完全二叉树

满二叉树：二叉树每个节点的度都达到最大值（2），由此可有等比求和计算出节点总数：2^k-1

完全二叉树：除了最后一层。前面节点的度都满了，最后一层可以不满，但是必须从左至右连续，所以满二叉树也是完全二叉树的一种特殊形式，其总结点的范围在：2^(k-1) ~ 2^k-1

而满二叉树也是完全二叉树的一种特殊形式 

 二叉树的顺序结构与实现

其实堆就是一种特殊的二叉树结构（完全二叉树），但是堆实现排序相较于冒泡排序是相当快的，并且堆也可以迅速的找出一堆数据中的前几个最值，而堆恰恰就是用顺序表数组来实现的，所以就先来了解一下二叉树顺序结构。

 二叉树的顺序结构

完全二叉树的形式可以很好的与数组契合，因为节点的连续性，所以用顺序表结构的数组存储完全二叉树是十分合适的，并且可以直接通过数组下标的关系找到对应的子节点和父节点。

 而对于二叉树的其他形式是不适合用数组来存储的，可能会复杂并且存在空间的浪费。

堆的概念与结构 

首先我们要知道，堆的结构是完全二叉树，并且推也分为两种：大（根）堆，小（根）堆。

 而堆也只有大堆和小堆两种形式，其他不满足条件的都不属于堆。

大（根）堆：树中的任意一个节点存储的值都小于等于其父节点存储的的值

小（根 ）堆：树中的任意一个节点存储的值都大于等于其父节点存储的的值

堆的基本实现

 堆是可以用顺序表结构的数组来实现的，所以可以借鉴前面栈的实现方法，而下面介绍的是大（根）堆的写法：

需要实现的函数

typedef struct Heap
{
	int sz;
	int capacity;
	int* arr;

}Heap;

void Init(Heap* hp);//初始化堆
void Push(Heap* hp, int x);//增数据
void Pop(Heap* hp);//删数据
int GetTop(Heap* hp);//得到根数据
void Destroy(Heap* hp);//空间释放

void Init(Heap* hp)
{
	hp->arr = (int*)malloc(sizeof(int) * 3);
	hp->capacity = 3;
	hp->sz = 0;//指向实际数据的下一个节点
}

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 =  *p2;
	*p2 = tmp;
}

void Adjust_up(int* arr,int child)
{
	while (child > 0)
	{
		int parent = (child - 1) / 2;//不可以作为while的条件，child==0时
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
		}
		else
			return;

	}
}
void Push(Heap* hp, int x)
{
	if (hp->sz == hp->capacity)
	{
		hp->capacity *= 2;
		int* tmp = (int*)realloc(hp->arr, sizeof(int) * hp->capacity);
		assert(tmp);
		hp->arr = tmp;
	}
	hp->arr[hp->sz] = x;
	
	hp->sz++;
	//向上调整保证是堆
	Adjust_up(hp->arr,hp->sz-1);
}

void Adjust_down(int* arr,int last)
{
	int parent = 0;
	int child = parent * 2 + 1;//假设较大值是左孩子
	while (child<last)
	{
		if (child + 1 < last && arr[child] < arr[child + 1])//先防止越界，再验证较大值（只有一个左孩子时可能会越界）
			child += 1;

		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
			return;
	}
}
void Pop(Heap* hp)//删除根节点的数据
{
	assert(hp->sz);//保证有数据
	//防止改变堆的父子大小关系，保证其他数据的关系不变，则选择尾元素换到头
	hp->arr[0] = hp->arr[hp->sz - 1];
	hp->sz--;

	//向下调整
	Adjust_down(hp->arr,hp->sz);
}

int GetTop(Heap* hp)
{
	assert(hp->sz);
	return hp->arr[0];
}

void Destroy(Heap* hp)
{
	free(hp->arr);
	 
	hp->capacity = hp->sz = 0;
}

这里其实看一下Adjust_down 和 Adjust_up 这两个函数的实现就行了，主要就是插入数据时要用到向上调整数据，而删除根元素时会用到向下调整数据，这两个函数使用之前都要保证原数据的父子关系不会发生改变，即：除了增加或删除的数据，其余子树都是堆的形式。

用堆进行排序 

经过堆的实现，我们知道一个数据按照堆去存放，根节点的值要么是最大值要么就是最小值，所以我们多进行几次不就可以依次得到最大值（最小值）。假如用实现大（根）堆的方式来实现，首先将数组中的数一个个按照向上调整建堆的方式插入进去，这样根就是最大的一个数，此时接下来就有两种途径：1.将剩余的的数继续按照向上调整的方式再次建堆，找第二大的数（这样就改变了其他数之间的父子关系，故要全部重新插入）。2.将最后一个数和根（最大值）进行交换，再运用向下调整（类似于Pop 函数）实现接下来操作（这样不会改变原数据的父子关系，所以子树依旧是大堆的形式）。所以第二种方式就轻松了很多。

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向上调整建堆法

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void Push(int* arr,int child)
{
	while (child > 0)
	{
		int parent = (child - 1) / 2;
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
		}
		else
			return;

	}
}
void Pop(int* arr,int len)
{

	int parent = 0;
	int child = parent * 2 + 1;//假设较大值是左孩子
	while (child<len)
	{
		if (child + 1 < len && arr[child] < arr[child + 1])//先防止越界，再验证较大值（只有一个左孩子）
			child += 1;//可能存在越界

		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
			return;
	}
}
int main()
{

	int arr[] = { 6,1,7,0,3,5,8,2,9,4 };
	int len = sizeof(arr) / sizeof(int);
	for (int i = 1; i < len; i++)//向上建堆
	{
		Push(arr, i);//传下标
	}

	while(len>0)
	{
		Swap(&arr[0], &arr[len-1]);//将最大值放到最后面
		Pop(arr, len - 1);//传最后一个数的下一个下标
		printf("%d ", arr[len-1]);
		len--;//每循环一次就排好了一个数
	}

	return 0;
}

有一点要注意的是，每次找到最大的数换到数组的最后，则每向下调整一次就得到当前推中的最大值，数据就会逐渐少一，所以依次进行之后数据就按照升序的方式排列了，即：运用大根堆法实现升序，运用小根堆法实现降序。

向下调整建堆法

上面的堆排序其实是用到了向下调整建堆，向下调整找重建堆找最值。那么可不可以建堆也用向下调整的方式来完成呢，而在一份完整的数据面前我们想用向下调整的条件是：该节点的左右子树都是大堆（小堆）的形式才可以。

假如我们想要建立一个小堆。就以上面代码中的数组为例，我们现在的目的就是找可以向下调整的节点，即：该节点的左右子树都是小堆，而我们从图中可以确定的小堆就是最靠近叶节点的分支节点，因为该分支节点的两个分支是叶节点，故一定是小堆，即图中为3的节点，所以我们就从该位置开始向下调整，并且要逆着继续执行，找前面的分支节点，就依次从后向前，这样就可以保证你任何时候向下调整的节点的左右子树一定是堆。

步骤即：

代码实现

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void Adjust_down(int* arr, int i,int len)
{
	int parent = i;
	int child = i * 2 + 1;

	while (child < len)
	{
		if (child + 1 < len && arr[child] > arr[child + 1])//防止有右孩子不存在的情况
			child++;//找较小的子节点
		if (arr[parent] > arr[child])//如果父节点本来就小，不用换
		{
			Swap(&arr[parent], &arr[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
			return;
	}

}
int main()
{
	int arr[]= { 6,1,7,0,3,5,8,2,9,4 };
	int len = sizeof(arr) / sizeof(int);
	//先向下调整建堆
	for (int i = (len - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//i指向元素下标而len-1是最后一个元素下标
	{
		Adjust_down(arr, i,len);//len是最后一个元素的下一个下标
	}
	//向下调整找最值
	while (len > 0)
	{
		Swap(&arr[0], &arr[len - 1]);//交换一次就保留一个最小值放到最后面
		Adjust_down(arr, 0, len - 1);//此时最后一个元素就不计算在内
		printf("%d ", arr[len - 1]);//从后向前打印数据
		len--;
	}

	return 0;
}

复杂度分析

向上调整建堆：当层数节点多时，需要调整次数也多。所以数据越多，所执行调整的次数也就越多，时间复杂度也就越高。 

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向下调整建堆：而相对于向上调整而言，向下调整建堆就明显避开了层数节点多时，需要调整次数也多等问题，恰恰相反，层数节点越多，需要调整的次数越少，时间复杂度是O(n-logn) 即：O(n) 。计算就留给你们了，和上面的方法一样。

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而上面的方法实现堆排序的时间复杂度是O(n+n*logn)，即：O(n log n)        

堆中的TOP-K问题

我们了解到堆排序相比冒泡排序而言，效率要高得多，而且向下调整建堆又比向上调整建堆效率高，所以我们就引申到堆中的 TOP-K 的问题，即：找所有数中最大（最小）的前 K 个数。

那么直接将这给的所有数据建成堆并向下调整排序不就成了，可是1.如果给的数据过大，空间不够用呢 2.只想要前 K 个最值，但是再向之前一样建存放所有数据的堆，是不是就存在严重的空间浪费了呢。

假如说我们要找所有数据的前5个最大的值：所以我们就想到了建一个只能存放5个数的小堆，然后依次将后面的数与堆顶的值进行比较，如果大于堆顶的数就交换，进行向下调整，重新建堆，然后依次将后面的数进行上面操作就可以完成。

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
void Adjust_down(int* arr, int i, int len)//i是下标，len是堆大小
{
	int parent = i;
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<len)
	{
		if (child + 1 < len && arr[child] > arr[child + 1])
			child += 1;
		if (arr[parent] > arr[child])
		{
			Swap(&arr[parent], &arr[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
			return;
	}
}
int main()
{
	srand((unsigned int)time(NULL));
	FILE* pf = fopen("data.txt", "w");
	if (pf == NULL)
	{
		perror("pf=NULL");
		return 1;
	}
	for (int i = 0; i < 1000; i++)
	{
		int x = rand() % 1000;//产生一万个随机数放在文件里
		fprintf(pf, "%d\n", x);
	}
	fclose(pf);//处理完数据之后一定要及时关闭，否则数据可能丢失

	//直接开辟相应大小的空间
	int k = 7;
	int* arr  = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	assert(arr);
	//读取文件中前面7个数据放到数组中
	FILE* po = fopen("data.txt", "r");
	assert(po);
	
	for(int i=0;i<k;i++)
	{
		fscanf(po, "%d", &arr[i]);//将前7个数存到数组里
	}
	for (int i = (k - 2) / 2; i >= 0; i--)//七个数向下调整建小堆
	{
		Adjust_down(arr, i, k);
	}
	//读取文件后面的数据
	int val = 0;
	while (feof(po)==0)
	{
		fscanf(po, "%d", &val);
		if (val > arr[0])
		{
			arr[0] = val;
			Adjust_down(arr, 0, k);//每执行一次，堆顶都是最小值
		}
	}
	for (int i = 0; i < k; i++)
		printf("%d ", arr[i]);

	return 0;
}

而当数据过多时，我们就会把数据存在文件当中，从文件中逐一的读取数据。使用小堆其实就保证了最小值在堆顶的位置，所以我们每次新来一个值就和堆顶（最小值比较），大的话就可以直接换掉最小值，再次调整，现在堆中的最小值又在堆顶....这样就方便了很多。