图源：文心一言

考研笔记整理1.4W+字，小白友好、代码先、中序可跑，后序代码有点问题仅作记录~~🥝🥝

第1版：查资料、写BUG、画导图、画配图~🧩🧩

参考用书：王道考研《2024年数据结构考研复习指导》

参考用书配套视频：5.1.1 树的定义和基本术语_哔哩哔哩_bilibili

特别感谢： Chat GPT老师[修改BUG]、BING AI老师[修改BUG]、文心一言设计师[配图]~

📇目录

🦮思维导图

🧵基本概念

⏲️定义

🌰推算举栗

⌨️代码实现

🧵中序线索二叉树

🔯P0：调用库文件

🔯P1：定义结点与指针

🔯P2：封装创建结点

🔯P3：创建传统二叉树

🔯P4：初始化头结点

🔯P5：二叉链表线索化

🔯P6：二叉树遍历

🔯P7：main函数

🔯P8：执行结果

🧵先序线索二叉树

🔯P0~P4：同中序二叉树

🔯P5：二叉链表线索化

🔯P6：二叉树遍历

🔯P7：main函数

🔯P8：执行结果

🧵后序线索三叉树[失败]

🌰后序线索二叉树无法求后序后继

🔯P0：调用库文件

🔯P1：定义结点与指针

🔯P2：封装创建结点

🔯P3：创建传统二叉树（三叉链表）

🔯P4：初始化头结点

🔯P5：链表线索化

🔯P6：二叉树遍历

🔯P7：main函数

🔯P8：执行结果

🔚结语

🦮思维导图

备注： 篇幅限制，上篇内容[树：双亲、孩子、兄弟表示法][二叉树：先序、中序、后序遍历]在这里~🌸数据结构05：树与二叉树

🧵基本概念

⏲️定义

传统二叉链表存储仅能体现一种父子关系，不能直接得到结点在遍历中的前驱或后继，且叶子结点与单孩子结点会有很多没有利用的空指针~
引入线索二叉树正是为了加快查找结点前驱和后继的速度，因此，相比传统二叉树，多了两个标志域，分别是ltag与rtag，利用传统二叉树的空指针，指向其前驱与后继结点~
前驱：二叉树→线性表，当前结点在线性表中的前一个结点。
后继：二叉树→线性表，当前结点在线性表中的后一个结点。

线索二叉树的结点结构
变量	lchild	ltag	data	rtag	rchild
名称	左孩子指针	左标志域	数据域	右标志域	右孩子指针
用途	ltag=0时，lchild指向结点的左孩子		存放结点数据	rtag=0时，rchild指向结点的右孩子
用途	ltag=1时，lchild指向结点的前驱		存放结点数据	rtag=1时，rchild指向结点的后继

🌰推算举栗

在传统二叉树中，找到指针为空的结点，例如本树中~
C结点的左右指针lchild与rchild为空，D结点的左右指针lchild与rchild为空，F结点的左右指针lchild与rchild为空；
根据传统二叉树遍历顺序（数据结构05：树与二叉树🌸数据结构05：树与二叉树），在空结点上增加线索，实现树的线索化~
先序遍历线性，按根左右，输出：A→B→C→D→F
令C结点的左指针→线性表的前驱结点B，右指针→线性表的后继结点D；
令D结点的左指针→线性表的前驱结点C，右指针→线性表的后继结点F；
令F结点的左指针→线性表的前驱结点D，右指针→发现线性表没有后继结点因此指向null；
中序遍历线性，按左根右，输出：C→B→D→A→F
令C结点的左指针→发现线性表没有前驱结点因此指向null，右指针→线性表的后继结点B；
令D结点的左指针→线性表的前驱结点B，右指针→线性表的后继结点A；
令F结点的左指针→线性表的前驱结点A，右指针→发现线性表没有后继结点因此指向null；
后序遍历线性，按左右根，输出：C→D→B→F→A
令C结点的左指针→发现线性表没有前驱结点因此指向null，右指针→线性表的后继结点D；
令D结点的左指针→线性表的前驱结点C，右指针→线性表的后继结点B；
令F结点的左指针→线性表的前驱结点B，右指针→线性表的后继结点A~

以上均为无头结点的代码，可以看到代码有1个甚至是2个null指针，于是有大佬思考，这两个指针能不能利用起来，形成1个环，模拟循环链表~线性表[顺序表+链表]🌸线性表[顺序表+链表]

因此也可以在代码上增加头结点🦄，用语言和图表示大概是这样的~

初始化头结点：
头结点head -> 左孩子lchild(ltag=0)：指向树的根节点；
头结点head -> 右孩子rchild(ltag=0)：指向头结点head自己；
线索化头结点：
头结点head -> 左孩子lchild(ltag=0)：指向二叉树的根节点； //不是遍历首节点
头结点head -> 右孩子rchid(ltag=1)：遍历访问尾结点，本例为结点F，线索指向F；
首结点 -> 左孩子lchild(ltag=1)：遍历访问首结点，本例为结点D，线索指向head；
尾结点 -> 右孩子rchid(ltag=1)：遍历访问尾结点，本例为结点F，线索指向head~

在模拟运算时，通常将指针指向头结点，然后开始遍历二叉树，直到循环到头结点为止结束~

下面我们以中序带头结点的程序为例，说明如何创建及遍历线索二叉树~

图源：BING AI

⌨️代码实现

🧵中序线索二叉树

🔯P0：调用库文件

此次用到输入输出流文件iostream与辅助队列queue~

#include <iostream>
#include <queue>

🔯P1：定义结点与指针

typedef struct ThreadNode {
    char data;    //数据域
    struct ThreadNode* lchild, * rchild;    //左、右孩子指针
    int ltag, rtag;    //左、右线索标志
} ThreadNode, * ThreadTree;

🔯P2：封装创建结点

创建结点的步骤在创建树时重复出现，因此使用函数封装，具体操作就是创建结点、赋值、并将指针与标志域置空~

//初始化结点
ThreadNode* CreateNode(char data) {
    ThreadNode* newNode = new ThreadNode();    //创建结点
    newNode->data = data;         //数据域置空
    newNode->lchild = nullptr;    //指针置空
    newNode->rchild = nullptr;
    newNode->ltag = 0;            //标志置0
    newNode->rtag = 0;
    return newNode;
}

🔯P3：创建传统二叉树

二叉树还是使用老生常谈的队列[博文：栈、队列和数组]创建~
令用户键入的根结点，创建辅助队列中，根节点入队；
辅助队列不为空时，循环执行以下操作：
队首元素出队并记录；
二叉树孩子结点的有顺序，不能颠倒，因此采用switch区分4种情况：
case-1：具两个孩子结点，令用户键入2个孩子结点，分别初始化，链入队首元素，并加入辅助队列；
case-2：仅有左孩子节点，令用户键入1个左孩子结点，初始化，链入队首元素，并加入辅助队列；
case-3：仅有右孩子节点，令用户键入1个右孩子结点，初始化，链入队首元素，并加入辅助队列；
case-4：没有孩子结点，跳过分支，执行下一个循环~

//创建传统二叉树
void CreateTree(ThreadNode*& T) {
    //用户输入根节点
    char rootData;
    std::cout << "请输入根节点的数据: ";
    std::cin >> rootData;

    //根节点初始化
    T = CreateNode(rootData);

    //创建辅助队列，根节点入队
    std::queue<ThreadNode*> nodeQueue;
    nodeQueue.push(T);

    //辅助队列不为空时，执行以下循环：，
    while (!nodeQueue.empty()) {
        //(1)依次访问辅助队列队首元素
        ThreadNode* currentNode = nodeQueue.front();
        nodeQueue.pop();
    
        //(2)询问孩子结点的情况
        int relation;
        std::cout << "请选择节点 " << currentNode->data << " 的孩子结点个数 (1-双孩子结点, 2-左孩子结点, 3-右孩子结点, 4-空孩子结点): ";
        std::cin >> relation;
        
        //(3)根据孩子结点的情况，创建孩子结点，添加到树中，并入队
        switch (relation) {
            case 1: {
                char lchildData, rchildData;
                std::cout << "请输入左孩子结点的数据: ";
                std::cin >> lchildData;
                std::cout << "请输入右孩子结点的数据: ";
                std::cin >> rchildData;

                ThreadNode* lchildNode = CreateNode(lchildData);
                ThreadNode* rchildNode = CreateNode(rchildData);

                currentNode->lchild = lchildNode;
                currentNode->rchild = rchildNode;

                nodeQueue.push(lchildNode);  // 将左孩子节点加入队列
                nodeQueue.push(rchildNode);  // 将右孩子节点加入队列

                break;
            }
            case 2: {
                char lchildData;
                std::cout << "请输入左孩子结点的数据: ";
                std::cin >> lchildData;

                ThreadNode* lchildNode = CreateNode(lchildData);
                currentNode->lchild = lchildNode;

                nodeQueue.push(lchildNode);  // 将左孩子节点加入队列

                break;
            }
            case 3: {
                char rchildData;
                std::cout << "请输入右孩子结点的数据: ";
                std::cin >> rchildData;

                ThreadNode* rchildNode = CreateNode(rchildData);
                currentNode->rchild = rchildNode;

                nodeQueue.push(rchildNode);  // 将右孩子节点加入队列

                break;
            }
            case 4:
                // Do nothing for empty child node
                break;
            default:
                std::cout << "无效的选择，请重新输入。\n";
                continue;
        }
    }
}

🔯P4：初始化头结点

此处需要引用指向头结点的指针ThreadNode*& head，以及树的指针ThreadNode* tree，实现让头结点初始化，以及头结点指向树的根节点操作~

void InitNode(ThreadNode*& head, ThreadNode* tree) {
    head = new ThreadNode();    //创建头结点
    head->lchild = tree;    //左孩子指向树的根节点
    head->ltag = 0;    //左标志域=0
    head->rchild = head;    //右孩子指向头结点自己
    head->rtag = 1;    //右标志域=0
}

🔯P5：二叉链表线索化

此处传入P2创建的树的根结点指针p，以及P3树的头结点指针pre，在传统中序遍历的基础上，增加后继与前驱结点的线索~

传统中序遍历的顺序是左、根、右~
线索化二叉树，且如果想增加头结点，就需要遍历二叉树找到首尾结点~
判断指针p是否为空，如果为空则退出递归，不为空则继续执行~
p指针遍历树的左孩子，访问非空结点时，表示该指针位无需线索化，递归调用本函数; //步骤同传统二叉树中序遍历
p指针左子树遍历完成，访问至空指针时，表示该指针可以线索化，p的左子树指针指向前驱结点pre，ltag根据规则置1，完成结点的前驱线索化；
若前驱结点pre是否存在且右子树为空，将pre的右子树指针指向后继节点p，ltag根据规则置1，完成结点的后继线索化；
更新前驱结点pre为当前p指针，为下一次线索化做准备；
p指针遍历树的右孩子，通过非空结点时，表示该指针位无需线索化，ltag置0，递归调用本函数。 //步骤同传统二叉树遍历

有点绕对不对，用图模拟一下这个过程，如果我没有理解错的话是这样的~

void InThread(ThreadTree& p, ThreadTree& pre) {
    if (p != NULL) {
        InThread(p->lchild, pre);    //递归调用本函数，遍历结点左子树

        if (p->lchild == NULL) {    //建立与前驱结点的线索
            p->lchild = pre;
            p->ltag = 1;
        }
        if (pre != NULL && pre->rchild == NULL) {    //建立于后继结点的线索
            pre->rchild = p;
            pre->rtag = 1;
        }
        pre = p;    //更新前驱结点的位置为本结点

        InThread(p->rchild, pre);    //递归调用本函数，遍历结点右子树
    }
}

🔯P6：二叉树遍历

此处传入树的头结点指针head~

若树非空，继续执行以下语句；
将p指向头结点的位置head；
p指针遍历树的左孩子，直到找到最左侧的结点，即中序遍历的首结点； //步骤同传统二叉树中序遍历
p指针未循环回头结点时，执行以下语句，
输出p指针指向当前结点的值；
如果p指针指向当前结点的右子树是线索，则通过线索找到后继结点；
如果p指针指向当前结点的右子树是结点，则循环找到右子树最左侧的结点。

运行起来应该是这样的~

P指针的路径一路向左，结点A、结点B、结点C，结点C没有左孩子，打印结点C；
结点C的线索指向结点B，打印结点B；
结点B具有右孩子结点D，结点D没有左孩子，打印结点D；
结点D的线索指向结点A，打印结点A；
结点A具有右孩子结点F，结点F没有左孩子，打印结点F；
结点F的线索指向头结点，循环判定失败，退出循环。

void InThreadOrder(ThreadTree head) {
    if (head == NULL) {
        std::cout << "树为空！" << std::endl;
        return;
    }

    std::cout << "线索二叉树中序遍历:";

    ThreadTree p = head;
    while (p->ltag == 0) {  // 寻找第一个被线索化的节点（最左边的节点）
        p = p->lchild;
    }

    while (p != head) {
        std::cout << p->data << " ";  // 输出节点的值

        if (p->rtag == 1) {  // 如果节点的右指针是线索，直接转到后继节点
            p = p->rchild;
        } else {  // 否则，找到右子树的最左边的节点
            p = p->rchild;
            while (p->ltag == 0) {
                p = p->lchild;
            }
        }
    }
}

🔯P7：main函数

main函数除了P0~P6的函数调用，就创建了2个结点：树的头结点head和头结点指针pre~

int main() {
    ThreadTree tree;   //P1结构：定义树的结点及指针
    CreateTree(tree);  //P3函数：创建二叉树


    ThreadNode* head;          //创建头结点
    InitNode(head, tree);      //P4函数：树结点的头结点初始化

    ThreadNode* pre = head;    //创建指向头结点的指针pre
    InThread(tree, pre);       //P5函数：二叉树中序线索化

    InThreadOrder(head);       //P6函数：二叉树遍历

    delete head;    // 释放头结点内存

    return 0;
}

🔯P8：执行结果

把P0~P7粘在一起，运行结果如下图所示~

🧵先序线索二叉树

🔯P0~P4：同中序二叉树

🔯P5：二叉链表线索化

此处传入P2创建的树的根结点指针p，以及P3树的头结点指针pre，在传统先序遍历的基础上，增加后继与前驱结点的线索~

传统先序遍历的顺序是根、左、右~
线索化二叉树，且如果想增加头结点，就需要遍历二叉树找到首尾结点~
判断指针p是否为空，如果为空则退出递归，不为空则继续执行~
p指针左子树遍历完成，访问至空指针时，表示该指针可以线索化，p的左子树指针指向前驱结点pre，ltag根据规则置1，完成结点的前驱线索化；
若前驱结点pre是否存在且右子树为空，将pre的右子树指针指向后继节点p，ltag根据规则置1，完成结点的后继线索化；
更新前驱结点pre为当前p指针，为下一次线索化做准备；
p指针遍历树的左孩子，访问非空结点时，表示该指针位无需线索化，递归调用本函数; //步骤同传统二叉树中序遍历
p指针遍历树的右孩子，通过非空结点时，表示该指针位无需线索化，ltag置0，递归调用本函数。 //步骤同传统二叉树遍历

注意：此处头结点的右孩子没有完成线索化，因此需要在main函数中补充该线索~

void PreThread(ThreadTree& p, ThreadTree& pre) {
    if (p != NULL) {
        if (p->lchild == NULL) {       //建立前驱线索
            p->lchild = pre;
            p->ltag = 1;
        }
        if (pre != NULL && pre->rchild == NULL) {    //建立后继线索
            pre->rchild = p;
            pre->rtag = 1;
        }
        pre = p;    //更换前驱结点的位置为本结点

        if (p->ltag == 0) {
            PreThread(p->lchild, pre);        //递归调用本函数，遍历结点左子树
        }
        if (p->rtag == 0) {
            PreThread(p->rchild, pre);        //递归调用本函数，遍历结点右子树
        }
    }
}

🔯P6：二叉树遍历

此处传入树的头结点指针head~

若树非空，继续执行以下语句；
将p指向头结点的位置head，其左孩子就是根节点，即为先序遍历的首结点；
p指针未循环回头结点时，执行以下语句，
输出p指针指向当前结点的值；
如果p指针指向当前结点的左子树是结点，访问左子树；
如果p指针指向当前结点的左子树不是结点，则执行以下语句：
如果p指针指向当前结点的右子树是线索，则循环通过右线索找到后继结点；
如果p指针指向当前结点的右子树是结点，则通过右孩子指针找到后继结点。

运行起来应该是这样的~

P指针的路径为头结点，寻找左孩子结点A，打印结点A；
结点A具有左孩子结点B，打印结点B；
结点B具有左孩子结点C，打印结点C；
结点C的右线索指向结点D，打印结点D；
结点D的右线索指向结点F，打印结点F；
结点F的线索指向头结点，循环判定失败，退出循环。

void PreThreadOrder(ThreadTree head) {
    if (head == NULL) {
        std::cout << "树为空！" << std::endl;
        return;
    }

    std::cout << "线索二叉树先序遍历:";

    ThreadTree p = head->lchild;
    while (p != head) {
        std::cout << p->data << " ";

        if (p->ltag == 0) {
            p = p->lchild;
        } else {
            while (p != head && p->rtag == 1) {
                p = p->rchild;
                std::cout << p->data << " ";
            }
            p = p->rchild;
        }
    }
    std::cout << std::endl;
}

🔯P7：main函数

main函数除了P0~P6的函数调用，就创建了2个结点：树的头结点head和头结点指针pre，但是因为头结点在P5完成时没有完全线索化，因此在main函数中增加了头结点指针pre的线索化，且头节点需要复位~

int main() {
    ThreadTree tree;   //P1结构：定义树的结点及指针
    CreateTree(tree);  //P3函数：创建二叉树


    ThreadNode* head;          //创建头结点
    InitNode(head, tree);      //P4函数：树结点的头结点初始化

    ThreadNode* pre = head;    //创建指向头结点的指针pre
    PreThread(tree, pre);      //P5函数：二叉树中序线索化
    pre->rchild = head;        //头结点线索化步骤
    pre->rtag = 1;
    tree = head;               //头结点复位

    PreThreadOrder(head);      //P6函数：二叉树遍历

    delete head;    // 释放头结点内存

    return 0;
}

🔯P8：执行结果

把P0~P7粘在一起，运行结果如下图所示~

🧵后序线索三叉树[失败]

🌰后序线索二叉树无法求后序后继

根据刚才的栗子，我们知道，先序、中序二叉树可以直接求后序后继：中序二叉树以最左边的结点为起点，一路向右跑；先序二叉树以根结点为起点，先往左跑再往右跑~

说明这种从上到下、从左到右、甚至是从右到左的遍历，链式都能很有效~

但是后序二叉树这种从下到上就没这么幸运了，我们以图为栗~

看向最右下角的后序线索二叉树，后序遍历一路向左，找到结点C为起点；
结点C是叶子结点，且是左子树，可以通过线索找到结点D；
结点D是叶子结点，且是右子树，可以通过线索找到结点B；
结点B非叶子结点，且是左子树，不能通过线索找到结点F；
结点F非叶子结点，且是右子树，可以通过线索找到结点A；
结点A是根结点，下一个结点是头结点，因此可以结束循环。

出现问题的地方只有B作为非叶子结点，且是左子树时，找不到兄弟结点（如果兄弟结点存在），因此我们引入双亲指针，使结点B通过父节点的孩子结点找到结点F~

话说，万一真考这个也太点背了，不过为了保证博文的完整性还是贴在了这里...

🔯P0：调用库文件

#include <iostream>
#include <queue>

🔯P1：定义结点与指针

此处增加双亲指针*parent~

typedef struct ThreadNode {
    char data;
    struct ThreadNode* lchild, * rchild, * parent;  // 添加parent指针
    int ltag, rtag;
} ThreadNode, * ThreadTree;

🔯P2：封装创建结点

增加了parent的赋值，另外注意，parent是指针，不能传nullptr，因此我建了两个函数~

这里测试语句可留可删，看个人爱好~

ThreadNode* CreateNode(char data, ThreadNode*& parent) {    //创建除根结点外的普通结点
    ThreadNode* newNode = new ThreadNode();
    newNode->data = data;
    newNode->lchild = nullptr;
    newNode->rchild = nullptr;
    newNode->parent = parent;    //传递双亲结点参数
    newNode->ltag = 0;
    newNode->rtag = 0;
    //std::cout << "创建结点: 新结点 地址: " << newNode << std::endl; // 测试语句：打印出新创建的节点的地址
    //std::cout << "创建结点: 新结点 数值: " << newNode->data << std::endl; // 测试语句：打印出传入的parent指针变量所指向的值
    //std::cout << "创建结点: 父结点 地址: " << parent << std::endl; // 测试语句：打印出传入的parent指针变量的地址
    //std::cout << "创建结点: 父结点 数值: " << parent->data << "\n" << std::endl; // 测试语句：打印出传入的parent指针变量所指向的值
    return newNode;
}

ThreadNode* CreateRoot(char data, std::nullptr_t nullp) {    //创建根结点
    ThreadNode* newNode = new ThreadNode();
    newNode->data = data;
    newNode->lchild = nullptr;
    newNode->rchild = nullptr;
    newNode->parent = nullptr;
    newNode->ltag = 0;
    newNode->rtag = 0;
    return newNode;
}

话说，代码有问题询问BING AI老师时，她真的有一点凶；虽然学习的道路有点坎坷，不过最后她还是把我教会了...😢😢

BING AI老师真的怀疑我有没有认真听讲...

🔯P3：创建传统二叉树（三叉链表）

原理中序二叉树中提到的完全类似，采用队列输出，仅仅需要在赋值的时候增加parent结点，在队列中即为当前结点current node~

void CreateTree(ThreadNode*& T) {
    char rootData;
    std::cout << "请输入根节点的数据: ";
    std::cin >> rootData;

    T = CreateRoot(rootData, nullptr);

    std::queue<ThreadNode*> nodeQueue;
    nodeQueue.push(T);

    while (!nodeQueue.empty()) {
        ThreadNode* currentNode = nodeQueue.front();
        nodeQueue.pop();

        int relation;
        std::cout << "请选择节点 " << currentNode->data << " 的孩子结点个数 (1-双孩子结点, 2-左孩子结点, 3-右孩子结点, 4-空孩子结点): ";
        std::cin >> relation;

        switch (relation) {
            case 1: {
                char lchildData, rchildData;
                std::cout << "请输入左孩子结点的数据: ";
                std::cin >> lchildData;
                std::cout << "请输入右孩子结点的数据: ";
                std::cin >> rchildData;

                ThreadNode* lchildNode = CreateNode(lchildData, currentNode);
                currentNode->lchild = lchildNode;
                //std::cout << "左孩子结点 地址: " << lchildNode << std::endl; // 测试语句：打印出lchildNode指针变量的地址
                //std::cout << "左孩子结点 数值: " << lchildNode->data << std::endl; // 测试语句：打印出lchildNode指针变量所指向的值
                //std::cout << "当前父结点 地址: " << currentNode << std::endl; // 测试语句：打印出currentNode指针变量的地址
                //std::cout << "当前父结点 数值: " << currentNode->data << "\n" <<std::endl; // 测试语句：打印出currentNode指针变量所指向的值
                nodeQueue.push(lchildNode);

                ThreadNode* rchildNode = CreateNode(rchildData, currentNode);
                currentNode->rchild = rchildNode;
                nodeQueue.push(rchildNode);
                break;
            }
            case 2: {
                char lchildData;
                std::cout << "请输入左孩子结点的数据: ";
                std::cin >> lchildData;

                ThreadNode* lchildNode = CreateNode(lchildData, currentNode);
                currentNode->lchild = lchildNode;
                nodeQueue.push(lchildNode);
                break;
            }
            case 3: {
                char rchildData;
                std::cout << "请输入右孩子结点的数据: ";
                std::cin >> rchildData;

                ThreadNode* rchildNode = CreateNode(rchildData, currentNode);
                currentNode->rchild = rchildNode;
                nodeQueue.push(rchildNode);
                break;
            }
            case 4:
                break;
            default:
                std::cout << "无效的选择，请重新输入。\n";
                continue;
        }
    }
}

🔯P4：初始化头结点

此处需要引用指向头结点的指针ThreadNode*& head，以及树的指针ThreadNode* tree，实现让头结点初始化，以及头结点指向树的根节点操作~

void InitNode(ThreadNode*& head, ThreadNode* tree) {
    head = new ThreadNode();    //创建头结点
    head->lchild = tree;    //左孩子指向树的根节点
    head->ltag = 0;    //左标志域=0
    head->rchild = head;    //右孩子指向头结点自己
    head->rtag = 1;    //右标志域=0
    head->parent = nullptr;
}

🔯P5：链表线索化

此处传入P2创建的树的根结点指针p，以及P3树的头结点指针pre，在传统先序遍历的基础上，增加后继与前驱结点的线索~

传统后序遍历的顺序是左、右、根~
原理十分雷同于前、中遍历，算法还是在传统遍历的基础上增加线索化过程，此处不再赘述~
不过也和先序遍历有相同的问题：根结点和头结点的线索需要单独增加，理论上可以通过判断头结点增加，但是我这里测试失败，因此代码以注释的形式保存在这里了~

void PostThread(ThreadTree& p, ThreadTree& pre) {
    if (p != nullptr) {
        if (p->ltag == 0) {
            PostThread(p->lchild, pre);
        }
        if (p->rtag == 0) {
            PostThread(p->rchild, pre);
        }

        if (p->lchild == nullptr) {
            p->lchild = pre;
            p->ltag = 1;
        }
        if (pre != nullptr && pre->rchild == nullptr) {
            pre->rchild = p;
            pre->rtag = 1;
        }
        /*本小段代码是对于头结点的补充，未知原因测试失败，因此注释掉了，在main函数中补充
        if (p == head && p->rchild == nullptr) {
            p->rchild = pre;
            p->rtag = 1;
        }*/

        pre = p;
        std::cout << "PostThread p的数值"<< p->data << "  p的地址"<< p << "\n";
        std::cout << "PostThread pre的数值"<< pre->data << "  pre的地址"<< pre << "\n";
    }
}

🔯P6：二叉树遍历

此处传入树的头结点指针head~二叉树后序遍历为左、根、右~

代码首先从首结点开始，每一轮都会令指针P走向当前结点的父节点，然后遍历父节点的右子树，具体如下~

若树非空，继续执行以下语句；
设定p指针指向头结点的位置，root指针为根结点，初始置空；
遍历p指针的最左侧，即为后序遍历开始的位置；
如果p指针不为空时，开始循环；
如果p指针的右线索存在，且右线索不指向root：p指针根据右线索寻找后继结点；
如果p指针的右线索不在：结合前述判定，这是父结点具有右子树的结点；
p指针移动到父节点；
如果p指针指向的结点具有右子树，p指针移动右孩子结点的位置；
如果p指针指向的结点具有左子树，执行循环访问右子树最左侧，即该右子树后序遍历开始的位置~
打印p指针指向的结点~

// 后序遍历线索二叉树
void PostThreadOrder(ThreadNode* head) {
    if (head == nullptr || head->lchild == nullptr) {
        std::cout << "树为空！" << std::endl;
        return;
    }

    std::cout << "线索二叉树后序遍历: ";
    ThreadNode* p = head->lchild;
    ThreadNode* root = head->rchild;
    while (p->ltag == 0 && p->ltag == 0) {  // 寻找第一个被线索化的节点（最左边的节点）
        p = p->lchild;
    }

    while (p != head) {
        std::cout << p->data << " ";  // 输出节点的值

        if (p->rtag == 1 && p->rchild != root) {  // 如果节点的右指针是线索，直接转到后继节点(注意不能等于根结点，否则就会打循环)
            p = p->rchild;
        } else {  // 否则，节点的右孩子是已经遍历的孩子结点，因此先退回到根结点
            p = p->parent;
            //std::cout << "测试点3:" << p->data << " ";  // 输出结点的值
            if (p->rtag == 0) { // 该结点具有右孩子，则访问右孩子
                p = p->rchild;
                //std::cout << "测试点1" << p->data << " ";  // 输出结点的值
                    while (p->ltag == 0) {  // 找到右子树最左侧的结点
                         p = p->lchild;
                   //std::cout << "测试点2" << p->data << " ";  // 输出结点的值
                   }
            std::cout << p->data << " ";  // 输出结点的值
            }
        }
    }
}

运行起来应该是这样的~

P指针的路径一路向左，结点A、结点B、结点C，结点C设为起始遍历结点；
打印结点C；
结点C具有右线索，顺着线索找到结点D，打印结点D；
结点D具有右线索，顺着线索找到结点B，打印结点B；
结点B没有右线索，需要访问其父节点，如果有父结点有右子树，找到右子树左侧的结点F，打印结点F；// 实际测试时程序没有根据判断条件访问结点F，也就是测试点1没有输出结果，原因未知；
结点F具有右线索，顺着线索找到结点A，打印结点A；
结点A的线索指向头结点，循环判定失败，退出循环。

🔯P7：main函数

int main() {
    ThreadTree tree;
    CreateTree(tree);

    ThreadNode* head;
    InitNode(head, tree);

    ThreadNode* pre = head;
    PostThread(tree, pre);

    std::cout << "main1 树的数值"<< head->data << "  树的地址" << head << "\n";
    std::cout << "main1 pre的数值" << pre->data << "  pre的地址" << pre << "\n";

    // 完成头结点到根结点的线索化
    pre->rchild = head;
    pre->rtag = 1;
    tree = head;

    std::cout << "main2 树的数值"<< head->data << "  树的地址" << head << "\n";
    std::cout << "main2 pre的数值" << pre->data << "  pre的地址" << pre << "\n";

    PostThreadOrder(head);

    return 0;
}