一、概念
1、树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树，是因为它看起来像是一棵倒挂的树，也就是说它的根在上，而叶子在下。
如果一个数的结点n为0，那么这个树叫做空树。反之，如果结点n>0,那么这个树是非空树T。
结点：树中的一个独立单元，如6、1、20、43等都是结点
结点的度：结点拥有的字数的个数或者分支的个数。例如6有3棵子树，那么结点6的度就是3。
树的度：树中各结点的度的最大值
叶子结点：又叫做终端结点。指度为0的结点，例如图中的5,23,29,8,32,10,0都是叶子结点。
非终端结点：又叫做分支结点。指度不为0的结点。
孩子：结点子树的根。如 6结点的孩子为1,20,43。
双亲：与孩子的定义对应。如 1,20,43结点的双亲为6。
兄弟：同一个双亲的孩子之间互为兄弟。如 1,20，43互为兄弟。
祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。
子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。
层次：结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。
堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
树的深度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。
有序树和无序树：如果将树中的结点的各子树看成从左到右是有次序的（即不能互换），则称该树为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
森林：是m(m>0)棵互不相交的树的集合。
2、二叉树
二叉树（Binary Tree）是n(n>=0)个节点所构成的集合，每个节点最多有两棵子树，子树又有左右之分，分为左子树和右子树。
二叉树共有5种形态：
- 空二叉树
- 只有一个根结点的二叉树
- 只有左子树的二叉树
- 只有右子树的二叉树
- 既有左子树又有右子树的二叉树
（1）满二叉树
如果一棵二叉树所有的分支节点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子节点都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树
满二叉树具有如下特点：
叶子只能出现在最下一层
非叶子节点的度一定是2
同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。
（2）完全二叉树
若二叉树的高度为h，除第h层外，其他（1~h-1层）的结点数都达到了最大个数，第h层有叶子节点，并且叶子节点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。
完全二叉树的特点：
- 叶子节点只能出现在最下两层
- 最下层叶子节点在左侧并且连续
- 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小
注意：满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树。
二叉树的存储结构有两种方式：顺序存储和链式存储
（3）二叉搜索树（二叉排序树）
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于根结点的值。
- 它的左右子树也分别是二叉搜索树
注意：二叉搜索树的中序遍历的结果是有序的。
（4）平衡二叉树（又成AVL树）
用于解决二叉排序树高度不确定的情况，如果二叉排序树的高度相差太大，就会让二叉排序树的时间复杂度升级为O(n)，为了避免这一情况，就出现了平衡二叉树，使树的高度尽可能的小，其本质还是一棵二叉搜索树。
平衡二叉树的性质：
- 左子树和右子树的高度之差的绝对值小于等于1
- 左子树和右子树也是平衡二叉树
（5）红黑树
红黑树的特性：
- 每个节点要么是红色，要么是黑色
- 根结点为黑色
- 每个叶子节点（NIL）均为黑色【注：这里的叶子节点指的是空（NIL或者NULL）的叶子节点】
- 如果一个节点是红色，那么它的子节点必定是黑色
- 从一个节点到该节点的子孙节点NIL的所有路径上包含相同数据的黑色节点。【注：这里指到叶子节点的路径。】
特别说明：
- 特性第三条指的叶子节点为空（NIL或NULL）的结点
- 特性第五条，确保没有一条路径会比其他路径长出两倍。因为红黑树是相对接近平衡二叉树的。
红黑树的应用：
红黑树可以用来存储有序数据，时间复杂度是O(logn),效率非常高。例如，Java集合中的TreeSet和TreeMap都是通过红黑树来实现的。
红黑树的基本操作——左旋和右旋:
红黑树在删除或者添加节点滞后，很有可能破坏原有的红黑树结构特性，这时候旋转操作就必不可少了，这和AVL树有一点点相像。总而言之，旋转的目的是为了保持红黑树的特性。
左旋
对节点F进行左旋，意味着将节点F变为其右孩子节点R的左孩子结点，并将节点R的左子树变为节点F的右子树。
右旋
对节点F进行右旋，意味着将节点F变为其左孩子节点L的右孩子节点，并将节点L的右子树变为节点F的左子树
二、二叉树的实现及遍历
1、用Java代码实现一个二叉树的创建
（1）创建一个二叉树的结点：
public static class TreeNode {
public int value;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(int value) {
this.value = value;
}
}（2）创建二叉树：
/**
* 创建二叉树
*
* @return
*/
public TreeNode createBinaryTree(LinkedList<Integer> linkedList) {
TreeNode treeNode = null;
if (linkedList == null || linkedList.size() == 0) return treeNode;
Integer value = linkedList.removeFirst();
if (value != null) {
treeNode = new TreeNode(value);
treeNode.left = createBinaryTree(linkedList);
treeNode.right = createBinaryTree(linkedList);
}
return treeNode;
}2、二叉树的遍历
（1）先序遍历：
/**
* 二叉树遍历-先序遍历
*
* @param treeNode
*/
public void preOderBinaryTree(TreeNode treeNode) {
if (treeNode == null) return;
System.out.println(treeNode.value);
preOderBinaryTree(treeNode.left);
preOderBinaryTree(treeNode.right);
}（2）中序遍历：
/**
* 二叉树遍历-中序遍历
*
* @param treeNode
*/
public void midOrderBinaryTree(TreeNode treeNode) {
if (treeNode == null) return;
midOrderBinaryTree(treeNode.left);
System.out.println(treeNode.value);
midOrderBinaryTree(treeNode.right);
}（3）后序遍历：
/**
* 二叉树遍历-后序遍历
*
* @param treeNode
*/
public void postOrderBinaryTree(TreeNode treeNode) {
if (treeNode == null) return;
postOrderBinaryTree(treeNode.left);
postOrderBinaryTree(treeNode.right);
System.out.println(treeNode.value);
}（4）层序遍历：
/**
* 二叉树遍历-层序遍历
*
* @param root
*/
public List<List<Integer>> levelOrderBinaryTree(TreeNode root) {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
if (root == null) return result;
LinkedList<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
int queueSize = queue.size();
List<Integer> level = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < queueSize; i++) {
TreeNode treeNode = queue.poll();
if (treeNode != null) level.add(treeNode.value);
if (treeNode != null && treeNode.left != null) {
queue.offer(treeNode.left);
}
if (treeNode != null && treeNode.right != null) {
queue.offer(treeNode.right);
}
}
result.add(level);
}
return result;
}（5）求二叉树的最大深度：
/**
* 求二叉树的最大深度
*
* @param root
* @return
*/
public int maxDepth(TreeNode root) {
if (root == null) return 0;
return 1 + Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right));
}
