123.买卖股票的最佳时机III

教程视频：https://www.bilibili.com/video/BV1WG411K7AR
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解法一：动态规划

思路：
1、dp[i][j]含义：第 i 天j状态下手中的最大金额。这个过程中一共有五个状态：0表示不曾持有；1表示第一次持有；2表示曾持有一次，当前不持有；3表示第二次持有；4表示曾持有两次，当前不持有。
2、递推公式：
dp[i][0]=dp[i-1][0];
dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);
dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
dp[i][3]=Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i]);
dp[i][4]=Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);
3、初始化：dp[0]=new int[]{0, -prices[0], 0, -prices[0], 0};
4、遍历顺序：当前状态由前一状态推导而来，正向遍历。
5、打印验证

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][5];

        //初始化，dp[i][0],dp[i][3]和dp[i][4]都为0，不需要显示初始化
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];

        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0]=dp[i-1][0];
            dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);
            dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][3]=Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i]);
            dp[i][4]=Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);
        }
        return dp[len-1][4];//dp[i][4]包含了dp[i][2]的结果
    }
}

//空间优化
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[] dp = new int[4]; 
        // 存储两次交易的状态就行了
        dp[0] = -prices[0];// dp[0]代表第一次持有
        dp[1] = 0;// dp[1]代表第一次不持有
        dp[2] = -prices[0];// dp[2]代表第二次持有
        dp[3] = 0;// dp[3]代表第二次不持有

        for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
            // 要么保持不变，要么没有就买，有了就卖
            dp[0] = Math.max(dp[0], 0-prices[i-1]);
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0]+prices[i-1]);
            dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1]-prices[i-1]);
            dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2]+ prices[i-1]);
        }
        return dp[3];
    }
}

188.买卖股票的最佳时机IV

教程视频：https://www.bilibili.com/video/BV16M411U7XJ
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解法一：动态规划

思路：
1、dp[i][j]含义：第 i 天j状态下手中的最大金额。这个过程中一共有2k个状态：不操作状态不记录；0表示第一次持有；1表示曾持有一次，当前不持有；2表示第二次持有；3表示曾持有两次，当前不持有；以此类推直至2k-1。
2、递推公式：
dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0], 0-prices[i]);
dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i]);
dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]-prices[i]);
dp[i][3]=Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]+prices[i]);
直到dp[i][2k-1]=Math.max(dp[i-1][2k-1], dp[i-1][2*k-2]+prices[i]);
3、初始化：dp[0][]={0, -prices[0], 0, -prices[0], 0,…};
4、遍历顺序：当前状态由前一状态推导而来，正向遍历。
5、打印验证

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][2*k];

        //初始化，dp[i][偶数j]表示持有第(j/2)次持有股票
        //dp[i][奇数j]表示当前不持有股票，曾经持有(j/2)次股票，初始值为0，不需要显式初始化
        for(int j=0;j<2*k;j+=2){
            dp[0][j]=-prices[0];
        }

        for(int i=1;i<len;i++){
            for(int j=0;j<2*k;j++){
                if(j==0){
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], 0-prices[i]);
                }else if(j%2==0){
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]-prices[i]);
                }else{
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+prices[i]);
                }
                // System.out.print(dp[i][j]+"\t");
            }
            // System.out.println("");
        }
        return dp[len-1][2*k-1];
    }
}