70.爬楼梯（进阶）

文章讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

题目链接：programmercarl

题目：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

分析：

确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶有dp[i]种方法
确定递推公式

dp[i] += dp[i - j]；
dp数组如何初始化

由递推公式可得dp[0] = 1
确定遍历顺序

因为{1，2}和{2，1}不同，相当于是排列问题，所以target放在外循环，nums放在外循环，nums可以重复使用，所以从左向右遍历
举例来推导dp数组

class Solution {
public:
    int climbStais(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

题目中将m改为2 就可以 AC 代码了

322.零钱兑换

文章讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

题目链接：322. 零钱兑换 - 力扣（LeetCode）

题目：

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

分析：

确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑总金额i需要的最少硬币个数
确定递推公式

凑总金额为 j - coins[i] 需要的最少硬币数为 dp[j - conis[i]]，那么加上一个硬币coins[i] 数量 + 1

所以 dp[j] = min(dp[j], dp[j - conis[i]] + 1);
dp数组如何初始化

dp[0] = 0; 其他的为了可以被覆盖，初始化为最大值；
确定遍历顺序

最小个数，跟组合和排列无关，所以两个for循环都可以。因为硬币的数量可以无限使用，所以是完全背包，内循环是正循环；
举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT32_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                if (dp[j - coins[i]] != INT32_MAX) {
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT32_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

279.完全平方数

文章讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

题目链接：279. 完全平方数 - 力扣（LeetCode）

题目：

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。

完全平方数是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

分析：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
dp数组如何初始化

dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
确定遍历顺序

我们知道这是完全背包，

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！
举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT32_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};