{2}$ 为不全为零

的常数）也是属于特征值入 $\lambda _{i}$ 的特征向量。

{6}巩固练习

例1

解答

import numpy as np
A = np.array([[1,2,2],[2,1,2],[2,2,1]])
print('输出矩阵A:\n',A)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(A)
print('输出矩阵特征值:\n',eigenvalue)
print('输出矩阵特征向量:\n',eigenvector)

输出矩阵A:
 [[1 2 2]
 [2 1 2]
 [2 2 1]]
输出矩阵特征值:
 [-1.  5. -1.]
输出矩阵特征向量:
 [[-0.81649658  0.57735027  0.03478434]
 [ 0.40824829  0.57735027 -0.72385699]
 [ 0.40824829  0.57735027  0.68907264]]

例2

解答

import numpy as np
A = np.array([[2,-3,1],[1,-2,1],[1,-3,2]])
print('输出矩阵A:\n',A)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(A)
print('输出矩阵特征值:\n',eigenvalue)
print('输出矩阵特征向量:\n',eigenvector)

输出矩阵A:
 [[ 2 -3  1]
 [ 1 -2  1]
 [ 1 -3  2]]
输出矩阵特征值:
 [1.45253876e-15 1.00000000e+00 1.00000000e+00]
输出矩阵特征向量:
 [[ 0.57735027  0.86169762 -0.01087995]
 [ 0.57735027  0.39386989  0.31294319]
 [ 0.57735027  0.31991206  0.94970953]]

例3

解答

import numpy as np
A = np.array([[2,-1,2],[5,-3,3],[-1,0,-2]])
print('输出矩阵A:\n',A)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(A)
print('输出矩阵特征值:\n',eigenvalue)
print('输出矩阵特征向量:\n',eigenvector)

输出矩阵A:
 [[ 2 -1  2]
 [ 5 -3  3]
 [-1  0 -2]]
输出矩阵特征值:
 [-0.99999912+1.51927785e-06j -0.99999912-1.51927785e-06j
 -1.00000175+0.00000000e+00j]
输出矩阵特征向量:
 [[-0.57735027+8.77151627e-07j -0.57735027-8.77151627e-07j
   0.57735027+0.00000000e+00j]
 [-0.57735078+0.00000000e+00j -0.57735078-0.00000000e+00j
   0.57734926+0.00000000e+00j]
 [ 0.57734976-1.75430479e-06j  0.57734976+1.75430479e-06j
  -0.57735128+0.00000000e+00j]]