目录
- 完全背包
- 518. 零钱兑换 II
- 377. 组合总和 Ⅳ
- 参考
完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
关于动规五部曲，01背包和完全背包唯一不同的就是体现在遍历顺序上，
01背包 一维dp 在 遍历背包时，是从 小 到 大去遍历，因为每个物品可以添加多次。
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！
- 先物品，再背包 行方向遍历
- 先背包，再物品，列方向遍历
即可以先物品再背包，或者先背包再物品，因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。 即无论 按 行，或者按列，填充 dp[j]， 都是从 小 到大， 而 dp[j] 是根据先前的dp[j]计算出来的，所以没影响。
代码
先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
518. 零钱兑换 II
518题目链接
注意：本题是要求凑成总金额的物品组合个数！ 组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。
dp[j]：
凑成总金额 j 的货币组合数为dp[j]
递推公式： dp[j] += dp[j - coins[i]];
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
类似于爬楼梯的最后一步的不同情况 之和， 另一种解释 见 494、目标和
dp 初始化
dp[0] = 0， 如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j - coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
遍历顺序：
和之前的完全背包理论的遍历顺序不一致，是因为完全背包理论基础求的是 价值总和，无论是 组合 还是 排列， 价值总和是一致的。 但是本题求的是 凑成总金额的物品组合个数。
- 先物品再背包，计算出的是 组合数
因为外层循环是 物品，相当于只遍历了一轮，这样可以确保顺序唯一，不会重复计算不同的排列。
先把1放到背包里面，去遍历一遍，然后再把2放进来遍历一遍，所以计算的集合就是{1， 2} 不会出现{2, 1}
- 先背包再物品，计算出的是 排列数。
如果物品在后，就会遍历多轮，这个确实不太好想，建议自己举个简单例子，手动推导下，便于理解。
每一个背包容量都是 1，2 的情况下进行遍历，每一个容量下都 放了 1 2，所以说，这里面 既有 {1， 2} 也有 {2， 1}
代码
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coins[i]];
// cout << "i: " << i << " " << "j: " << j << " " << "dp[j]: " << dp[j] << endl;
}
}
// for (int j = 0; j <= amount; j++) {
// for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
// if (j < coins[i]) continue;
// dp[j] += dp[j - coins[i]];
// cout << "i: " << i << " " << "j: " << j << " " << "dp[j]: " << dp[j] << endl;
// }
// }
return dp[amount];
}
};
377. 组合总和 Ⅳ
377题目链接
dp[j]:
凑成目标正整数为j的排列个数为dp[j]
递推公式：
dp[j] += dp[j- nums[i]];
dp初始化：
dp[0] = 1, 其余非零下标 初始化为 0
遍历顺序：
由于该题目求解的为 排列数，所以先背包，再物品
代码
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<long int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int j = 0; j <= target; j++) {
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (j < nums[i] || dp[j] > INT_MAX - dp[j - nums[i]]) continue;
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[target];
}
};
参考
代码随想录 —— 完全背包
