我的数学学习回忆录——一个数学爱好者的反思（二）

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上回说到我在数学学习过程中走的种种弯路，相关内容请戳：

我的数学学习回忆录——一个数学爱好者的反思（一）

那在这样坎坷的旅程中，有没有给我带来意外惊喜，是不是都是最好的安排呢？且往下看。

数学给人带来了什么？

通过博弈理解了世界的运转机制以后，回看这些走过的弯路，我终于有能力和心情来复盘一下我对数学学习中认知的错误过程了。

人会对他喜爱的东西过度褒奖，就好像我会对周遭数学很重要的评述深入记忆，却对数学可能也有局限性的说法不屑一顾，因为只有这样才能撑得起我合理的极客精神。这在一定的时间段内有无比积极的作用，只不过这并不真实，走出来的时候，该还的还是要还。

那我们每一个人，从数学学习的过程中，到底应该注意吸收哪些内容，而摒弃哪些部分，以使得我们能吸收这一古老科学最核心的精华呢？

我认为是两点，一是逻辑，二是基本的数学概念和背后的数学模型。

我们在学习数学的过程中，不管是谁，不可避免地会部分进入应试的怪圈。没错，这是远没有达到共产主义的资源还足够有限社会下不可避免的竞争环境，必须接纳。但我们仍然要明白，在准备数学考试的过程中，考的是什么，以及什么是可以一直留下变成能力的。

从2022年全国1卷的考题中就能看出，那些背了，记了很多表层的解题技巧，没有深刻理解概念的同学，在这样的考试中就现了原型。是的，如果仅仅靠死记硬背就能完成的考试，那就是个KNN的水平，这显然不是人应该掌握的能力层级。那套卷子强调其一的就是数理逻辑，基本的三段论推理，与或非关系，命题和集合的关系，还有这些逻辑保证下的数学归纳法，分类讨论，化归等思想，无不渗透在各种题目中；其二就是最基本的数学概念，比如导数和单调性，集合和映射，质数和互质等等，把他们和逻辑组合在一起，就足以考察学生的逻辑敏感性，严谨性，和对基本数学概念的理解和掌握。

那逻辑和基本数学概念为什么这么重要呢？首先，逻辑思考和辨别能力是我们有独立思考，辩证思维的基础，这决定了你在关键时刻能否清醒思考，是否会被情谊等任何因素带歪。那数学概念有什么用呢？我看什么单调性，集合和质数啥的，离现实生活也很远啊？错了，几乎所有的数学概念，都不是凭空产生，都一定有实际问题背景的，都是高度抽象的数学模型。比如函数和集合，排列组合，微积分，拓扑等等，而能够写到教科书上的数学概念，一定是经得起时间检验的，被生活和科学广泛应用的最基本的数学模型所对应的数学概念。虽然考试起来都抽象到了几乎和现实无缘的程度，但是这些抽象层级给了你呈现了数学抽象智慧的艺术美，同时也是各个领域应用以后大概率会用到的最基础的保证。

当然，为了提升区分度，里面的计算量也足够大，这点对熟练度的考量本不是数学所需，但这就是考试需要你临时过拟合的能力，需要先卷着趟过去，不然不好证明到底谁更强。

数学的学习过程如果比作一次机器学习，那我们一定要注意不要过拟合到数学里的一些和主干概念不相关的一些技巧，套路中去。我有印象一次奥数比赛中一个数论题的解居然是要把数字对19取对数才能发现规律，有的野题则纯粹为了刁钻而刁钻，仅仅考察的是你知不知道那个冷门技巧而已。那这些东西就要尽量避免去过度学习和记忆，考试也会尽量避免这些指向二发挥好其风向作用。

与自己和解

回忆起来，那时候我简直是对数学考试的无论是原理，逻辑，还是各种市面上见得到的考试技巧都烂熟于心，以至于把这些全部都囫囵吞枣的记下来当作最美的数学。现在回想起来，确实这个过程中我熟练掌握了逻辑和概念，但是也记忆了太多没用的技巧，而很长时间我还一直以那些技巧带来的优越感自豪，直到工作以来发现这些东西早就无人问津，也没有任何生产力，多次尝试使用而碰壁才意识到问题。

现在我去思考和解决生活和工作上的问题，用上基本的逻辑和经验，加上博弈的理解，一切都可以变得有章可循，有的放矢。那些技巧根本不是什么美，只是像魔术秘密一样虚无又脆弱地显出优越感的把戏而已。相反，对所有问题都有恰当层级的逻辑和理性的分析思考能力，这才是可以沉淀下来有用和带得走的东西。

至于那些数学故事，有趣的数学游戏，留到数学文化这样的小圈子里玩玩，变成数学魔术自己研究研究，就很好了。而哪怕是纯数学，因为脱离实际太远，其实也可以看作是一帮人的思想实验和游戏，或者是一种和绘画，音乐一样，限制条件方式不同的不同门类的艺术形式。对别人而言，你玩的开心就行，真就没有什么至高无上的优越性，仅此而已。但我依旧乐此不疲地与之玩耍。比如我现在没事还喜欢拿几道竞赛题，高考题来做做，发现什么有趣的数学领域，比如绳结拓扑，群论，博弈论，就会业余时间钻研学习，纯粹就是热爱罢了。

以前我怎么也想不到，世间真理的数学竟然只是落得一个小众爱好的田地，并没有给我带来家财万贯，万人敬仰，反倒还有无尽的不解和刻板印象。不过，经过这些年的磨合，我觉得所有一切都回归到本来的样子，无论有没有人关注，我依旧是那个骨子里热爱数学，可以视作为人生求索的人，这其实有点上升到个人信仰层面了。同时，它本身的特点给我留下的逻辑基础，也让我抓住时代东风，在互联网里借助这个敲门砖去不舍边界地实现更多的社会价值和求索，这才对得起它带给我的那份骄傲。

结语

数学没有我想象的那么奇妙，但她仍旧是我目力所及最美的艺术品！

数学的思考只是对其过程添加了逻辑的限制，带着镣铐跳舞。其他的比如猜想，思路，分析，作这些思考的过程，和其他所有艺术门类没有任何区别！相反，数学计算答案，证明过程本身，如果不去剖析背后的思想，没有任何价值的。问题是无论哪个艺术门类也是有限制的，画画不能把纸戳破，唱歌也不能用手，变魔术也一定要神奇啊！否则就顶多是冷门艺术，曲不高而和寡。

所以，一群可爱的人们，在漫无目的地探索着未知的数学结构，不断地猜想，证明，构建体系，试图摸清不知道是否存在的体系，用最深邃的特征去寻找上帝留下的线索，然后去完成一个没有人设定目标，没有人告诉你是否有路可走的，独一无二的路。唯独的限制，仅仅是，逻辑自洽。

一天梦里，我偶然梦回了儿时一个人在屋子里推公式的情景，联想到法布尔观察昆虫的样子，还有蒙台梭利书里讲到孩提时代所特有的对某件事钻研中不可打扰的奇妙体验。如今过了而立之年的我不禁回首而感慨，一个孩子对一个领域的痴迷和钻研的机会是不可逆的，因为他还没有那么多见识，没有那么多选择，因此在一个很小的领域里能探索出一个奇异的世界。

而这些在成年人看来，这效率太低也太天马行空了，于其目标不符，典型的聪明反被聪明误，拿到了你要的最佳期望的最小波动，但也彻底丧失了创造奇迹的可能。

见识过太多的人世繁华，再也抹不去成那空白的记忆。

幸运的是，习得成年人对世界的洞察力和掌控力之外，正是因为数学和魔术，以及数学魔术的存在，我还随时保有着安全地回到过去那个行空探索思考的能力，以及体验那份专注的美好和产出的结果。并且时不时还能用今天武装得到的知识能力和方法经验来指点儿时的自己，岂不妙哉！

每当梦醒时分，我又会重新带上骄傲，放下自我，继续征程！

我为自己是一个数学爱好者感到骄傲！

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！