2.3 二叉树的性质（重点，选择题常考）

2.4 二叉树的链式存储

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前提说明

2.5.2 二叉树的遍历

2.5.3 二叉树基本操作的实现（重点）

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1. 树形结构

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1.1 树的概念

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树是一种非线性的数据结构，它是由n个(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。它的形状像一颗倒挂的树，根在上，叶在下。

特点：

· 有一个特殊的结点称为根节点，根节点没有前驱结点

· 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1,T2,…,Tm，其中每一个集合又是一颗与树类似的字树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以没有或者多个后继

· 树是递归定义的

**注意：**在树形结构中，子树不能有交集，否则就不是树形结构

重要概念：

结点的度：一个结点含有子树的个数

树的度：所有结点的度的最大值称为树的度

叶子结点或终端结点：度为0的结点

双亲结点或父亲结点：若一个结点含有子节点，则这个结点为其子结点的双亲结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点

根结点：树中没有双亲结点的结点

结点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子结点为第二层，以此类推

树的高度或深度：树中结点层次的最大值

森林：由m(m>0)棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.2 树的表示形式（简单了解

）

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树的结构相对于线性表比较复杂，要存储起来也比较麻烦，这里有几种表示方法：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等，这里只简单了解最常用的孩子兄弟表示法。

class Node{

int val; //存储的数据

Node firstChild; // 第一个孩子引用,一般称之为左结点，Node left

Node nextBrother; //下一个兄弟引用,一般称之为右结点，Node right

}

2. 二叉树（重点）

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2.1 概念

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一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 为空

2. 由一个结点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成

从图中可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

这里展示一张照片—大自然的奇观：现实中的二叉树

2.2 两种特殊的二叉树

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1. 满二叉树：一颗二叉树，如果每层的节点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树

2.完全二叉树：它是一种效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树引出来的。对于深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树，满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.3 二叉树的性质（重点，选择题常考）

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1. 规定根结点的层数是1，则一颗非空二叉树的第i层上最多2^(i-1)个结点

2. 规定只有根结点的二叉树深度为1，则深度为k的二叉树的最大结点数是2^k - 1

3. 对于任何一颗二叉树，如果其叶结点个数为n0，度为2的结点个数为n2，则n0=n2+1

4. 具有n个结点的二叉树的深度为log2(n+1)向上 取整 ，

5. 对于有n个结点的完全二叉树，如果按照从左至右，从上往下的顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

· 若i>0，双亲序号：2i+1；i=0，i为根节点编号，无双亲结点

· 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

· 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的链式存储

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二叉树的链式存储是通过一个一个的结点引用起来的，常见的表示方法有二叉和三叉表示方式，具体如下：

//孩子表示法

class Node{

int val; //数据域

Node left; //左孩子的引用

Node right; //右孩子引用

}

//孩子双亲表示法

class Node{

int val;

Node left;

Node right;

Node parent; //当前结点的根结点

}

2.5 二叉树的基本操作

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2.5.1 前提说明

从图结合概念可以看出，二叉树是递归定义的，后面基本操作都是按照该概念实现的

我们需要先创建一颗二叉树，这里手动快速创建一颗简单的二叉树：

public class MyTreeBlog {

public class BTNode{

int val;

BTNode left;

BTNode right;

public BTNode(int val){

this.val = val;

}

}

private BTNode root;

public void createBinaryTree(){

BTNode node1 = new BTNode(1);

BTNode node2 = new BTNode(2);

BTNode node3 = new BTNode(3);

BTNode node4 = new BTNode(4);

BTNode node5 = new BTNode(5);

BTNode node6 = new BTNode(6);

root = node1;

node1.left = node2;

node1.right = node4;

node2.left = node3;

node4.left = node5;

node4.right = node6;

}

}

注意：上述代码不是创建二叉树的方式，创建二叉树后面会介绍

2.5.2 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

遍历就是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问，访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题（比如：打印结点内容），遍历是二叉树最重要的操作之一，是二叉树上进行其他运算的基础。

N代表根结点，L代表根结点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下几种遍历方式：

**NLR：前序遍历：**根节点—根的左子树—根的右子树

**LNR：中序遍历：**根的左子树—根结点—根的右子树

**LRN：后序遍历：**根的左子树—根的右子树—根结点

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

2. 层序遍历

除了上述三种遍历，还可以对二叉树进行层序遍历。根节点所在的层数为第一层，自上到下，自左到右，逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

2.5.3 二叉树基本操作的实现（重点）

1. 二叉树的前中后序遍历：采用递归的方式遍历

public void preOrder(BTNode root){

if(root!=null){

System.out.print(root.val+" ");//遍历根

preOrder(root.left); //递归遍历左子树

preOrder(root.right); //递归遍历右子树

}

}

public void inOrder(BTNode root){

if(root!=null){

inOrder(root.left); //递归遍历左子树

System.out.print(root.val+" ");//遍历根

inOrder(root.right); //递归遍历右子树

}

}

public void postOrder(BTNode root){

if(root!=null){

postOrder(root.left); //递归遍历左子树

postOrder(root.right); //递归遍历右子树

System.out.print(root.val+" ");//遍历根

}

}

2. 二叉树的层序遍历：这里需要借助队列完成

public void levelOrder(BTNode root){

if(root==null){

return; //根为空直接返回

}

Queue q = new LinkedList<>();

q.offer(root); //先将根入队列

while(!q.isEmpty()){ //队列不为空时，循环

BTNode cur = q.poll(); //根出队列

System.out.print(cur.val+" ");

if(cur.left!=null){ //根有左子树，将左子树的根入队列

q.offer(root.left);

}

if(cur.right!=null){ //根有右子树，将右子树的根入队列

q.offer(root.right);

}

}

System.out.println();

}

图解：图比较丑，但是能说明情况

3. 获取二叉树中结点的个数

二叉树结点的个数=根的左子树结点的个数+根的右子树结点的个数+1（这个1就是根），所以直接一个递归就解决问题了

public int size(BTNode root){

if(root==null){

return 0;

}

return 1+size(root.left)+size(root.right);

}

4. 获取二叉树中叶子结点的个数

叶子结点就是该结点的左子树为空，右子树为空，所以当遇到此节点时返回1，递归返回所有该结点的总数

public int getLeafNode(BTNode root){

if(root==null){

return 0;

}

if(root.left == null && root.right == null){

return 1;

}

return getLeafNode(root.left)+getLeafNode(root.right);

}

5. 获取二叉树中第k层结点的个数

public int getLevelNode(BTNode root,int k){

if(root==null||k<0){ //判断参数

return 0;

}

if(k1){ //如果k1，则只有根返回1

return 1;

}

//递归

return getLevelNode(root.left,k-1) + getLevelNode(root.right,k-1);

}

6. 获取二叉树的高度

将此二叉树的左子树的高度与右子树的高度进行比较，较大的高度+1就是此二叉树的高度

public int height(BTNode root){

if(root==null){

return 0;

}

int leftHeight = height(root.left);

int rightHeight = height(root.right);

}

if(root.left == null && root.right == null){

return 1;

}

return getLeafNode(root.left)+getLeafNode(root.right);

}

5. 获取二叉树中第k层结点的个数

public int getLevelNode(BTNode root,int k){

if(root==null||k<0){ //判断参数

return 0;

}

if(k1){ //如果k1，则只有根返回1

return 1;

}

//递归

return getLevelNode(root.left,k-1) + getLevelNode(root.right,k-1);

}

6. 获取二叉树的高度

将此二叉树的左子树的高度与右子树的高度进行比较，较大的高度+1就是此二叉树的高度

public int height(BTNode root){

if(root==null){

return 0;

}

int leftHeight = height(root.left);

int rightHeight = height(root.right);