深度解析布谷鸟过滤器

0 引言

布隆过滤器（Bloom Filter），诞生于UNIX元年（1970年）的一个老牛逼的过滤器，与时间戳同寿，经久不衰老而弥坚，查重性能至今令人非常满意。美中不足的是有一点误判率并且支持删除元素比较困难。44年后，卡内基梅隆大学的Bin Fan等人发了篇文章，标题是《布谷鸟过滤器：雀食吊过布隆》，号称有更好的空间利用率、更高的性能、更低的误判率、对删除操作更好的支持。听起来有点东西，深入文章研究下。

1 相关研究（又名：全靠同行承托）

1.1 布隆过滤器和它的各路变种

1.1.1 标准布隆过滤器

标准布隆过滤器仅支持插入和查找两个操作，并且存在一个假阳率ε，如果希望假阳率更低，那么就需要付出更高的空间代价。

通俗的翻译一下假阳率，这个概念后文可能还会出现。我向布隆过滤器查询，a是否存在，如果返回不存在，那就100%不存在，不接受反驳。如果返回存在，那就要小心了，因为它有ε的概率是错的，实际上a并不存在。当然，我实际工作中使用一般会让ε在0.000001这样很小很小，1亿次错个1百1千次之类的，可以接受。

布隆过滤器的工作原理非常简单，k个随机哈希函数和1个长长的bit数组（初始为全0），插入一个元素时，使用k个哈希函数进行计算，并根据计算结果把bit数组中对应的k个比特位置为1。查询的时候也是同理，进行相应的计算后，查询对应的k个位置是不是都为1，如果都是1，那么说明已存在，否则说明不存在。想必读到这里，已经能领悟到假阳率出现的根源了吧。

在实际生产环境中，我们首先选取一个ε值，例如我用的是0.000001，即百万分之一，与之对应的哈希函数个数k的选取，则需要一点小小的计算：

$${\log }_2\frac{1}{\epsilon }$$

通过一系列的概率极限偏微分方程的计算可以得到这个值，是空间最优的一个解，这里就不做推导了。根据我的ε值可以计算得到，k=20，即我们需要设置20个哈希函数。在最优解下，每个元素需要的存储空间为：

$$\frac{1}{\ln 2}\ast {\log }_2\frac{1}{\epsilon }$$
(注：原论文中采用的系数1.44为近似值，实际公示推导结果为$\frac{1}{\ln 2}$)

则如果需要对n个元素做查重需要的空间如下：

$$n\ast \frac{1}{\ln 2}\ast {\log }_2\frac{1}{\epsilon }$$

显然，单个元素的存储空间只与ε有关，而与元素本身的大小并无关系。根据信息论原理单个元素需要的最小空间为${\log }_2\frac{1}{\epsilon }$，布隆过滤器需要的空间仅比信息论最小值高约44%，这样的空间利用率，不可谓不高效。

标准布隆过滤器优点突出，缺点也非常显著，那就是它不支持删除操作。为了解决这一点，有人提出了一种布隆过滤器的扩展，Counting Bloom filters ，我也不知道怎么翻译，就叫计数布隆过滤器吧。

1.1.2 计数布隆过滤器（CBF）

首先思考下为什么标准布隆过滤器不支持删除操作，插入操作是把对应的k位bit置为1，那删除的时候我置为0不就行了？显然是不行的，万一元素B有某一位bit[x]和元素A重复了，那在删除A的过程中，bit[x]就置为0了，那么我再去查找B，就会发现bit[x]=0，B不存在，那就完犊子了，因为我们并没有删除过B。

要解决这一问题也非常简单，无非是因为一个bit位能包含的信息太少了，这个问题加钱就能解决。把每个bit位改成一个计数器，本来bit[x]只能0 $\Rightarrow$ 1，现在有了计数器，就可以bit[x]+1了，删除的时候bit[x]-1。对于上述A, B元素，bit[x]=2，删除A元素bit[x]=1了，丝毫不会影响到B元素后续的查找。

关于计数器的位数的计算，有点高深，有一步什么斯特林公式的变换完全没看懂，反正4位就很够用了。1个bit位需要对应成一个4位的计数器，所以CBF的空间开销差不多是标准布隆的4倍。

这种计数器的方法可以说是简单粗暴，在空间的使用上也有些奢侈了，显然还有进一步的优化空间。

1.1.3 Blocked Bloom filters

来自卡尔斯鲁厄大学的FELIX PUTZE等人在2007年的研究《Cache-, Hash- and Space-Efficient Bloom Filters》，这个我也没找到啥中文资料，冒昧翻译为分块布隆过滤器，这是标准布隆过滤器的又一变种，它提升的方向是进一步的提高性能。布隆过滤器本身性能已经非常优越了，但仍有某些场景对性能有更极致的追求，例如阿里云对RuntimeFilter进行性能优化的时候就把标准布隆过滤器替换成了Blocked Bloom filters。

性能提升付出的代价是更高的假阳率，多用了一点空间，同时它依然不支持删除操作。

这个变种并不符合我的工作需要，所以没有进行更深入的学习研究，1.1.2提到了CBF对空间的浪费，下面来看下如何对其进行优化提升。

1.1.4 d-left Counting Bloom filters

翻译这活真不是人干的，我绞尽脑汁给它起了个名字：基于多子表均衡左优先存储哈希表的计数布隆过滤器。

要理解这个变种，首先要理解d-left hashing，我自认为翻译的还是到位的，多子表均衡(d)左优先存储(left)哈希表(hashing)。把整个哈希表分成d个从左到右连着的子表，每个子表对应一个不同的哈希函数，当加入一个新元素时，分别计算d个哈希函数，得到d个不同的位置，然后将新元素加入到负载最轻的位置，如果有多个子表负载相同且均为最轻，则默认加入到最左边的子表。同理，进行查找操作时自然也就需要分别进行d次计算和查找。

虽然这种过滤器的名字里依旧包含Counting，但这只是表示它是CBF的变种，实际它已经抛弃了计数器，转而为每个元素存储了一个指纹，而这个指纹，正是使用了d-left hashing进行存储的。需要进行删除操作时，直接从d-left hashing中移除对应的指纹即可。

通过d-left hashing存储指纹的方式，d-left CBF可以比CBF节省约50%的存储空间，亦即标准布隆过滤器的1.5~2倍左右。

d-left CBF和本文将重点介绍的布谷鸟过滤器有很多相似之处，这里暂时按下不表，先看另一种非常流行的过滤器——Quotient filters。

1.1.5 Quotient filters

商过滤器，中文资料也是乏善可陈，因此我辛苦一下，在这里做一个最通俗易懂的中文讲解。

据说商过滤器是诞生于《计算机程序设计艺术（第3卷）》6.4节的习题13，我特地去看了下原题，嗯，劳资题目都看不懂啊！我要有这么难的作业必不可能拿到毕业证书啊！

言归正传，商过滤器只进行一次哈希函数计算，显然比上述的k次d次计算来的效率要更高，另外商过滤器也支持删除操作。这两点就是他相较于标准布隆过滤器的主要优点，没错，标准布隆过滤器就是战斗力计算单位。

首先我们构造一个 $3\ast 2^r$bit位长度的哈希表，给每3位bit对应分配一个槽，即有 $2^r$个槽，构造好之后我们暂且把他放在一边，等会儿再说怎么用。

然后我们来对一个元素x进行以下3次运算：

① 对元素x进行一次哈希函数的运算，这里记为 $f(x)$；
② 对 $f(x)$做一次除法运算，取其商 $f_q(x)=\lfloor f(x)/2^r\rfloor$；
③ 对 $f(x)$做一次模运算，得到余数 $f_r(x)=f(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{f}_q(x)$；

假定8个元素，分别进行上述运算后，得到下面这样一组值，接下来我们把这组值填入到之前构造的哈希表中。

$f$	$f_q$	$f_r$
A	1	a
B	1	b
C	3	c
D	3	d
E	3	e
F	4	f
G	6	g
H	6	h

填入结果如下图所示

表格上方的0~9数字，用于表示每个槽的索引，根据商 $f_q$的值，将 $f_r$填入与 $f_q$对应的索引中。如第一个放入的A，商为1，则把a填入到索引为1的槽内，第二个放入B的时候，发现商也是1，而索引1的槽已经被A占用了，那就往后顺延一格，存入索引为2的槽内。C的商为3，则存入索引为3的槽内，DEFGH同理往后顺延。

前文我们说过，给每3位bit对应分配一个槽，槽存储了 $f_r$的值，3位bit则另有他用。这3位bit分别表示：

• is_occupied: 是否被正确的占据了。重点不是这个槽有没有被占据，而是有没有被正确的占据，即有没有与槽位索引对应的商值。如A的商是1，那么槽位1就被正确的占据了。再看槽位6，G的商是6，而这个槽位已经被F占了，但槽位6仍然是拥有一个与它对应的商值的，虽然G不在槽位6，槽位6的is_occupied依然是1；
• is_continuation: 是否连续的。以DE为例，他们的商值都是3，因为槽位3已经被C占据，他们被迫往后顺延，这种情况我们称DE对于C而言是连续，因此DE的is_continuation值均为1。而F的商值是6，和CDE就不再连续了，所以F这个槽位的is_continuation值为0；
• is_shifted: 是否被移动了。主语是当前槽位内的值。如B，根据商值它应该放在槽位1，但被迫往后顺延到了槽位2，因此它的is_shifted值为1。C则原本就在槽位3，is_shifted为0，DEFGH都是同理，被迫往后顺延了，因此is_shifted都是1；

1.2 对比总结

过滤器类型	空间消耗	查找开销	删除支持
标准布隆过滤器	1	k	no
分块布隆过滤器	1x	1	no
计数布隆过滤器	3x ~ 4x	k	yes
d-left CBF	1.5x ~ 2x	d	yes
商过滤器	1x ~ 1.2x	$⩾$ 1	yes
布谷鸟过滤器	$⩽$ 1x	2	yes

注：k和d在上文中都有提及，不再解释；1x表示比1多一点点，3x ~ 4x表示为1的3~4倍左右；

相关的一些过滤器变种在这里就介绍完了，关于布谷鸟过滤器的深入研究，将在下篇中继续。