一、引言
最小费用流算法(Minimum cost flow, MCF) 最早是由 Costantini M. A1998 年提出的，该方法是将未解缠相位的相邻梯度差与解缠相位的相邻梯度差间的差异即不连续性最小化，具有极强鲁棒性与准确性，有基于规则与不规则网络之分。2002年，于勇、王超等人提出了一种在不规则网络下的最小费用流的解包裹算法，该算法仅处理干涉图中质量高的点，避免了低质量点会在运算中引起误差，最终获得真实的相位信息。2006年，杨锋涛等人将相位的二阶差分定义为权值融入到最小费用流的解包裹算法中，提高了解包裹精确性能。2017年，王国峰等人应用角反射器差分干涉方法及反距离加权最小费用流相位展开算法，经过实例证明了该方法得到的信息与真实值最为接近，并能应用于较小区域的地表变化监测中。
二、最小费用流算法原理
Costantini 网络流算法是以包裹与解包裹之间的相邻相位梯度差除以 2π 得到的整数所代表的残差为出发点，在网络上寻找最小成本流的问题。残差即相位图中不连续点，这表明，可以将相解包裹等同于一个求整数变量的极小化问题。网络流图解示意图如图1所示，图中的节点即为 ( i , j ) ∈ S 0 \left( i,j \right)\in {{S}_{0}} (i,j)∈S0 ，箭头的正方向为流入节点的流，箭头的负方向为流出节点的值。
φ(i, j) 为解包裹相位， 
为包裹相位，有：
为解包裹相位梯度， 
为包裹相位梯度。定义：
定义满足且仅满足下式条件时，离散空间为无旋矢量场即无残差点：
其中，
解包裹相位梯度与包裹相位梯度间可由以下两式表示：
当包裹相位不存在残差点即为无旋场时，满足 
，
，此时k1和k2数值为零。然而在现实测量中，包裹相位通常为有旋场即存在残差点，因此上式(1)所示的相位展开问题转换为求下列离散导数的问题：
计算残差 
，
的物理意义即求解包裹相位梯度
和 
需要修正的量。利用求得的残差 
、 
依据上述关系就可以求得离散偏导数 
和
，进而应用下式求得真实解包裹相位
。
定义非负实数 
以及
为残差 
的加权，且定义数值必须较小。换句话说，是将
的可信度加权为对
的估计。由于网络流算法的最终目的是使相邻相位的不连续性最小化，故加权函数 
对最小化目标函数的影响不大。因此本文选取所有内部元素的权重为1，边缘像素的权重为0.5，角像素为0.25。
网络流算法目标函数就可以定义为：
且同时满足：
可以发现上述讨论的问题为一个带整数变量的非线性极小化问题，为了提高运算效率，可以通过进行下述线性最小化问题的转换，更加有效地解决这个最小化问题：
且同时满足：
若将该问题经过如下所示的变化，便可以将线性最小化的解转换为非线性最小化的解：
那么，通过网络优化的最小费用流算法解得 
的值，
就可以得到
的结果。运算步骤如下：
Step1由网络优化的最小费用流算法得到 
Step 2 通过(38)、 (39)式，得到 
的值；
Step 3 通过(27)、 (28)式，得到
的值；
Step 4 最终，通过(29)式，便可得到
。
三、仿真实验验证
3.1 实例演示一
仿真得到包裹相位图如下图所示，采用最小费用流算法解包裹相位如图2所示。
3.2 实例演示二
另一演示实例如下图所示，包裹相位图如图3所示，采用最小费用流算法解包裹后的相位如图4所示。
四、参考文献
[1] 赵亚迪. 双波长数字全息成像方法及应用 [D]; 华北理工大学, 2019.
五、Matlab程序获取
上述演示程序可从以下链接获取：
https://download.csdn.net/download/qq_36584460/87782444
博主在读博士期间从事过相关研究，相关Matlab程序开发、实验指导，请私信博主，联系方式见文章底部。
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