完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
在这里插入图片描述
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上：
01背包的遍历：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次.
完全背包的遍历：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历.

完整的测试代码如下：

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

题目一：LeetCode 518. 零钱兑换 II

确定dp数组下标及其含义
dp[j]：凑成总金额为j的货币组合数为dp[j]
确定递推公式

dp[j] += dp[j-coins[i]]

dp数组初始化
dp[0] = 1，其他初始化为0
确定遍历顺序
这题求的组合数，组合元素之间是不区分顺序的，所以应该先遍历物品，再遍历背包。如果先遍历背包再遍历物品得到的就是排列数了。
举例dp数组

完整的代码实现如下：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount+1,0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.size(); i++){
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

题目二：LeetCode 377. 组合总和 Ⅳ

确定dp数组及其下标的含义
dp[j]：凑成目标正整数为j的排列个数为dp[j]
确定递推公式

dp[j]  += dp[j - nums[i]]

初始化dp数组
dp[0] = 1，其他初始化为0
确定遍历顺序
这道题题目虽然叫组合，但其实求的是排列，因此外层for循环遍历背包，内层for循环遍历物品。
5.举例推导dp数组

nums = [1,2,3]，target = 4
dp[0] = 1
dp[1] = dp[0] = 1
dp[2] = dp[1] + dp[0] = 2
dp[3] = dp[2] + dp[1] + dp[0] = 4
dp[4] = dp[3] + dp[2] + dp[1] = 7

完整的代码实现如下：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target+1,0);
        dp[0] = 1;
        for(int j = 0; j <= target; j++){   //遍历背包
            for(int i = 0; i < nums.size(); i++){	//遍历物品
                if(j >= nums[i] && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]])
                    dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        } 
        return dp[target];
    }
};