正态分布和卡方分布

正态分布，最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到，而真正奠定其地位的，应是高斯对测量误差的研究，故而又称Gauss分布。。测量是人类定量认识自然界的基础，测量误差的普遍性，使得正态分布拥有广泛的应用场景，或许正因如此，正太分布在分布族谱图中居于核心的位置。

正态分布$N(\mu ,\sigma )$受到期望$\mu$和方差${\sigma }^2$的调控，其概率密度函数为

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp [-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]$$

若$k$个互相独立的随机变量${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_k$，均服从标准正态分布，则这k个随机变量的平方和构成一个新变量，新变量服从${\chi }^2$分布。其概率密度函数为

$$\rho (x)=\frac{(1/2{)}^{k/2}}{\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}$$

关于正态分布与卡方分布详细关系，可参考这篇：正态分布和卡方分布的关系

F分布

两个服从${\chi }^2$分布的独立随机变量在归一化后相除，就得到了$F$分布。

设总体$X\sim N(0,1)$，$(X_1,X_2,\cdots ,X_{n_1})$和$(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n_2})$来自X的两个独自的样本，则统计量$\sum X_i^2$和$\sum Y_i^2$分别服从${\chi }^2(n_1)$和${\chi }^2(n_2)$分布。则统计量$F$定义为

$$F=\frac{\sum X_i^2}{n_1}/\frac{\sum Y_i^2}{n_2}$$

其概率密度为

$$f(x,n_1,n_2)=\frac{(\frac{n_1}{n_2}{)}^{\frac{n_1}{2}}}{\mathrm{B}(\frac{n_1}{2},\frac{n_2}{2})}{x}^{\frac{n_1}{2}-1}(1+\frac{n_1}{n_2}x{)}^{-\frac{n_1+n_2}{2}},x>0$$

其中$\mathrm{B}$为Beta函数。

下面构造两组服从卡方分布的随机变量，并对二者归一化后相除，
$k$个按照正态分布的随机变量，然后将其平方和绘制出来。

import numpy as np
from scipy.stats import f, chi2
import matplotlib.pyplot as plt

n1, n2 = 50, 100
xs = chi2(n1).rvs(size=10000)
ys = chi2(n2).rvs(size=10000)

# 根据xs和ys构造的F分布的样本
fs = (xs/n1)/(ys/n2)
plt.hist(fs, density=True, bins=100, alpha=0.8)

rv = f(n1, n2)
st, ed = rv.interval(0.995)
xs = np.linspace(st, ed, 200)
plt.plot(xs, rv.pdf(xs))
plt.show()

结果如下