1.二叉排序树

1.1. 定义

或者是一棵空树；或者是具有如下特性的二叉树：

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
3. 它的左、右子树也都分别是二叉排序树。

二叉排序树的中序序列是一个有序的序列

1.2. 查找过程

在查找过程中，逐步缩小查找范围的过程，并生成了一条查找路径

【算法描述】

1.3. 插入过程

• 插入的结点只能是叶子结点
• 插入是基于查找失败情况下插入的

当二叉排序树为空时，插入操作会改变指向根结点的指针，所以p是BiTree *类型的,*p是p指向的对象。

1.4. 创建二叉排序树

二叉排序树在查找的过程中从无到有，动态生成

【插入算法】

【创建算法】

1.5. 删除操作

要求： 确保移除之后，依然保持排序

存在三种情况：

（1）被移除的结点是叶子结点

删除操作中的指针变量p在查找过程中存放的是结点左孩子变量或右孩子变量的地址，*p是结点的左孩子或右孩子变量。一旦查找成功，*p中存放的是待删结点的地址，*p指向待删除结点。q记被删除的结点,以便释放被删除结点的空间

（2）被移除的结点只有左子树或者只有右子树；

（3）被移除的结点既有左子树，也有右子树。

前驱替换方案：找到被删除结点的中序前驱（即左分支中的最大值），替换待删结点的值，并删除该前驱。

注意：左分支是否是左单分支

先找到在删除

【删除描述】

1.6 性能分析

树的形状取决于关键字集合和插入次序

所以，为了保证二叉排序树的左右结点数均分，要在插入的时候进行调整，构建平衡二叉树

2.平衡二叉树

2.1 定义

什么样的二叉排序树是平衡二叉树？

结点的平衡因子：该结点的左子树的深度H L 与右子树的深度H R 之差

平衡二叉树：或者是一棵空的二叉排序树，或者是具有下列性质的二叉排序树：

1. 根结点的左子树和右子树的平衡因子为-1、0或1;
2. 根结点的左子树和右子树也都是二叉平衡树。

结点的平衡因子=左子树的深度H L - 右子树的深度H R


现象：一棵平衡二叉树，结点的插入或删除，都可能会导致失衡

最小不平衡子树：失衡的结点及其关联结点构成的是一棵高度为2的子树，由三个结点、两条边构成。

对策：针对这棵子树，做平衡化处理(Rebalance)

2.2. 插入时的最小不平衡子树

平衡因子的计算：每当插入一个新结点时，都需要重新计算从新插入的结点到根结点的
路径上所包含结点的平衡因子，一旦找到失衡点，停止计算。

最小不平衡子树：在根到插入结点的查找路径中，以距离插入结点最近的、且平衡因子
的绝对值大于1的结点为根，沿此查找路径再找两个结点构成这棵最小不平衡子树。

最小不平衡子树的调整再平衡(Rebalance)

在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，将最小不平衡子树的高度2降低到高度1，使之成为新的平衡子树

2.3. 最小不平衡子树调整类型

LL型

RR型

LR型

RL型

2.4 平衡二叉树的查找分析

2.5 平衡二叉树的结点删除

平衡二叉树删除结点后的处理

最小不平衡子树类型的确定

【例题】