composition（组成）

k-composition：

20块巧克力分给4个小朋友，有几种分法？

隔板法，19个间隙插入3个板， $\binom{19}{3}$

推广：n块分给k个 $\binom{n-1}{k-1}$

weak k-composition:

20块巧克力分给4个小朋友，每个小朋友至少有一块，有几种分法？

先给4个小朋友每人一块，再用隔板法， $\binom{19+4}{3}$

推广：n块分给k个，每个人至少有一个 $\binom{n+k-1}{k-1}$

Set partition(集合划分)

将一个集合划分成含有集合元素的非空集合，并保证所有划分成的子集并集为原集合

把含有n个元素的集合划分成k份的方案数定义为斯特林第二类数，记为S(n,k)

$S(n,n-1) = \binom{n}{2}$

左边：将n个元素划分成k份的方案数S(n,k)；

右边：最大元素n若划分时单独成为一个集合，则剩下K-1个集合需要在n-1个数中划分好，若划分时不时单独的集合，则n-1个数划分成k分，最大的数选择其中一份加入其中，选择种数为k种，故右边为S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)

Corolary

The number of all surjective functions 𝑓:[𝑛] → [𝑘] is 𝑘! ⋅ 𝑆 (𝑛, 𝑘) .

符号说明:[n]为1~n的数的集合

Bell number

Integer partition（整数划分）

注意：1+4和4+1视为同一种

一些定义：p(n)是n的整数划分方案数， $p_{k}(n)$ 是n的集合划分方案数

Ferrers diagram（菲勒斯图）

上层的格子数不少于下层的格子数

如果我们沿着菲勒斯图的对角线翻转，那么就得到了它的共轭图

可以利用菲勒斯图解释一些公式

1.整数n拆分成最大数为k的拆分数，和数n拆分成k个数的和的拆分数相等

因整数n拆分成k个数的和的拆分可用一k行的图像表示。所得的Ferrers图像的共轭图像最上面一行有k个格子（Flip翻转）

2.将集合划分成奇数份的方案数等于所有总数为n的自共轭图的种数

这个也很好解释，因为自共轭沿着y = -x对称，组成自共轭图的点数一定是奇数个的

整数划分和集合划分之间的关系

$\binom{n}{a_{1},a_{2}...,a_{n}}$ 为n的整数划分方案数，而 $P_{a}$ 为n的集合划分方案数，显然这两者不等同，因为整数划分时不同元素排序视为同一种方案,例如{1,2,3}，{4,5}和{1,2,4},{3,5}是一样的，都视为5 = 3 + 2。

因此，我们需要依次除以每个被划分成的数的阶乘，如划分成了(3,2,1)，3个数全排列为3!视为一种方案，除以3!,同理，再除以2！和1！