【算法基础】基础算法

news2024/12/27 2:25:33

快速排序

模板题：785. 快速排序 - AcWing题库

思路：

定义一个x（一般喜欢用中间的），我们快速排序，让x左边的都比它小，同时让右边的都比它大。然后像二分一样不断细分，缩小范围进行同样的操作。

细节：让x左边的都比它小，同时让右边的都比它大。双指针算法，只要满足条件就移动指针，否则就交换两个数。

像二分一样不断细分，缩小范围进行同样的操作。递归操作。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,q[N];
void quick_sort(int q[],int l,int r)
{
	if(l>=r) return;
	int i=l-1,j=r+1,x=q[l+r>>1];//这里多一位的原因是下面的do-while
	while(i<j)
	{
		do i++;while(q[i]<x);
		do j--;while(q[j]>x);
		if(i<j) swap(q[i],q[j]); 
	}
	quick_sort(q,l,j);
	quick_sort(q,j+1,r);
}
signed main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>q[i];
	}
	quick_sort(q,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cout<<q[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

 归并排序

模板题：787. 归并排序 - AcWing题库

思路：确定分界点，递归排序，归并--合二为一。

两段排好序后，用两个指针分别指向两端中最小的数。比较两个指针的大小，输出小的，移动指针。直到一段被输出完，直接按顺序输出另一段即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,q[N],tmp[N];
void merge_sort(int q[],int l,int r)
{
	if(l>=r) return;
	
	int mid=l+r>>1;
	merge_sort(q,l,mid);
	merge_sort(q,mid+1,r);
	
	int k=1,i=l,j=mid+1;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(q[i]<=q[j]) tmp[k++]=q[i++];
		else tmp[k++]=q[j++];
	}
	
	//退出了就说明，i>mid或j>r，就需要把剩下的数直接放进数组里 
	while(i<=mid) tmp[k++]=q[i++];
	while(j<=r) tmp[k++]=q[j++];
	
	
	for(i=l,j=1;i<=r;i++,j++)
	{
		q[i]=tmp[j];
	}
}
signed main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>q[i];
	merge_sort(q,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<q[i]<<" ";
	return 0;
}

逆序对的数量

788. 逆序对的数量 - AcWing题库

看题解：AcWing 788. 逆序对的数量--图解 - AcWing

 （这篇题解里很多大佬欸~看完评论才懂）

计算逆序对的数量，我们的思路是在归并过程中找出逆序对数量。

每次归并所使用的上次归并的结果数组都是有序的，所以如果[l,mid] 之间如果有q[i]大于右边数组q[j]的值，则[i,mid]之间的所有值都是大于q[j]的，可以用mid-i+1来计算

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,q[N],tmp[N];
long long res; 
void merge_sort(int q[],int l,int r)
{
	if(l>=r) return;
	
	int mid=l+r>>1;
	merge_sort(q,l,mid);
	merge_sort(q,mid+1,r);
	
	int k=1,i=l,j=mid+1;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else
        {
            res += mid - i + 1;
            tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
        }
	}
	while(i<=mid) tmp[k++]=q[i++];
	while(j<=r) tmp[k++]=q[j++];
	
	for(i=l,j=1;i<=r;i++,j++)
	{
		q[i]=tmp[j];
	}
}
signed main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>q[i];
	merge_sort(q,1,n);
	cout<<res;
	return 0;
}

二分

整数二分

789. 数的范围 - AcWing题库

注意这个板子在if里面最后给l或r赋值，必须要+1或者-1。用res记录时不用担心漏掉，不用res记录的情况正好需要-1/+1 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,q,a[N];
int sl(int x)//左边界 
{
	int l=0,r=n-1,res=-1;
	while(l<=r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		if(a[mid]>=x)
		{
			res=mid;
			r=mid-1;
		}else l=mid+1;
	}
	if(a[res]==x) return res;
	else return -1;
}
int sr(int x)
{
	int l=0,r=n-1,res=-1;
	while(l<=r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		if(a[mid]<=x)
		{
			res=mid;
			l=mid+1;
		}else r=mid-1;
	}	
	if(a[res]==x) return res;
	else return -1;
} 
signed main()
{
	cin>>n>>q;
	for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
	while(q--)
	{
		int k;
		cin>>k;
		cout<<sl(k)<<" "<<sr(k)<<endl;
	}
	return 0;
}

个人喜欢用的板子：整数二分

int l=1,r=n,res=-1;
while(l<=r)
{
    int mid=l+r>>1;
    if(check(mid))
    {
        res=mid;
        l=mid+1;
    }else r=mid-1;
}

 实数二分

790. 数的三次方根 - AcWing题库

纯板子题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double n;
signed main()
{
	cin>>n;
	double l=-1e4,r=1e4;
	for(int i=1;i<=100;i++)//二分100次 
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if(pow(mid,3)<=n)
		{
			l=mid;
		}else r=mid; 
	}
	printf("%.6f",l);
	return 0;
}

 放一个实数二分的模板：

    double l=-1e4,r=1e4;//这里是数的范围

	for(int i=1;i<=100;i++)//二分100次，100次就够了很精细了 
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))
		{
			l=mid;
		}else r=mid; 
	}
//最后输出l或者r都行，因为我们已经很精细了，这俩值最后是相等的

高精度

加法

791. 高精度加法 - AcWing题库

模拟题，可以参考之前写的一篇博客。

千万要记得字符数组到整型数组的转换!!

【算法】模拟，高精度_想七想八不如11408的博客-CSDN博客

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
string A,B;
int a[N],b[N],c[N];
signed main()
{
	cin>>A>>B;
	for(int i=A.length()-1,j=1;i>=0;i--,j++)
	{
		a[j]=A[i]-'0';	
	} 
	for(int i=B.length()-1,j=1;i>=0;i--,j++)
	{
		b[j]=B[i]-'0';	
	} 
	int len=max(A.length(),B.length());
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		c[i]+=a[i]+b[i];
		c[i+1]=c[i]/10;
		c[i]%=10;
	}
	if(c[len+1]) len++;
	for(int i=len;i>=1;--i) cout<<c[i];
	return 0;
}

减法

792. 高精度减法 - AcWing题库

是一个模拟题。

我们主要写的是大数减小数的情况，因此前面要讨论：

如果完全一样，直接返回0。

再对长度进行讨论，主要是长度相同的情况。从高位到低位进行比较，如果a大，我们就可以放心了。如果相等就继续下一位讨论，最后一种情况就是a小了，直接交换。

减法就是加法的一种特殊形式，加上一个负数嘛。但是要注意加法是进位，相应的减法是减位。

最后也要记得去除前导0。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
string A,B;
int a[N],b[N],c[N];
int flag;//标记A,B是否交换过，也就代表是否有负号 
signed main()
{
	cin>>A>>B;
	if(A.compare(B)==0)
	{
		cout<<"0";
		return 0;
	}
	
	if(B.length()>A.length())
	{
		swap(A,B);
		flag=1;
	}else if(B.length()==A.length()){//长度相同 
		for(int i=0;i<A.length();i++)
		{
			if((A[i]-'0')>(B[i]-'0'))//如果a大直接就结束循环了 
			{
				break;
			}else if((A[i]-'0')==(B[i]-'0')){
				continue;
			}else{
				swap(A,B);
				flag=1;
			}
		}
	}	
	
	for(int i=A.length()-1,j=1;i>=0;i--,j++)
	{
		a[j]=A[i]-'0';
	}
	for(int i=B.length()-1,j=1;i>=0;i--,j++)
	{
		b[j]=B[i]-'0';
		b[j]=-b[j];
	}
	int len=max(A.length(),B.length());
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		c[i]+=a[i]+b[i];
		if(c[i]<0)
		{
			a[i+1]--;
			c[i]+=10;
		}
	}
	while(!c[len]) len--;
	if(flag) cout<<"-";
	for(int i=len;i>=1;i--) cout<<c[i];
	return 0;
}

乘法

793. 高精度乘法 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],b[N],c[N];
signed main()
{
	string A,B;
	cin>>A>>B;
	int lena=A.length(),lenb=B.length();
	int len=lena+lenb;
	for(int i=lena-1,j=1;i>=0;j++,i--)
	{
		a[j]=A[i]-'0';
	}
	for(int i=lenb-1,j=1;i>=0;j++,i--)
	{
		b[j]=B[i]-'0';
	}
	for(int i=1;i<=lena;i++)
	{
		for(int j=1;j<=lenb;j++)
		{
			c[i+j-1]+=a[i]*b[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		c[i+1]+=c[i]/10;
		c[i]%=10;
	}
	while(!c[len]) len--;
	for(int i=max(1,len);i>=1;i--) cout<<c[i];
	//注意0,0的情况 ,要输出一个0 
	return 0;
}

除法

794. 高精度除法 - AcWing题库

模板是大数（高精度）除以小数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int b,a[N],c[N];
int main()
{
    string A;
    cin>>A>>b;
    for(int i=0;i<A.length();i++)
    {
    	a[i]=A[i]-'0';
	}
	int r=0;
	for(int i=0;i<A.length();i++)
	{
		r=r*10+a[i];
		c[i]=r/b;
		r%=b;
	}
	int k;
	for(int i=0;i<A.length();i++)
	{
		if(!c[i]) continue;
		else{
			k=i;
			break;
		}
	}
    if(k==0&&c[0]==0)//说明都是0 
    {
        cout<<"0";
    }else{
    	for(int i=k;i<A.length();i++) cout<<c[i];
    }
    cout << endl << r << endl;
    return 0;
}

前缀和

【蓝桥杯】二分、前缀和、差分练习_想七想八不如11408的博客-CSDN博客

795. 前缀和 - AcWing题库

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],s[N];
signed main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	cin>>a[i];
    	s[i]=s[i-1]+a[i];
	}
	while(m--)
	{
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
	}
    return 0;
}

二维前缀和

796. 子矩阵的和 - AcWing题库

注意画图

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int a[N][N],s[N][N];
signed main()
{
    int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    	{
    		cin>>a[i][j];
    		s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
		}
	}
	while(q--)
	{
		int x,y,xx,yy;
		cin>>x>>y>>xx>>yy;
		cout<<s[xx][yy]+s[x-1][y-1]-s[x-1][yy]-s[xx][y-1]<<endl;
	}
    return 0;
}

 差分

797. 差分 - AcWing题库

 题解：AcWing 797. 算法基础班--第一章--11.一维差分模板 - AcWing

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,a[N],m;
int b[N];//差分数组 
signed main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	cin>>a[i];
    	b[i]=a[i]-a[i-1];//构建差分数组 
    	//这样的话，对b求前缀和就能得到a 
	}
	while(m--)
	{
		int l,r,c;
		b[l]+=c,b[r+1]-=c; //进行操作 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=b[i]+a[i-1];//an = b1 + b2 + b3 + … + bn
		cout<<a[i]<<" ";
	}

    return 0;
}

二维差分

AcWing 798. 差分矩阵 - AcWing

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1010;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];
int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    	{
    		cin>>a[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    	{
    		b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
		}
	}
	while(q--)
	{
		int x,y,xx,yy,c;
		cin>>x>>y>>xx>>yy>>c;
		b[x][y]+=c;
		b[xx+1][y]-=c;
		b[x][yy+1]-=c;
		b[xx+1][yy+1]+=c;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1]+b[i][j];		
		} 
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			cout<<b[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
    return 0;
}

 双指针

最长连续不重复子序列

799. 最长连续不重复子序列 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e5+10;
int n;
int a[N],s[N];
int ans;//注意看题，是最长连续不重复的序列 
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1,j=1;i<=n;i++)
    {
    	s[a[i]]++;
    	while(s[a[i]]>1)//必须要注意这里是while，要把j移到能移到的最右边
    	{
    		s[a[j]]--;
    		j++;
		}
		ans=max(ans,i-j+1); 
	}
	cout<<ans;
    return 0;
}

 数组元素的目标和

800. 数组元素的目标和 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e5+10;
int n,m,x;
int a[N],b[N];
signed main()
{
    cin>>n>>m>>x;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=0;i<m;i++) cin>>b[i];
	int i=0,j=m-1;
	while(i<n&&j<m)
	{
		if(a[i]+b[j]>x)
		{
			j--;
		}else if(a[i]+b[j]<x){
			i++;
		}else{
			cout<<i<<" "<<j;
			return 0;
		}
	}
    return 0;
}

判断子序列

2816. 判断子序列 - AcWing题库

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e5+10;
int n,m;
int a[N],b[N];
signed main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=m;i++) cin>>b[i];
    
    if(n>m)
    {
    	cout<<"No"<<endl;
    	return 0;
	}
	int i=1,j=1;
	while(i<=n&&j<=m)
	{
		if(a[i]==b[j])
		{
			if(i==n)
			{
				cout<<"Yes"<<endl;
    			return 0;
			}
			j++;
			i++;
		}else{
			j++;
		}
	}
	cout<<"No"<<endl;
    return 0;
}

位运算

把第k位移到最后一位 n>>k

看个位是几 x&1

举个栗子：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e5+10;
int n,m;
int a[N],b[N];
signed main()
{
    int n=10;//10的二进制表示是1010 
    for(int k=3;k>=0;k--)
    {
    	cout<<(n>>k&1)<<" ";
	}
    return 0;
}

  

lowbit操作（是树状数组的基本操作），是返回x的最后一位1

x=1010        lowbit(x)=10 

x=101000    lowbit(x)=1000

lowbit(x)其实就是x&-x，

-x是原数的补码，是取反加1。-x=~x+1

x                       =101 0000 1000

~x                     =010 1111  0111

~x+1                 = 010 1111 1000

x&-x=x&(~x+1) = 000 0000 1000

801. 二进制中1的个数 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e5+10;
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
signed main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
    	int x;
    	cin>>x;
    	int res=0;
    	while(x) x-=lowbit(x),res++;
    	cout<<res<<" ";
	}
    return 0;
}

离散化

802. 区间和 - AcWing题库

“假定有一个无限长的数轴”，需要离散化。特点跨度很大，但非常稀疏。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =300010;
int n,m,a[N],s[N];

typedef pair<int,int> PII;
vector<int> alls;//存所有待离散化的坐标 
vector<PII> add,query;//存操作 

int find(int x)
{
	int l=0,r=alls.size()-1,res=-1;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(alls[mid]>=x) r=mid-1,res=mid;
		else l=mid+1;	
	}	
	return res+1;//映射成从1开始 
} 
signed main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	int x,c;
    	cin>>x>>c;
    	add.push_back({x,c});
    	alls.push_back(x);
	}
	while(m--)
	{
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		query.push_back({l,r});
		alls.push_back(l);
		alls.push_back(r);
	}
	//去除 
	sort(alls.begin(),alls.end());
	alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()),alls.end());
	 
	for(auto item:add)
	{
		int x=find(item.first);
		a[x]+=item.second;
	} 
	for(int i=1;i<=alls.size();i++) s[i]=s[i-1]+a[i];//处理前缀和
	for(auto item:query)
	{
		int l=find(item.first),r=find(item.second);
		cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;//前缀和 
	} 
	
    return 0;
}

 区间合并

803. 区间合并 - AcWing题库

区间合并指的是合并两个有交集的区间。按区间左端点排序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =100010;
typedef pair<int,int> PII;
int n;
vector<PII> segs;
void merge(vector<PII> &regs)
{
	vector<PII> res;
	sort(segs.begin(),segs.end());
	int st=-2e9,ed=-2e9;
	for(auto seg:segs)
	{
		if(ed<seg.first)
		{
			if(st!=-2e9) res.push_back({st,ed});
			st=seg.first,ed=seg.second;
		}else ed=max(ed,seg.second);
	}
	if(st!=-2e9) res.push_back({st,ed});
	segs=res;
}
signed main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	int l,r;
    	cin>>l>>r;
    	segs.push_back({l,r});
	}
	merge(segs);
	cout<<segs.size()<<endl;
    return 0;
}

第一章完结撒花，略略略~ 

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