Day51|309.最佳买卖股票时机含冷冻期、714.买卖股票的最佳时机含手续费

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

1.题目：

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown

2.思路：

动规五部曲，分析如下：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

出现冷冻期之后，状态其实是比较复杂度，例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期，都是不能操作股票的。

具体可以区分出如下四个状态：

状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
- 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
- 状态三：今天卖出股票
状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

j的状态为：

0：状态一
1：状态二
2：状态三
3：状态四

很多题解为什么讲的比较模糊，是因为把这四个状态合并成三个状态了，其实就是把状态二和状态四合并在一起了。

从代码上来看确实可以合并，但从逻辑上分析合并之后就很难理解了，所以我下面的讲解是按照这四个状态来的，把每一个状态分析清楚。

如果大家按照代码随想录顺序来刷的话，会发现买卖股票最佳时机 1，2，3，4 的题目讲解中

动态规划：121.买卖股票的最佳时机(opens new window)
动态规划：122.买卖股票的最佳时机II(opens new window)
动态规划：123.买卖股票的最佳时机III(opens new window)
动态规划：188.买卖股票的最佳时机IV(opens new window)

「今天卖出股票」我是没有单独列出一个状态的归类为「不持有股票的状态」，而本题为什么要单独列出「今天卖出股票」一个状态呢？

因为本题我们有冷冻期，而冷冻期的前一天，只能是「今天卖出股票」状态，如果是「不持有股票状态」那么就很模糊，因为不一定是卖出股票的操作。

如果没有按照代码随想录顺序去刷的录友，可能看这里的讲解会有点困惑，建议把代码随想录本篇之前股票内容的讲解都看一下，领会一下每天状态的设置。

注意这里的每一个状态，例如状态一，是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票，而是说保持买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。

2.确定递推公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
操作二：今天买入了，有两种情况
- 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
- 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]

那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

操作一：前一天就是状态二
操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出

即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

昨天卖出了股票（状态三）

dp[i][3] = dp[i - 1][2];

3.dp数组如何初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。

保持卖出股票状态（状态二），这里其实从「状态二」的定义来说，很难明确应该初始多少，这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。

如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，那么大家感受一下 dp[0][1] （即第0天的状态二）应该初始成多少，只能初始为0。想一想如果初始为其他数值，是我们第1天买入股票后手里还剩的现金数量是不是就不对了。

今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0][2]初始化为0，dp[0][3]也初始为0。

4.确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

最后结果是取状态二，状态三，和状态四的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。
3.代码：

public int maxProfit(int[] prices) {
        //状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
        //不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
        //状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
        //状态三：今天卖出股票
        //状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
        int[][] dp=new int [prices.length][4];
        dp[0][0]=-prices[0];
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],Math.max(dp[i-1][1]-prices[i],dp[i-1][3]-prices[i]));
            dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][1]);
            dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];
            dp[i][3]=dp[i-1][2];
        }
        return Math.max(dp[prices.length-1][1],Math.max(dp[prices.length-1][2],dp[prices.length-1][3]));
    }

714.买卖股票的最佳时机含手续费

1.题目：

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee

2.思路：

相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)，本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。

唯一差别在于递推公式部分，所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了，主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]

所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况，依然可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee

所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);

本题和动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。
3.代码：

 public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        //dp[i][0]是第i天持有股票
        //dp[i][1]是第第i天不持有股票
        int[][] dp=new int[prices.length][2];
        dp[0][0]=-prices[0];
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
            dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]-fee);
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }