不定积分
考研数学复习笔记，用来复习知识点用，如有不足还请指出，Thanks♪(･ω･)ﾉ
文章目录
- 不定积分
- 1 原函数/不定积分 概念和性质
- 2 原函数存在定理
- 3 不定积分的基本公式
- 4 不定积分的基本计算
- 4.1 三角代换型
- 4.2 分部积分法
- 4.3 有理函数积分
- 4.3.1 部分分式法
- 4.3.2 加项减项拆(凑微分降幂)
- 4.4 三角有理式积分(R(sinx,cosx)型)
- 4.4.1 万能代换
- 4.4.2 三角变形/分部/换元/凑微分
- 4.5 简单无理函数积分
- 4.6 不定积分技巧
- 4.6.1 表格法
- 4.6.2 行列式法
- 4.6.3 待定系数法
- 4.6.4 辅助角公式
- 4.6.5 和差化积/积化和差
- 4.6.6 “1”的代换
1 原函数/不定积分 概念和性质
2 原函数存在定理
弄懂：1. 连续能推出存在原函数，但存在原函数不能推出连续。
- 第一类间断点、第二类间断点与 原函数是否存在 的关系。
例题：
3 不定积分的基本公式
必须滚瓜烂熟(甚至倒背如流 U·ェ·U)
参考文章链接：http://t.csdn.cn/76fsC
4 不定积分的基本计算
不定积分的计算是一个难点，在开始计算之前，需要熟记于心的知识点：
- 不定积分的基本公式
- 基本初等函数的导数公式
- 二倍角公式
- ( a ± b ) 3 (a \pm b)^3 (a±b)3 展开公式
- 各类三角函数以及之间的转化(如 t a n 2 x + 1 = s e c 2 x , c o t x = 1 t a n x tan^2x+1=sec^2x, cotx=\frac{1}{tanx} tan2x+1=sec2x,cotx=tanx1 等)
- 辅助角公式
- 一些技巧(表格法、待定系数法等)
- 和差化积、积化和差公式
接下来大致介绍一下常考题型。
4.1 三角代换型
4.2 分部积分法
4.3 有理函数积分
4.3.1 部分分式法
主要是弄清部分分式法分母的分解原则
4.3.2 加项减项拆(凑微分降幂)
最为常考的题型，需重点训练！！！
4.4 三角有理式积分(R(sinx,cosx)型)
4.4.1 万能代换
4.4.2 三角变形/分部/换元/凑微分
常用的方法，需重点训练！！！
4.5 简单无理函数积分
通常情况下，直接将根号部分代换掉即可：
当然有时候也有不用代换的情况。
注！这里有个必记结论： ∫ 1 x = 2 x + C = 2 ∫ d x \int \frac{1}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C=2\int d\sqrt{x} ∫x1=2x+C=2∫dx
4.6 不定积分技巧
4.6.1 表格法
其中有一项通过连续求导后值可变为0，即可使用表格法。
4.6.2 行列式法
形如一次的三角函数乘上一个对数。
计算方法：
1
a
2
+
b
2
∣
(
e
x
)
′
(
s
i
n
x
)
′
e
x
s
i
n
x
∣
(1)
\frac{1}{a^2+b^2}\begin{vmatrix} (e^x)'& (sinx)'\\ e^x& sinx \end{vmatrix} \tag{1}
a2+b21
(ex)′ex(sinx)′sinx
(1)
原题可以看成是
∫
e
a
x
s
i
n
b
x
d
x
\int e^{ax} sinbx dx
∫eaxsinbxdx 形式。
答案为： 1 1 + 1 [ ( e x ) ′ ⋅ s i n x − ( s i n x ) ′ ⋅ e x ] + C \frac{1}{1+1}[(e^x)'·sinx-(sinx)'·e^x]+C 1+11[(ex)′⋅sinx−(sinx)′⋅ex]+C
注意，e必须写在第一个；三角函数部分不能高于1次
4.6.3 待定系数法
具体是分母不变，将分子转化成A·(分母)+B·(分母)'即可，解出A、B，代入
A
x
+
B
l
n
∣
分母
∣
+
C
Ax+Bln|分母|+C
Ax+Bln∣分母∣+C
带入后即为最后答案。
注：详情参考《三大计算》视频课或参考答案P117
4.6.4 辅助角公式
4.6.5 和差化积/积化和差
4.6.6 “1”的代换
