压缩感知中很重要的一步就是重构算法，重构算法关系着重建信号的质量。基追踪算法是凸松弛法是很有代表性的一种算法。

由于我们所要求解的问题是方程的个数远远大于未知数的个数，用0范数求解是很难求解出来的，这样就找到一种用范数来代替范数求解的方法，BP （Basis Pursuit ）算法就是利用范数求解的一种很好的方法。BP算法不是直接寻求信号的稀疏表示，只是表示的用于最小化的的系数[1]，通过等价信号的最小化的范数表示。下面介绍BP算法的原理。

     BP算法中0范数的模型为:

 范数是稀疏变换中不为零的个数，（1）式的求解比较困难，通过上面的说明，0范数可以用范数进行代替，则（1）式可以表示为：

(2)式表示的是理想的一种情况，在实际的应用中，会混入噪声，也就是：

那么（2）式可表示为：

 

（4）式中为噪声的能量。由于实际模型中会混入噪声，这就需要一种抑制噪声的模型，也就是改进后的BP算法，改进后的BP算法对噪声有一定的抑制作用，那么改进后的模型为 ：

BP算法的信号重构

  本节对BP算法进行重构，采用一维离散信号和二维lena信号对其进行信号重构，来观察BP算法的重构功能。

（1）一维离散信号的BP算法仿真

  本次仿真使用matlab随机生成的一维离散信号，稀疏度k=30,信号长度N=1000，观测向量的长度M=200，那么采样率M/N=0.2，其中的观测矩阵是高斯随机矩阵。采用BP算法对一维信号进行重构，重构图如图1：

图1：BP算法一维信号重构图

由图1可以得到，BP算法对一维信号有很好的重构功能。

 

2）二维lena图像的BP算法重构

BP算法对二维信号进行重构，在这里我们采取和MP算法二维信号重构的方法，也是先采取离散余弦变换（dct）使数据稀疏，算法重构结束之后再进行离散反余弦变换（idct），这样就转化为了我们所需要的。本次在matlab中的仿真，我们采用的是256X256的Lena的二维图像，M=180，N=256，稀疏度k=40，M/N=0.7，观测矩阵是高斯随机矩阵，采用BP算法对二维图像进行重构，重构效果如图2（b）：

(a) 原始图像             （b） BP算法重构图片

（M/N=0.7）