问题引入

假设有这样的问题：有n个数，m次操作，操作分为：修改某一个数或者查询一段区间的值

数据范围是（1 <= n, m<=1e9)。

这种题大家一看就知道打暴力，但是一看数据范围就知道只能得部分。

我们之前学过的前缀和算法可以解决区间求和的问题，并且时间复杂度是O(1)，但如果涉及到修改操作，前缀和数组都需要重新计算，时间复杂度也是O(n).

那么有没有什么东西能兼顾两者呢？这就是我们要学习的线段树！把修改和查询的时间复杂度都降到O(logn)！！！

算法思想

先来看一下线段树是什么东西！！！

有以下数组（为方便计算，数组下标从1开始）

我们把它转换成线段树，是长这样的：

1）叶子结点（绿色）存的都是原数组元素的值

2）每个父结点是它的两个子节点的值的和

3）每个父结点记录它表示区间的范围，如上图的“1-2”表示1到2的区间

下面我们来看看线段树是如何降低操作复杂度的！

查询操作

例如我们需要查询2-5区间的和

使用递归的思想：

2~5的和

=2~3的和+4~5的和

=1+4+4~5的和

=1+4+6

=11

总之，就是沿着线段树的划分把区间分开，再加到一块就行啦！

修改操作

例如，我们要把结点2的值由3->5，线段树需要沿着黄色部分一个一个改，直到根结点：

不管是修改操作还是查询操作，时间复杂度都是O(logn)

下一步我们来看怎么实现线段树！

算法实现

首先我们需要将原始数组建立成一颗线段树，然后在树的基础上提供查询和修改的操作。

建树

观察上图，我们发现线段树是一棵近似完全二叉树，利用完全二叉树的性质，我们就可以直接用一个数组来存它。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4;
struct node {
	int l, r, sum;
};
node tree[N * 4 + 10];
int a[N + 10];
void build(int x, int l, int r) {
	tree[x] = {l, r};//也可以写成tree[x].l = l, tree[x].r = r;
	//初始化每个节点的左右边界
	printf("%d:%d %d\n", x, l, r);
	if(l == r) {
		tree[x].sum = a[l];//只有叶子节点是真正赋值的，其他节点都要进行pushup操作
		return;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	//递归左右儿子节点
	build(x << 1, l, mid);
	build(x << 1 | 1, mid + 1,  r);
	//递归完成后，进行pushup操作
	tree[x].sum = tree[x * 2].sum + tree[x * 2 + 1].sum;
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	printf("运行结果如下：\n");
	build(1, 1, n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		if(n * 2 <= pow(2, i) - 1) {
			n = i;
			break;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= pow(2, n) - 1; i++) {
		printf("tree[%d].sum = %d\n", i, tree[i].sum);
	}
	printf("在完全二叉树中，0表示这个空间没有数，但是占空间\n");
}

运行效果如下：