题目:
噪声过程由IID零均值,PDF为
的随机变量组成,其中0<ε<1 。这样的PDF成为高斯混合PDF,它用来模拟 具有方差为 的高斯噪声以及剩余的服从方差 的高斯噪声。一般 ,且ε≪1 ,所以具有方差为 的背景噪声在噪声中起主要作用。但是也包含高电平事件或者干扰,这是使用方差为 的高斯噪声来模拟的。证明这种PDF的方差为:
如果认为 是数据,且 假定已知,求 的BLUE。提示,利用习题6.12的结果。
解答
1. 证明
已知随机变量 和概率密度函数 ,那么根据方差的定义:
具体可以参考:
概率论与数理统计学习笔记——第三十讲——方差定义和计算公式_预见未来to50的博客-CSDN博客_概率论方差的计算公式根据题目条件:
那么:
其中利用了高斯分布方差的性质:
具体可以参考:
高斯分布的积分期望E(X)方差V(X)的理论推导_chaosir的博客-CSDN博客_混合高斯分布的期望与方差
证明完毕。
2. 求BLUE
由性质, 独立,那么 也相互独立
具体可以参考:
X1,X2,...,Xn相互独立且服从标准正态分布,为何他们的平方也相互独立? - 知乎
特殊的,如果x 服从高斯分布:
那么 服从卡方分布,根据书上公式(3.19)的推导可以得到:
因此,如果我们考虑:
那么由上述分析, 也是IID,因此:
其中:
是单位矩阵。
由 ,得到:
因此:
根据BLUE,可以得到 的BLUE估计为:
这个和MVU估计一致。
根据题目条件,已知 的BLUE,且 已知,他们直接存在:
求 的BLUE,利用习题6.12的结果,可以得到:
因此: