小蓝本 第一本《因式分解技巧》 第二章 应用公式 笔记（第二天）
- 前言
- 二代——应用公式
- 常见公式
- 公式场景
- 公式分类
- 基本
- 间接推导
- 公式(9)、(10)的推导
- 问题
- 分解方法
- 方法1
- 方法2
- 公式推导
- 总结：对照思想
- 小技巧与注意事项
- 习题2
- 题目
- 题解
- 经验
前言
第二天open
二代——应用公式
常见公式
(1)
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a2−b2=(a+b)(a−b)
(2)
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
(3)
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
(4)
a
2
+
2
a
b
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a2+2ab+b2=(a+b)2
(5)
a
2
−
2
a
b
+
b
2
=
(
a
−
b
)
2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
a2−2ab+b2=(a−b)2
(6)
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
=
(
a
+
b
)
3
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
(7)
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
=
(
a
−
b
)
3
a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3
a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3
(8)
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
b
c
+
2
c
a
=
(
a
+
b
+
c
)
2
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
(9)
a
4
+
a
2
b
2
+
b
4
=
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)
a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
(10)
a
6
−
b
6
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)
a6−b6=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
(11)an + bn=(a+b)(an-1 - an-2b+an-3b^2 - … - abn-2+bn-1) (n为正奇数)
(12)an - bn=(a-b)(an-1 + an-2b+an-3b^2 + … + abn-2+bn-1) （n为正奇数）
公式场景
- 公式(1)理论上用的最多
- 公式(2)、(3)符号极容易搞错，请注意
- 公式(4)、(5) 是公式(8)的特例
公式分类
基本
- 平方差: (1)
- 完全平方：(4) (5) (8)
- 立方和与立方差： (2) (3)
- 完全立方：(6) (7)
平方式一般用十字相乘法解决 --> 见第五章
间接推导
(9) (10) (11) (12)
公式(9) 在第四章有另一种方式的推导
公式(9)、(10)的推导
问题
因式分解 a 6 − b 6 a^6-b^6 a6−b6
分解方法
方法1
公式(3)+公式(1)
原式
=
(
a
2
)
3
−
(
b
2
)
3
= (a^2)^3-(b^2)^3
=(a2)3−(b2)3
=
(
a
2
−
b
2
)
(
a
4
+
a
2
b
2
+
b
4
)
=(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)
=(a2−b2)(a4+a2b2+b4)
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
4
+
a
2
b
2
+
b
4
)
=(a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)
=(a+b)(a−b)(a4+a2b2+b4)
方法2
公式(1)+公式(2)+公式(3)
原式
=
(
a
3
)
2
−
(
b
3
)
2
=(a^3)^2-(b^3)^2
=(a3)2−(b3)2
=
(
a
3
+
b
3
)
(
a
3
−
b
3
)
=(a^3+b^3)(a^3-b^3)
=(a3+b3)(a3−b3)
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)
=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
公式推导
∵
(
a
2
)
3
−
(
b
2
)
3
=
(
a
3
)
2
−
(
b
3
)
2
(a^2)^3-(b^2)^3=(a^3)^2-(b^3)^2
(a2)3−(b2)3=(a3)2−(b3)2
∴
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
4
+
a
2
b
2
+
b
4
)
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)
(a+b)(a−b)(a4+a2b2+b4)=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
∴
a
4
+
a
2
b
2
+
b
4
=
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)
a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
∴公式(9)推导如此
∴
a
6
−
b
6
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)
a6−b6=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
∴公式(10)推导如此
总结：对照思想
因式分解同一个整式如果有多种走向，最终结果不一样时，对比一下，就可以得到新的公式
小技巧与注意事项
- 因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止
- 按某个字母的降幂排列是一个简单而有用的措施（简单的往往是有用的）
习题2
题目
题解
经验
提升把代数式整体看成一个字母的意识
