基于自适应反馈调节因子的阿基米德优化算法(IAOA)

摘要：针对基础阿基米德优化算法收敛速度慢、容易陷入局部最优的问题，文中提出了一种基于自适应反馈调节因子的阿基米德优化算法。首先，通过佳点集初始化种群，增强初始种群的遍历性，提高初始解的质量；其次，提出自适应反馈调节因子，平衡算法的全局探索与局部开发能力；最后，提出了莱维旋转变换策略，增加种群的多样性，以防止算法陷入局部最优。

1.阿基米德优化算法

基础阿基米德优化算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/119999874

2. 改进阿基米德优化算法

2.1 佳点集种群初始化

初始种群在解空间中的细微不同都可能影响算法的进化方向，最后产生完全不同的最终结果。在初始化阶段， AOA容易受到随机的干扰，发生聚集现象。本文通过引入佳点集初始化方法，来拟提高算法在解空间上的遍历能力。

2.2 自适应反馈调节因子

在 AOA 迭代后期进行局部开发时, 根据位置更新式可知, 个体收敛于当前最优解的方式是直接跳跃到当前最优 位置附近, 而不是像粒子群优化算法那样向最优位置移动。 这是一种盲目跟进的行为, 导致 $\mathrm{AOA}$ 极容易陷入局部最优。 又根据密度因子式 (7) 可知, 随着迭代次数的增加, 密度因子 会呈现从 1 到0线性递减的趋势。密度因子过小会导致个体 信息的缺失, 从而导致了种群多样性的减少。因此, 本文提出 了自适应反馆调节因子对算法进行改进。本文将种群进化成 功率 ${}^{[23]}$ 以及个体归一化后的适应度作为反馈调节参数对密 度因子进行改进, 使得个体根据种群所处的实际环境以及自身的适应度动态调节, 具体操作如下。
以最小值问题为例, 个体 $i$ 在第 $t$ 次迭代中的成功值 $S(i,t)$ 定义 为 :
$$S(i,t)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ fit }\left({\mathrm{pbest}}^i(t)\right)<fit\left({\text{ pbest }}^i(t-1)\right)\\ 0,& \text{ fit }\left({\mathrm{pbest}}^i(t)\right)=\text{ fit }\left(p{\text{ pbest }}^i(t-1)\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$
其中, phest ${}^i(t)$ 表示迭代至第 $t$ 次时, 个体 $i$ 的历史最优位置; $fit$ ( 火) 为适应度函数; 根据个体 $i$ 的成功值 $S(i,t)$, 种群的成 功率 $\left(P_s\right)$ 定义为个体历史最优位置对应的进化成功个体数占 种群大小的比例, 计算式如下:
$$P_s(t)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}S(i,t)\text{\hspace{1em}(11)}$$
其中, $N$ 为种群的大小。

在迭代初期, 个体广泛分布在解空间中, 进化成功的个体 相对较多, 种群进化成功率较高, 侧面说明最优个体的引领方 向正确。在迭代后期, 种群个体逐渐聚集, 若进化成功率降 低,则应该保留更多的个体信息来保证算法的局部开发能力。 将种群进化成功率 $P_s$ 和密度因子 $d$ 结合, 动态反馈算法的进 化状态, 以此来平衡算法的全局开发能力。自适应反馈调节 因子如下:
$$d_i^{t+1}=2\ast \exp \left(\frac{t_{\max }-t}{t_{\max }}\right)-\left(\frac{t}{t_{\max }}\right)\ast \left(\alpha \ast P_s(t)+\beta \ast F_i\right)\text{\hspace{1em}(12)}$$
其中, 参数 $\alpha$ 表示种群进化成功率重要性系数, $F_i$ 定义为:
$$F_i={\lambda }^{-\left(f\left(X_i\right)-f_{\min }+\epsilon \right)/\left(f_{\max }-f_{\min }+\epsilon \right)}\text{\hspace{1em}(13)}$$
其中, $F_i$ 表示第 $i$ 个个体归一化后的适应度系数; $\beta$ 为该系数 的重要性系数; $\lambda$ 为衰减因子; $\epsilon$ 为一个非常小的有理数, 以防 止分母为 0 的情况。自适应反馈调节因子会根据适应度的变 化情况动态调整大小, 若当前个体适应度接近最优适应度, 自 适应反馈调节因子会保持原来的密度因子的性质, 加快算法 的收敛速度。而适应度较差的个体, 其自适应调节因子接近 最大值, 保留了自身更多信息, 保证了算法的局部开发能力。

2.3 莱维旋转变换策略

在保持 $\mathrm{AOA}$ 的种群多样性基础上, 为了提高个体的探 索能力, 避免在迭代后期出现种群陷入局部最优的现象, 本文 提出了莱维旋转变换策略。以莱维步长 ${}^{[24]}$ 为半径、最优个体 为中心对个体进行旋转变换操作, 以提高种群的多样性和收 敛速度, 其中莱维旋转变换算子为:
$${\mathbf{x}}_i^t={\mathbf{x}}_{\text{best }}+s\ast \frac{1}{n{\Vert {\mathbf{x}}_i^t\Vert }_2}{\mathbf{R}}_r{\mathbf{x}}_i^t\text{\hspace{1em}(14)}$$
其中, ${\mathbf{R}}_r\in {\mathbf{R}}_{n\ast n}$ 是一个元素取值在 $[-1,1]$ 之间均匀分布的随 机矩阵; $\Vert$ - $\Vert$ 为向量 2 -范数; $s$ 为结合莱维的旋转因子; 理 论上 ${}^{[25]}$ 能将位置旋转到以 $s$ 为半径的任何位置, 可用于控制 解的搜索范围, 其表达式为:
$$s=0.01\ast \frac{\mu }{|\nu {|}^{1/\beta }}\left({\mathbf{x}}_i^t-{\mathbf{x}}_{\text{best }}\right)\text{\hspace{1em}(15)}$$
$${\sigma }_{\mu }={\left\{\frac{\Gamma (1+\beta )\cdot \sin \left(\frac{\pi \beta }{2}\right)}{\Gamma \left[\frac{(1+\beta )}{2}\right]\beta \cdot 2^{\frac{(\beta -1)}{2}}}\right\}}^{1/\beta }\text{\hspace{1em}(16)}$$
其中, $\beta$ 的取值会影响搜索半径的大小, $\beta$ 的取值越大, 其局部 开放能力就越强 。

莱维旋转变换算子可以对个体以一定的角度进行旋转, 以最大限度地避免生成重复个体; 并且其结合莱维步长的短 距离步长和长距离步长相间的特点, 扩大群体的搜寻范围, 协 助算法在必要时跳出局部最优, 以提高算法的搜索性能。最 后, 为了兼顾种群搜索领域的广度与深度, 本文根据个体的适 应度值, 计算个体的进化概率, 如式 (17) 所示。个体的可行解 质量越差, 则该个体被选择进行莱维旋转变换操作的概率就 越大, 同时本文还采用贪婪选择更新解, 在保留优势个体的同 时兼顾个体的探索能力。
$$p_i=\frac{fi{t}_i}{{\sum }_{i=1}^{N}fi{t}_i}\text{\hspace{1em}(17)}$$
其中, $p_i$ 是选择概率; $fi{t}_i$ 的表达式为:
$${\text{ fit }}_i=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+f_i},& f_i⩾0\\ 1+\left|f_i\right|,& f_i<0\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$
其中, $f_i$ 为第 $i$ 个个体的适应度值。

3.实验结果

4.参考文献

[1]陈俊,何庆,李守玉.基于自适应反馈调节因子的阿基米德优化算法[J].计算机科学,2022,49(08):237-246.

5.Matlab代码

6.Python代码