选了课程 《量子计算与量子信息》，没学过量子力学的博主实在是听不懂啊 (ㄒoㄒ)
简略整理了下 可能大概也许 明白一二都没有 的课程最开始两节的内容，如有错误欢迎指出 ~ ~ ~

矩阵论

复空间中的矩阵

复空间 ${\mathbb{C}}^n$ 上矩阵的厄米（Hermite）：$A^{†}:=(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$，共轭转置，上角标 $†$ 读作 \dagger。

一些特殊的矩阵，

• 厄米矩阵（Hermitian）：$H^{†}=H$，类比实空间中的对称阵 $H^T=H$，特征值都是实数，不同特征值对应的特征向量正交。

• 酉矩阵（Unitary）：$U^{†}U=I$，类比实空间中的单位正交阵 $U^{T}U=I$，特征值都是单位复数，不同特征值对应的特征向量正交。

• 正规矩阵（Normal）：$A{A}^{†}=A^{†}A$，等价于它有 $n$ 个标准正交的特征向量，也等价于它可以酉对角化（谱分解）。厄米矩阵、酉矩阵、对角阵，都是正规矩阵。

• 半正定矩阵：函数 $f(x):=x^{†}Ax$ 叫做二次型（Quadratic form），如果任意的 $x\in {\mathbb{C}}^n$ 都有 $f(x)\ge 0$，则称 $A$ 是半正定的（positive semi-definite），它等价于特征值为非负实数。

• 奇异值矩阵（Singular）：对于可酉对角化的矩阵 $A$，定义 $|A|:=\sqrt{A^{†}A}$，它的特征值等于 $A$ 的特征值绝对值。对称方阵 $A^{†}A$ 的特征值叫做 $A$ 的奇异值，是 $A$ 的特征值平方根。

一些算子，

• 投影算子：令 $|1⟩,\cdots ,|d⟩$ 是全空间的一组标准正交基，且 $|1⟩,\cdots ,|k⟩$ 是 $k$ 维子空间的一组基，那么 $P={\sum }_{i=1}^k|i⟩⟨i|$ 就是投影矩阵，它是个厄米矩阵。
• 投影算子的正交补：$Q=I-P$ 是到 $P$ 的正交补空间上的投影矩阵。

矩阵上的运算

一些矩阵运算，

• 矩阵相似：存在可逆阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$
• 酉相似：存在酉阵 $U$，使得 $U^{†}AU=B$
• 酉对角化：存在酉阵 $U$，使得 $U^{†}AU=D$，其中 $D$ 是由特征值组成对角线的对角阵，$U$ 恰好是对应的标准正交特征向量。充要条件是 $A$ 的正规阵，谱分解为 $A=UD{U}^{†}={\sum }_i{\lambda }_i|i⟩⟨i|$
• 同时酉对角化：存在酉阵 $U$，使得 $U^{†}AU=D$ 且 $U^{†}BU=D^{\prime }$，其中 $D,D^{\prime }$ 都是对角阵。充分条件是两个正规阵 $A,B$ 可交换。

多种矩阵分解，

• LU分解：某矩阵 $A\in C^{m\times n}$，如果可以写成 $A=LU$ 的形式，其中 $L$ 是下三角阵，$U$ 是上三角阵，则称为三角分解（LU 分解、LR 分解）
• QR分解：某矩阵 $A\in C^{m\times n}$，如果可以写成 $A=QR$ 的形式，其中 $Q$ 是正交阵，$R$ 是上三角阵，则称为 QR 分解
• 奇异值分解：秩 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵 $A$，存在 $m$ 阶酉阵 $U$ 和 $n$ 阶酉阵 $V$ 以及秩 $r$ 对角阵 $\Sigma =diag(s_1,\cdots ,s_r)$，其中 $s_1\ge \cdots \ge s_r>0$，使得 $A=U\Sigma V$
• 极式分解：任意线性算子 $A$，存在酉算子 $U$ 以及唯一的半正定算子 $J:=\sqrt{A^{†}A},K:=\sqrt{A{A}^{†}}$，使得 $A=UJ=KU$
• 谱分解：任意正规算子 $M$，存在酉阵 $U$ 和对角阵 $D$，使得 $M=UD{U}^{†}$。设 $M$ 的不同特征值为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_s$，代数重数 $k_1,\cdots ,k_s$，则存在唯一的幂等阵 $E_1,\cdots ,E_s$（谱族），满足 ${\sum }_i{E}_i=I$，$rank(E_i)=k_i$，$E_i{E}_j=O,i\ne j$，使得 $M={\sum }_i{\lambda }_i{E}_i$

量子力学

一些术语：

• 量子系统的状态：希尔伯特空间（完备的内积空间）中的一个向量
• 几率 = 概率，几率幅 = 概率的平方根
• 线性算子 = 矩阵
• 本征值 = 特征值，本征态 = 特征向量

量子态

量子力学中使用 Dirac 符号表示量子态：

• $⟨a|$ 是左矢，叫做 “bra”，它是一个行向量
• $|b⟩$ 是右矢，叫做 “ket”，它是一个列向量
• 两者关系为 $|a{⟩}^{†}=⟨a|$，而 $⟨a|b⟩$ 就是向量内积

单个量子比特（qubit）可表示为 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，其中 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ 都是复数，需满足归一化条件 $\alpha {\alpha }^{\ast }+\beta {\alpha }^{\ast }=1$

于是 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ 也可写作：
$$|\psi ⟩=e^{i\gamma }\left(\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩\right)$$

其中 $e^{i\gamma }$ 是整体相因子，我们认为它不影响 qubit 的值，可以省略，
$$|\psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩$$

那么 $|\psi ⟩$ 就是由 $\theta \in [-\pi ,\pi ),\varphi \in [0,2\pi )$ 定义的单位球面上的一个点。使用 Bloch Sphere 表示，其 Bloch 矢量为 $(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )$

单量子比特系统的基态（单位正交基）为：
$$|0⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^2,|1⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^2$$

我们记 $|ab⟩:=|a⟩\otimes |b⟩$ 是两个量子比特串的直积（矩阵的 Kronecker 积），例如双量子比特系统的基态为：
$$|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$$

或者选取 ”EPR 对“ 里的 Bell 态作为基态：
$$\begin{gathered} |{\varphi }^{+}⟩:=\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}} \\ |{\varphi }^{-}⟩:=\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}} \\ |{\psi }^{+}⟩:=\frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}} \\ |{\psi }^{-}⟩:=\frac{|01⟩-|10⟩}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

以此类推，$n$ 量子比特系统的基态有 $2^n$ 个（指数级）。

量子态叠加：一个量子态可以写成若干基态的线性组合，
$$|\psi ⟩=\sum _i{p}_i|i⟩$$

其中 i ∈ { 0 , 1 } n i \in \{0,1\}^n i∈{0,1}n 是基态的索引，几率幅 $p_i$ 满足 ${\sum }_i{p}_i^2=1$

量子态纠缠：如果 $|\psi ⟩$ 不可以写成 $n$ 个单量子比特的直积 $|\psi ⟩=|{\varphi }_1\cdots {\varphi }_n⟩$ 的形式，那么这叫做纠缠态。例如 Bell 态，不同位置上的量子比特，因为纠缠而彼此影响（相关性极强）。

基本假设

1. 波函数假设：系统状态的描述为 $\psi (r,t)$，参数是位置和时间，也记作 $|\psi ⟩$
2. 算符假设：力学量可以用线性厄米算符表示（也就是厄米矩阵），共轭力学量算符不可对易（对易子 $[A,B]:=AB-BA\ne 0$）
3. 测量假设：对力学可观测量的测量，使得系统以几率 $|⟨{\varphi }_m|\psi ⟩{|}^2$ 随机落入该力学量的某一个本征态 $|{\varphi }_m⟩$（也就是 $|\psi ⟩={\sum }_m⟨{\varphi }_m|\psi ⟩\cdot |{\varphi }_m⟩$，其中的 $⟨{\varphi }_m|\psi ⟩$ 是几率幅）
   1. 大量相同量子态的系统，构成了量子系综。
   2. 两力学量可同时观测，当仅当它们的力学量算符可对易 $[A,B]=0$，测量后系统进入两力学量的某个共同本征态。
4. 态演化假设：量子态遵循的演化方程为 Schrodinger 方程
5. 全同性假设：全同粒子体系的波函数对于任意两个粒子的交换，要么是对称的（玻色子），要么是反对称的（费米子）

量子计算机的线路模型

量子运算需要保持量子态的归一化条件，因此每个逻辑门都是酉矩阵 $U^{†}U=I$（可逆运算），具体为 $|\psi ⟩\mapsto U|\psi ⟩$（左乘变换矩阵）。

Deutsch 定理：任意的 $d$ 维酉变换，总是可以分解为 $2d^2-d$ 个二级酉变换（$d$ 维酉阵，仅改变两个叠加分量上的几率幅）的乘积，并且可以用一系列的单量子位门（$U(\alpha ,\varphi )$）以及双量子位门（CNOT 门）依次作用来实现。

单量子位门

经典信息论中，只有 “逻辑非” 这一个非凡逻辑门。而在量子信息理论中，由于定义在希尔伯特空间上，有特别多的非平凡的单量子逻辑门。

三个 Pauli 矩阵 $\vec{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$，
$$X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right],Z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

其中 $X$ 是比特翻转（逻辑非），而 $Z$ 是相位翻转。

阿达玛门（Hadamard），
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$

相位门（Phase），
$$S=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right]$$

T 门（$\frac{\pi }{8}$ 门），
$$T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \exp (\frac{\pi }{4}i)\end{array}\right]$$

易知 $T^2=S$，$S^2=Z$，$Z^2=Y^2=X^2=I$，

根据欧拉公式 $e^{iA\theta }=I\cos (\theta )+iA\sin (\theta ),\forall A^2=I$，绕轴 $x,y,z,\vec{n}$ 旋转的旋转算子分别为：
$$\begin{array}{rl}{R}_x(\theta )& :=e^{-iX\theta /2}=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta /2)& -i\sin (\theta /2)\\ -i\sin (\theta /2)& \cos (\theta /2)\end{array}\right]\\ R_y(\theta )& :=e^{-iY\theta /2}=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta /2)& -\sin (\theta /2)\\ \sin (\theta /2)& \cos (\theta /2)\end{array}\right]\\ R_z(\theta )& :=e^{-iZ\theta /2}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{-i\theta /2}& 0\\ 0& e^{i\theta /2}\end{array}\right]\\ R_{\vec{n}}(\theta )& :=e^{-i\theta \vec{n}\vec{\sigma }/2}=\cos (\theta /2)I-i\sin (\theta /2)(n_{x}X+n_{y}Y+n_{z}Z)\end{array}$$

$\frac{1}{2}$ 旋量：自旋两周（角度 $\theta =4\pi$）才回到本身（单位阵 $I$）。

定理：单量子比特的任意酉变换 $U$，都存在实参 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$，使得：
$$U=e^{i\alpha }{R}_x(\beta )R_y(\gamma )R_z(\delta )$$

双量子位门

受控非门（CNOT），运算为 $|AB⟩\mapsto |A⟩|A\oplus B⟩$，其中 $|A⟩$ 是控制位，而 $|B⟩$ 是靶比特，
$$C(X)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& X\end{array}\right]$$

交换门（Swap），运算为 $|AB⟩\mapsto |BA⟩$，则
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=C{C}^{\prime }C$$

其中 $C^{\prime }$ 是以 $|B⟩$ 为控制位 $|A⟩$ 为靶比特的 CNOT 门。注意，Swap 过程中并没有复制 qubit，不受量子不可克隆性影响。

一般受控变换，运算为 $|c⟩|t⟩\mapsto |c⟩U^c|t⟩$，其中 $U$ 是任意的单量子比特酉变换，对应的酉阵为：
$$C(U)=I\otimes U^c=\left[\begin{array}{cc}{U}^c& 0\\ 0& U^c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& U\end{array}\right]$$

而对于运算 $|t⟩|c⟩\mapsto U^c|t⟩|c⟩$，则有（只需考虑四个基态）：
$$U=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],U^c\otimes I=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & a& & b\\ & & 1& \\ & c& & d\end{array}\right]$$

注意：受控酉变换作用之后，控制位也可能变化，而靶比特也可能不变！例如：受控相移，运算为 $|c⟩|t⟩\mapsto |c⟩(e^{i\alpha }{)}^c|t⟩$，
$$I\otimes {\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\alpha }& 0\\ 0& e^{i\alpha }\end{array}\right]}^c=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\alpha }\end{array}\right]\otimes I$$

假设酉矩阵的 ABC 分解为：$U=e^{i\alpha }ABC$（矩阵作用从右向左），那么就有：
$$C(U)=\left(\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\alpha }\end{array}\right]\otimes I\right)\cdot (I\otimes A)\cdot C(X)\cdot (I\otimes B)\cdot C(X)\cdot (I\otimes C)$$

如图所示：

三量子位门

双控非门（Toffoli），运算为 $|abc⟩\mapsto |ab⟩|c\oplus ab⟩$，
$$C^2(X)=\left[\begin{array}{cccc}I& & & \\ & I& & \\ & & I& \\ & & & X\end{array}\right]$$

受控交换门（Fredkin），运算为 $|c⟩|ab⟩\mapsto |c⟩|ba⟩$，
$$\left[\begin{array}{cccccccc}1& & & & & & & \\ & 1& & & & & & \\ & & 1& & & & & \\ & & & 1& & & & \\ & & & & 1& 0& 0& 0\\ & & & & 0& 0& 1& 0\\ & & & & 0& 1& 0& 0\\ & & & & 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Toffoli 门和 Fredkin 门，都是可逆计算的通用逻辑门。

一般双控门，运算为 $|abc⟩\mapsto |ab⟩U^{ab}|c⟩$，
$$C^2(U)=I_4\otimes U^{ab}=\left[\begin{array}{cccc}{U}^{ab}& & & \\ & U^{ab}& & \\ & & U^{ab}& \\ & & & U^{ab}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}I& & & \\ & I& & \\ & & I& \\ & & & U\end{array}\right]$$

Bell 态的制备

令 $U=C(X)\cdot (H\otimes I)$，那么容易验证
$$\begin{gathered} U|00⟩=|{\varphi }^{+}⟩ \\ U|01⟩=|{\psi }^{+}⟩ \\ U|10⟩=|{\varphi }^{-}⟩ \\ U|11⟩=|{\psi }^{+}⟩ \end{gathered}$$

一些有意思的应用

量子力学的神秘之源：态叠加原理，它导致了

1. 量子态测量的不确定性：量子密码（[BB84]，信息论安全的一次一密）
2. 量子态操作的并行性：量子计算机（经典信息就是量子信息的基态）

量子密码

由于量子态的叠加是线性的，因此运算 $|\varphi ⟩|0⟩\mapsto |\varphi ⟩|\varphi ⟩$ 对于任意量子态并不总是存在，这直接导致了量子态不可克隆定理。根据测量假设，对量子态的测量结果是基态的真随机分布（遵照几率幅）。

量子秘钥分发（QKD, [BB84]）协议如下：

量子计算

量子计算机的能力：$BQP$ 类（有界错误的概率量子图灵机可在 PPT 时间求解的问题的收集），

1. 可以有效求解 $P$ 类（经典计算机就是量子计算机的退化）
2. 不能有效求解 $PSPACE$ 类以外的（指数级内存开销，无能为力）
3. 尚不清楚它处于 $P$ 和 $PSPACE$ 之间的什么位置（也不知道是否可以有效求解 $NP$ 类）
4. 量子可计算函数类，也满足 Church-Turing 题论（这与经典可计算函数类完全相同，仅仅是效率上的不同）

量子态可叠加原理，导致了量子计算机的并行性。然而，其计算结果是一个量子态（量子比特），一旦进行观测就会依照波函数几率幅，坍缩到某个基态（经典比特）上。波函数中包含的指数级信息不可以被全部访问，只能观测到一个全局信息。

Shor 算法巧妙地利用了 FFT 可将周期性信息集中到某个频率的振幅上的特点，可有效求解整数分解和离散对数问题。假设这两者不属于 $P$ 类，那么量子计算机确实比经典计算机更强。但是，它们不属于 $NPC$ 类，量子计算机能否有效求解 $NP$ 类我们依然不知道。除了求解困难问题，量子计算机还可以有效模拟量子系统，但是如何提取期望信息也是个问题。

想要实现量子计算机，就需要在真实世界中寻找一些物理现象，使得它们表现为酉算子（或者仅仅是量子操作，与外部环境作用后移除）。在物理实现的多种方式中，离子阱（Ion Traps）似乎是目前表现最好的。

量子系统总会与外部环境作用（退相干），因此如何进行量子容错计算，也是个重要问题。一种方法是使用量子纠错码，例如 Shor 码、CSS 码、Steane 码。当然也有其他的不使用纠错码的容错技术。

可逆计算

Landauer 原理：在物理计算机中，每擦除一比特或者执行一个扇入运算，则至少增加环境热量 $k_{B}T\ln 2$ 焦耳，$k_B$ 是玻尔兹曼常数。

信息是物理的，这解决了 Maxwell 佯谬（热力学的看门小精灵）。

如果执行可逆运算（例如酉算子），那么这就可以绕过上述的热力学限制，使得计算所消耗的能量大幅下降。

隐形传态

物体的信息包括经典信息与量子信息，

1. EPR 制备中心产生处于 Bell 态 $|{\psi }^{-}{⟩}_{AB}$ 的纠缠粒子对 $A,B$，通过信道分发给 Alice 和 Bob（光速）
2. Alice 对粒子 $A$ 和粒子 $C$ 形成的系统利用 Bell 基进行测量（定域量子操作），这会发生纠缠交换（超光速的超距作用，使得 $A,C$ 纠缠，而 $A,B$ 不再纠缠），然后 Alice 将测量得到的经典信息通过信道传递给 Bob（光速）
3. Bob 根据收到的经典信息，选择一个合适的定域酉变换（$I,X,Z,ZX$），对粒子 $B$ 做变换使之称为粒子 $C$（的量子态）。