数据结构–图定义与基本术语

图的定义

图G由$顶点集V$和$边集E$组成，记为G = (V, E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；
E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。若$V=v_1,v_2,\dots ,v_n$，则用|V|表示图G中顶点的个
数，也称图G的阶，$E=\{(u,v)\mid u\in V,v\in V\}$，用|E|表示图G中边的条数。

注意：
$线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，即V一定是非空集$

图逻辑结构的应用

无向图、有向图

若E是$无向边$（简称$边$）的有限集合时，则图G为无向图。
边是顶点的无序对，记为$(v,w)或(w,v)$，因为(v, w) = (w, v)，其中v、w是顶点。可以说顶点w和顶点v互为邻接点。边(v, w)依附于顶点w和v，或者说边(v, w)和顶点v、w相关联。

G 2 = ( V 2 , E 2 ) V 2 = { A , B , C , D , E } E 2 = { ( A , B ) , ( B , D ) , ( B , E ) , ( C , D ) , ( C , E ) , ( D , E ) } \begin{aligned} &G_{2} =(V_{2},E_{2}) \\ &V_{2} =\{A,B,C,D,E\} \\ &E_{2} =\{(A,B),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)\} \end{aligned} ​G2​=(V2​,E2​)V2​={A,B,C,D,E}E2​={(A,B),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}​

若E是$有向边$（也称$弧$）的有限集合时，则图G为$有向图$。
弧是顶点的有序对，记为$<v,w>$，其中v、w是顶点，v称为$弧尾$，w称为$弧头$，<v, w>称为从顶点v到顶点w的弧，也称
v邻接到w，或w邻接自v。$<v,w>\ne <w,v>$

G 1 = ( V 1 , E 1 ) V 1 = { A,B,C,D,E } E 1 = { <A,B>,<A,C>,<A,D>,<A,E>,<B,A>,<B,C>,<B,E>,<C,D> \begin{array}{l}G_1=(V_1,E_1)\\V_1=\{\textsf{A,B,C,D,E}\}\\E_1=\{\textsf{<A,B>,<A,C>,<A,D>,<A,E>,<B,A>,<B,C>,<B,E>,<C,D>}\\\end{array} G1​=(V1​,E1​)V1​={A,B,C,D,E}E1​={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<A,E>,<B,A>,<B,C>,<B,E>,<C,D>​

简单图、多重图

简单无向图:

简单有向图:

$简单图$:
① 不存在重复边；
② 不存在顶点到自身的边

多重无向图:

多重有向图:

$多重图$:
图G中某两个结点之间的边数多于
一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，
则G为多重图

顶点的度、入度、出度

对于$无向图$：$顶点v的度$是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)。
在具有n个顶点、e条边的无向图中，${\sum }_{i=1}^n\mathrm{TD}(v_i)=2e$
即无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍

对于$有向图$：
$入度$是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)；
出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)。
顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v) = ID(v) + OD(v)。
在具有n个顶点、e条边的有向图中, ${\sum }_{i=1}^n\mathrm{ID}({\nu }_i)={\sum }_{i=1}^n\mathrm{OD}({\nu }_i)=e$

顶点-顶点的关系描述

顶点之间有可能不存在路径:

有向图的路径也是有向的:

• $路径$——顶点vp到顶点vq之间的一条路径是指顶点序列 ，$v_p,v_{i_1},v_{i_2},\cdots ,v_{i_m},v_q$
• $回路$——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环
• $简单路径$——在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。
• $简单回路$——除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。
• $路径长度$——路径上边的数目
• $点到点的距离$——从顶点u出发到顶点v的$最短路径$若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离。
若从u到v根本$不存在路径$，则$记该距离为无穷（\infty ）$。
• $无向图$中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是$连通$的
• $有向图$中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是$强连通$的

连通图、强连通图

若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为
连通图，否则称为非连通图。
若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。

$常见考点：$
对于n个顶点的无向图G，
若G是$连通图$，则$最少$有 n-1 条边
若G是$非连通图$，则$最多$可能有 $C_{n-1}^2$ 条边

若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为
$强连通图$。

$常见考点$：
对于n个顶点的有向图G，
若G是$强连通图$，则$最少$有 n 条边（形成回路）

研究图的局部——子图

设有两个图G =（V，E)和G′ =（V’，E’)，若V’是V的子集，且E′是E的子集，则称G’是G的$子图$

若有满足V(G’)=V(G)的子图G’9则称其为G的$生成子图$

$并非任意挑几个点、几条边都能构成子图$

连通分量

无向图中的$极大连通子图$称为连通分量。

极大连通子图:子图必须连通，且包含尽可能多的顶点和边

G的三个连通分量:

强连通分量

强连通分量（Strongly Connected Component，简称SCC）是指有向图中的一个子图，其中$任意两个顶点之间都存在有向路径$。

G的三个强连通分量:

生成树

$连通图$的$生成树$是$包含图中全部顶点的一个极小连通子图$。
若图中顶点数为n，则它的生成树含有 n-1 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

G的生成树:

生成森林

在$非连通图$中，$连通分量的生成树$构成了非连通图的$生成森林$。

G的连通分量$\to$G的生成森林

边的权、带权图/网

给各边赋予一个权值——实际距离

给各边赋予一个数值——转发概率

$边的权$——在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。
$带权图/网$——边上带有权值的图称为$带权图$，也称$网$。
$带权路径长度$——当图是带权图时，一条$径上所有边的权值之和$，称为该路径的带权路径长度

几种特殊形态的图

$无向完全图$——无向图中任意两个顶点之间都存在边

若无向图的顶点数|V|=n，则$|E|\in [0,C_n^2]=[0,n(n-1)/2]$

$有向完全图$——有向图中任意两个顶点
之间都存在方向相反的两条弧
若有向图的顶点数|V|=n，则$|E|\in [0,2C_n^2]=[0,n(n-1)]$

边数很少的图称为$稀疏图$

反之称为$稠密图$

没有绝对的界限，一般来说|E| < |V|log|V|时，可以将G视为稀疏图

$树$——$不存在回路$，且$连通$的$无向图$

n个顶点的树，必有n-1条边。
常见考点：n个顶点的图，$若|E|>n-1，则一定有回路$

$有向树$——一个顶点的入度为0、其余顶点的
入度均为1的$有向图$，称为有向树。

知识回顾与重要考点

常见考点：
对于n个顶点的$无向图$G，
• 所有顶点的度之和=2|E|
• 若G是连通图，则最少有 n-1 条边（树），若 |E|>n-1，则一定有回路
• 若G是非连通图，则最多可能有 $C_{n-1}^2$
• 无向完全图共有$C_n^2$条边

对于n个顶点的$有向图$G，
• 所有顶点的出度之和=入度之和=|E|
• 所有顶点的度之和=2|E|
• 若G是强连通图，则最少有 n 条边（形成回路）
• 有向完全图共有 $2C_n^2$ 条边