233搞懂HMM(隐马尔可夫)

news2024/11/8 17:10:46

文章目录

  • 2条性质
  • 3个参数
  • 3个问题
    • 维特比算法
  • 参考资料

有向图模型,主要用于时序数据建模,在语音识别,自然语言处理等领域,以及在知识图谱命名实体识别中的序列标注,有广泛应用。

HMM模型由两部分组成, 观测变量x状态变量y。其中状态变量又称为隐变量,常常被作为序列标注结果

2条性质

马尔可夫链性质:

  1. t时刻的状态变量y只由t-1时刻的状态决定,而与t-2及之前的无关
  2. t时刻的观测变量仅由t时刻的状态变量决定

3个参数

  1. 状态转移概率矩阵:
    NxN的矩阵,矩阵里的每个值记录从当前状态转移到其它状态的概率
  2. 输出观测概率矩阵:
    NxM的矩阵,M为观测值结果的个数
    矩阵记录从当前状态到每一个观测值的概率
  3. 初始状态概率
    在t=1初始时刻,各状态出现的概率。

给定隐马尔可夫模型 λ \mathbf{\lambda} λ,生成观测序列的过程:

  1. 设置t=1,根据初始状态概率参数,选择初始状态
  2. 根据输出观测概率矩阵,得出当前状态变量的观测变量
  3. 根据状态转移概率矩阵,得出当前状态变量的下一个状态变量
  4. 重复2-3过程,直到结束

3个问题

  1. 概率计算问题。给定模型 λ = ( A , B , π ) \lambda=\left(A,B,\pi\right) λ=(A,B,π)和观测序列 O = o 1 , o 2 , … , o T O=o_1,o_2,…,o_T Oo1o2,,oT,计算在模型 λ \lambda λ下观测序列 O O O出现的概率 P ( O | λ ) P\left(O\middle|\lambda\right) P(Oλ)。前向-后向算法是通过递推地计算前向-后向概率可以高效地进行隐马尔可夫模型的概率计算。

  2. 学习问题。已知观测序列 O = o 1 , o 2 , … , o T O=o_1,o_2,…,o_T Oo1o2,,oT,估计模型 λ = ( A , B , π ) \lambda=\left(A,B,\pi\right) λ=(A,B,π)参数,使得在该模型下观测序列概率 P ( O | λ ) P\left(O\middle|\lambda\right) P(Oλ)最大。即用极大似然估计的方法估计参数。EM算法可以高效地对隐马尔可夫模型进行训练。它是一种非监督学习算法。

  3. 预测问题。已知模型 λ = ( A , B , π ) \lambda=\left(A,B,\pi\right) λ=(A,B,π)和观测序列 O = o 1 , o 2 , … , o T O=o_1,o_2,…,o_T Oo1o2,,oT,求对给定观测序列条件概率 P ( I | O ) P\left(I\middle| O\right) P(IO)最大的状态序列 I = i 1 , i 2 , … , i T I=i_1,i_2,…,i_T Ii1i2,,iT维特比算法应用动态规划高效地求解最优路径,即概率最大的状态序列。

维特比算法

输入:HMM模型参数,观测序列
输出:状态序列
算法流程:
时刻由观测序列长度决定
δ \delta δ用于记录每一时刻各状态的概率
ψ \psi ψ用于记录前一个时刻的状态,便于回溯

  1. 初始化, δ \delta δ ψ \psi ψ ψ \psi ψ置为0
  2. 递归(动态规则,状态转移矩阵),
    现有t-1时刻,各状态出现的概率。
    根据状态转移矩阵,分别计算其转移到各个状态的概率,取最大值乘以输出观测概率
  3. 取累乘概率的最大值,并进行回溯,得到状态序列
class HiddenMarkov:
    def __self__(self):
        self.alphas = None
        self.forward_P = None
        self.betas = None
        self.backward_P = None
        
    def viterbi(self, Q, V, A, B, O, PI):
        # 状态集合的大小
        N = len(Q)
        # 观测序列的大小
        M = len(O)
        
        deltas = np.zeros((N, M))
        psi = np.zeros((N, M))
        I = np.zeros((1, M))
        
        # 遍历预测序列,即遍历全部时刻
        for t in range(M):
            # 得到这个观测序列值在观测集合里的索引 
            idxO= V.index(O[t])
            
            # 每一个时刻遍历所有状态
            for i in range(N):
                if t == 0:
                    deltas[i][t] = PI[0][i] * B[i][idxO]
                    psi[i][t] = 0
                else:
                    # t-1时刻所有的状态 与 转移到第i个状态的概率 对应相乘取最大值
                    # 再与输出预测相乘
                    deltas[i][t] = np.max(
                       np.multiply([delta[t-1] for delta in deltas], [a[i] for a in A])) * B[i][idxO]
                    
                    psi[i][t] = np.argmax(
                       np.multiply([delta[t-1] for delta in deltas], [a[i] for a in A]))
        # 得到最后一时刻的最大概率的下标
        I[0][M-1] = np.argmax([delta[M-1] for delta in deltas])
        # 由后向前递归得到其它结点
        for t in range(M - 2, -1, -1):
            I[0][t] = psi[int(I[0][t+1])][t+1]
        
        # 输出最优路径
        print('最优路径是:', "->".join([str(int(i + 1)) for i in I[0]]))
Q = [1, 2, 3]  # 状态序列
V = ['红', '白']
A = [[0.5, 0.2, 0.3], [0.3, 0.5, 0.2], [0.2, 0.3, 0.5]] # 状态转移
B = [[0.5, 0.5], [0.4, 0.6], [0.7, 0.3]]  # 输出观测
O = ['红', '白', '红']  # 观测序列
PI = [[0.2, 0.4, 0.4]]  # 初始概率分布

HMM = HiddenMarkov()
HMM.viterbi(Q, V, A, B, O, PI)

参考资料

  1. 《机器学习》周志华
  2. 《统计学习方法》李航
  3. 统计学习方法代码实现

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