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🎉所属专栏： C++修行之路
🎃操作环境： Visual Studio 2019 版本 16.11.17

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🌇前言

普通的二叉搜索树可能会退化为单支树（歪脖子树），导致搜索性能严重下降，为了解决这个问题，诞生了平衡二叉搜索树，主要是通过某些规则判断后，降低二叉树的高度，从而避免退化，本文介绍的 AVL 树就属于其中一种比较经典的平衡二叉搜索树，它是通过 平衡因子 的方式来降低二叉树高度的，具体怎么操作，可以接着往下看

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🏙️正文

1、认识AVL树

AVL 树由 前苏联 的两位数学家：G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 共同提出，首次出现在 1962 发布的论文 《An algorithm for the organization of information》 中

具体实现原理为：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度

这两位天才提出的 二叉搜索树 解决方案十分巧妙，通过一个 平衡因子 bf 反映每一个节点中左右子树的高度情况，如果其中一方高度过高时（失衡，可能退化），就会通过 旋转 的方式降低高度，有效的避免了退化

如果 二叉搜索树 中节点具备以下性质

• 它的左右子树都是 AVL 树
• 左右子树的高度之差（平衡因子）的绝对值不超过 1

那么它就是一棵 AVL 树

注意： AVL 树是一棵高度平衡的二叉搜索树，如果它有 N 个节点，那么它的高度可以保持在 logN 左右，时间复杂度为 O(logN)

1.1、AVL树的定义

AVL 树在原 二叉搜索树 的基础上添加了 平衡因子 bf 以及用于快速向上调整的 父亲指针 parent，所以 AVL 树是一个三叉链结构

所以 AVL 树的节点通过代码定义如下：

//AVL树的节点类（key / value 模型）
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const K& key, const V& val)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_key(key)
		,_val(val)
		,_bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	K _key;
	V _val;
	int _bf;	//平衡因子，默认：右 - 左
};

至于 AVLTree 类中，只需要创建一个 根节点 _root 即可

注意： 当前实现的平衡因子，规定差值为 右 - 左，因此如果右子树增高，_bf++，左子树增高 _bf--，具体操作将在后面体现

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2、AVL树的插入操作

注：本文仅对 AVL 树的插入操作做详解

2.1、抽象图

AVL 树的 旋转操作 比较复杂，需要考虑多种形状、多种情况，为了方便理解，将 部分节点 视为一个整体（抽象化），主要看高度 h 进行旋转操作，可以得出下面这个抽象图

抽象图很强大，通过 高度划分，可以 将所有的子树情况囊括其中

抽象图对于我们理解旋转过程帮助很大

2.2、插入流程

AVL 树的插入流程与 二叉搜索树 一致，都是先找到合适位置，然后进行插入、链接，不过 AVL 树在链接之后，需要对 平衡因子 进行更新，并判断是否需要进行 旋转 以调整高度

插入流程：

1. 判断根是否为空，如果为空，则进行第一次插入，成功后返回 true
2. 找到合适的位置进行插入，如果待插入的值比当前节点值大，则往 右 路走，如果比当前节点值小，则往 左 路走
3. 判断父节点与新节点的大小关系，根据情况判断链接至 左边 还是 右边
4. 更新平衡因子，然后判断是否需要进行 旋转 调整高度

代码片段如下（不包括判断 旋转 部分的具体实现）

//插入节点
bool Insert(const K& key, const V& val)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key, val);
		return true;
	}

	//易错点：没有提前记录父亲
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
			return false;
	}

	//创建新节点，链接
	cur = new Node(key, val);
	if (parent->_key < key)
	{
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

	//根据平衡因子判断是否需要旋转
	while (parent)
	{
		//更新平衡因子
		if (parent->_right == cur)
			parent->_bf++;
		else
			parent->_bf--;

		//判断是否需要调整
		//……
	}
	
	return true;
}

注：AVL 树的插入返回值也是 布尔类型

根据平衡因子判断是否需要旋转这一部分非常重要，共有四种不同的旋转方式，下面将会逐个讲解，配合动图，逐个击破

2.3、左单旋

左单旋的适用场景如下：在根的右子树中出现 平衡因子 为 1 的情况下，仍然往右侧插入节点，插入后会导致 右子树 中某个节点 平衡因子 值为 2 ，此时就需要使用 左单旋 降低高度

显然，当节点 9 插入后，节点 7 的 平衡因子 变成了 2：表示它的左右子树高度差大于 1

既然节点 7 出了问题，那就要对他进行旋转；因为现在插入的节点位于 右子树的右侧，所以需要 左单旋

具体代码实现如下：

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	//先将 subR 的左孩子移交给父亲
	parent->_right = subRL;
	if (subRL != nullptr)
		subRL->_parent = parent;

	Node* pparent = parent->_parent;

	//易错点：忘记更改原父亲的链接关系
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	//易错点：判断 等于 写成 赋值
	//再将父亲移交给 subR，subR 成为新父亲
	if (parent == _root)
	{
		//如果原父亲为根，那么此时需要更新 根
		subR->_parent = nullptr;
		_root = subR;
	}
	else
	{
		//单纯改变链接关系
		if (pparent->_right == parent)
			pparent->_right = subR;
		else
			pparent->_left = subR;

		subR->_parent = pparent;
	}

	//更新平衡因子
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

旋转过程其实就是更改链接的过程

因为是三叉链结构，所以需要注意 _parent 的调整

对于上面的用例，旋转过程如下图所示（动图）

此时抽象图的高度为 1，将 子树 抽象化，可以得到下图中的 左单旋 过程（动图）

因为是 抽象图，所以其中的 黄色色块 可以变换成 任意高度的子树，无论如何变换，左单旋 的逻辑都不会发生改变

旋转逻辑：

• 确定 parent、subR、subRL
• 将 subRL 托付给 parent
• 令 parent 成为 subR 的左子树
• 需要特别注意父指针的更改以及根节点的更新

注意： subRL 可能是 nullptr，在改变其链接关系时，需要判断一下，避免空指针解引用行为；parent 可能是 根节点，subR 在链接后，需要更新 根节点；左单旋后，parent、subR 的平衡因子都可以更新为 0，此时是很平衡的

2.4、右单旋

右单旋的适用场景如下：在根的左子树中出现 平衡因子 为 1 的情况下，仍然往左侧插入节点，插入后会导致 左子树 中某个节点 平衡因子 值为 2 ，此时就需要使用 右单旋 降低高度

右单旋 的场景与 左单旋 如出一辙，不过方向不同而已

当节点 1 插入后，节点 3 的左右子树高度差 > 1，此时插入的节点位于左子树的左侧，需要 右旋转 降低高度

右单旋 代码，与 左单旋 几乎一模一样

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	//先将 subL 的右孩子移交给父亲
	parent->_left = subLR;
	if (subLR != nullptr)
		subLR->_parent = parent;

	Node* pparent = parent->_parent;

	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	//再将父亲移交给 subL，subL 成为新父亲
	if (parent == _root)
	{
		//如果原父亲为根，那么此时需要更新 根
		subL->_parent = nullptr;
		_root = subL;
	}
	else
	{
		//单纯改变链接关系
		if (pparent->_right == parent)
			pparent->_right = subL;
		else
			pparent->_left = subL;

		subL->_parent = pparent;
	}

	//更新平衡因子
	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

上面例子的旋转流程如下图所示（动图）

此时同样是 子树高度为 1 的情况，使用抽象图，右单旋 的旋转过程如下所示

右单旋 旋转逻辑：

• 确定 parent、subL、subLR
• 将 subLR 托付给 parent
• 令 parent 成为 subL 的右子树
• 需要特别注意父指针的更改以及根节点的更新

注意： subLR 可能是 nullptr，在改变其链接关系时，需要判断一下，避免空指针解引用行为；parent 可能是 根节点，subL 在链接后，需要更新 根节点；右单旋后，parent、subLR 的平衡因子都可以更新为 0，此时是很平衡的

2.5、右左双旋

当值插入 右子树的右侧 时，可能引发 左单旋，当值插入 左子树的左侧 时，则可能引发 右单旋

如果插入的是 右子树的左侧 或 左子树的右侧 时，则可能引发 双旋

比如 插入右子树的左侧 时，单单凭借 左单旋 无法解决问题，需要 先进行 右单旋，再进行 左单旋 才能 降低高度，这一过程就成为 双旋（右左双旋）

代码实现很简单，根据不同的位置调用 右单旋 和 左单旋 即可

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int BF = subRL->_bf;

	//先右单旋
	RotateR(subR);

	//再左单旋
	RotateL(parent);

	//根据不同的情况更新平衡因子
	if(BF == 0)
	{
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
	else if (BF == 1)
	{
		parent->_bf = -1;
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (BF == -1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else
	{
		//非法情况
		std::cerr << "此处的平衡因子出现异常!" << std::endl;
		assert(false);	//直接断言报错
	}
}

右左双旋 的抽象图 旋转 流程如下（动图）

注：双旋 部分的动图省略了部分细节，着重展现 高度降低 的现象

右左双旋 逻辑：

• 确定 parent、subR、subRL
• 将 subRL 的右子树托付给 subR，左子树托付给 parent
• subRL 向上提，整体高度下降
• 需要特别注意平衡因子的调整

双旋 的 平衡因子 调整需要分类讨论：
情况一：新节点插入至右子树左侧后，subRL 平衡因子变为 0，此时树变得更加平衡了，因此 parent、subR、subRL 三者的平衡因子都为 0

情况二：新节点插入至右子树的左侧后，subRL 平衡因子变为 -1，证明 新节点插入至 subRL 的左边，并且右边没有东西，旋转后，将新节点托付给 parent 后，parent 变得平衡了，但 subR 因没有分到节点，因此导致其左侧失衡，平衡因子变为 1，subRL 平衡，为 0（这其实就是动图展示的情况）

情况三：新节点插入至右子树的左侧后，subRL 平衡因子变为 1，证明 新节点插入至 subRL 的右边，并且左边没有东西，旋转后，parent 没有分到节点，subR 分到了，subRL 为平衡，因此 parent 的平衡因子为 -1，subR 和 subRL 的平衡因子都是 0

经过这样分析后，就能得到代码中的判断逻辑

注意： 先要右单旋，才左单旋；平衡因子的更新需要分类讨论

2.6、左右双旋

当节点插入至 左子树的右侧 时，会触发 左右双旋，需要 先进行 左单旋，再进行 右单旋 才能降低高度

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int BF = subLR->_bf;

	//先左单旋
	RotateL(subL);

	//再右单旋
	RotateR(parent);

	//根据不同的情况更新平衡因子
	if (BF == 0)
	{
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}
	else if (BF == 1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (BF == -1)
	{
		parent->_bf = 1;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else
	{
		//非法情况
		std::cerr << "此处的平衡因子出现异常!" << std::endl;
		assert(false);	//直接断言报错
	}
}

左右双旋 的 旋转 流程如下图所示（动图）

左右双旋 逻辑：

• 确定 parent、subL、subLR
• 将 subLR 的右子树托付给 parent，左子树托付给 subL
• subLR 向上提，整体高度下降
• 需要特别注意平衡因子的调整

调整逻辑与 右左双旋 差不多

情况一：新节点插入至左子树右侧后，subLR 平衡因子变为 0，此时树变得更加平衡了，因此 parent、subL、subLR 三者的平衡因子都为 0

情况二：新节点插入至左子树的右侧后，subLR 平衡因子变为 -1，证明 新节点插入至 subLR 的左边，并且右边没有东西，旋转后，将新节点托付给 subL 后，subL 变得平衡了，但 parent 因没有分到节点，因此导致其右侧失衡，平衡因子变为 1，subLR 平衡，为 0

情况三：新节点插入至左子树的右侧后，subLR 平衡因子变为 1，证明 新节点插入至 subLR 右边，并且左边没有东西，旋转后，subL 没有分到节点，parent 分到了，subLR 为平衡，因此 subL 的平衡因子为 -1，parent 和 subLR 的平衡因子都是 0（动图中演示的就是情况三）

总的来说，双旋 需要慎重考虑 平衡因子 的调整

2.7、注意事项及调试技巧

在编写 AVL 树的旋转操作时，涉及众多 相等 == 判断，一定要检查仔细，不能写成 赋值 =

当前 AVL 树为 三叉链 结构，在调整左右子树链接关系时，也需要对 父指针 进行调整

单旋转后，涉事节点的平衡因子都为 0

双旋转后，涉事节点的平衡因子需要分类讨论

AVL 的操作较多，仅仅一个 插入 操作就需要近 300 行代码，所以在 面(shou)试(shi) 时，一定要把情况分析情况

• 插入至 右右 时，左单旋
• 插入至 左左 时，右单旋
• 插入至 右左 时，右左双旋
• 插入至 左右 时，左右双旋

掌握 AVL 树的旋转操作，对后面的 红黑树 学习有帮助

如果写完插入操作后，测试发现了问题，可以借助以下调试技巧 Debug

1. 将出问题的数据，自己按照旋转逻辑，画图分析一遍
2. 然后进入出问题的前一步操作，通过监视窗口查看树的结构是否符合预期
3. 如果不符合，就往前排查
4. 如果实在想不清楚旋转逻辑，可以借助 抽象图 进行分析

建议还是对 判断相等 == 进行着重检查，作为这里的高频问题，比较难调试出结果，扫视排查就简单多了（已经有多位同学在编写 AVL 树旋转部分代码时，出现此问题）

将 AVL 树的 四种旋转情况 分析透彻后，就已经完成绝大部分工作了

关于 AVL 树详细操作可以参考这篇 Blog：《AVL树（动图详解）》

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3、AVL树的合法性检验

3.1、检验依据

如何检验自己的 AVL 树是否合法？ 答案是通过平衡因子检查

平衡因子 反映的是 左右子树高度之差，计算出 左右子树高度之差 与当前节点的 平衡因子 进行比对，如果发现不同，则说明 AVL 树 非法

或者如果当前节点的 平衡因子 取值范围不在 [-1, 1] 内，也可以判断 非法

3.2、检验方法

统计 二叉树子树高度 很简单，只需要在 检验合法性函数 中调用即可

//验证是否为 AVL 树
bool IsAVLTree()
{
	return _IsAVLTree(_root);
}

//获取高度
size_t getHeight()
{
	return _getHeight(_root);
}

bool _IsAVLTree(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return true;

	//计算左右子树的高度
	size_t leftTreeH = _getHeight(root->_left);
	size_t rightTreeH = _getHeight(root->_right);

	//计算差值
	int diff = rightTreeH - leftTreeH;
	if (diff != root->_bf || root->_bf < -1 || root->_bf > 1)
	{
		std::cerr << "当前节点出现了问题: " << root->_key << " | " << root->_bf << std::endl;
		return false;
	}

	return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);
}

size_t _getHeight(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	size_t leftH = _getHeight(root->_left);
	size_t rightH = _getHeight(root->_right);

	return 1 + std::max(leftH, rightH);
}

通过一段简单的代码，随机插入 10000 个节点，判断 是否合法 及当 AVL 树的 高度

void AVLTreeTest2()
{
	srand((size_t)time(NULL));

	AVLTree<int, int> av;

	for (int i = 0; i < 10000; i++)
	{
		int val = rand() % 10000 + i;
		av.Insert(val, val);
	}

	cout << "检查AVL树: " << av.IsAVLTree() << endl << "高度为：" << av.getHeight() << endl;
}

鉴定为 合法，并且高度仅有 15，约为 2^14 即 1600+ 的容量

AVL 树是一棵十分自律的树，即使在数据量如此之大的情况下，也能很好的控制高度

3.3、AVL树的性能

AVL 树是一棵 绝对平衡 的二叉树，对高度的控制极为苛刻，稍微有点退化的趋势，都要被旋转调整，这样做的好处是 严格控制了查询的时间，查询速度极快，约为 logN

但是过度苛刻也会带来一定的负面影响，比如涉及一些 结构修改 的操作时，性能非常低下，更差的是在 删除 时，因为从任意位置破坏了 二叉搜索树 及 AVL 树的属性，有可能会引发连锁旋转反应，导致一直 旋转 至 根 的位置（旋转比较浪费时间）

AVL 树性能很优秀，如果在存储大量不需要修改的静态数据时，用 AVL 树是极好的，但在大多数场景中，用不到这么极限的性能，此时就需要一种 和 AVL 树差不多，但又没有那么严格 的 平衡二叉搜索树 了

而这种 平衡二叉搜索树 就是数据结构中大名鼎鼎的大哥：红黑树，关于 红黑树 的天才设计将在下文中介绍，值得一提的是 红黑树在减少旋转次数的同时，还能做到与 AVL 树的差距至多不超过 2 倍，这是非常牛叉的设计，依赖于 颜色：红 与 黑

本文中涉及的代码：《AVL 树博客》

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🌆总结

以上就是本次关于 C++【AVL树】的全部内容了，在本文中，我们首先了解了什么是 AVL 树，然后对其进行了实现，AVL 树光是一个 插入 操作，就已经涉及了 四大旋转情况，其中每种情况都需要自己画图分析，AVL 树是存储静态数据的理想容器，如果想追求性价比，可以选择 红黑树 RB-Tree

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