文章目录
- 母函数---解决计数
- 递推关系
- 常系数线性齐次递推关系
- 常系数线性非齐次递推关系
- 汉诺塔递推关系
母函数—解决计数
普母函数—组合问题
指母函数—排列问题
f(x)=
∑
i
=
1
n
a
i
x
i
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
+
.
.
.
+
a
n
x
n
C
n
0
+
C
n
1
∗
x
+
C
n
2
∗
x
2
+
.
.
.
+
C
n
n
∗
x
n
=
\sum_{i=1}^n{a_ix^i}=\\ a_0 +a_1x + a_2 x^2 + a_3x^3+...+a_nx^n\\ C_n^0+C_n^1*x+C_n^2*x^2+...+C_n^n*x^n =
∑i=1naixi=a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxnCn0+Cn1∗x+Cn2∗x2+...+Cnn∗xn=
(
1
+
x
)
n
(1+x)^n
(1+x)n
(
1
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
x
k
=
∑
k
=
0
n
C
n
n
−
k
x
k
(1+x)^n = \sum_{k=0}^nC_n^kx^k=\sum_{k=0}^nC_n^{n-k}x^k
(1+x)n=∑k=0nCnkxk=∑k=0nCnn−kxk
∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k C n + k − 1 k z k = 1 ( 1 + z ) n = ( 1 + z ) − n \sum_{k=0}^\infty (-1)^kC_{n+k-1}^{k}z^k=\frac{1}{(1+z)^n}=(1+z)^{-n} ∑k=0∞(−1)kCn+k−1kzk=(1+z)n1=(1+z)−n
( 1 + z ) α = ∑ k = 0 ∞ C α k z k (1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^kz^k (1+z)α=∑k=0∞Cαkzk
( 1 − z ) − n = 1 ( 1 − z ) − n = ∑ k = 0 ∞ C n + k − 1 k z k 其中 ∣ z ∣ < 1 (1-z)^{-n} = \frac{1}{(1-z)^{-n}}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{n+k-1}^{k}z^k \quad 其中|z|<1 (1−z)−n=(1−z)−n1=∑k=0∞Cn+k−1kzk其中∣z∣<1
∑ n = 1 ∞ C 2 n n x n = ( 1 − 4 x ) − 1 2 \sum_{n=1}^{\infty}C_{2n}^{n}x^n=(1-4x)^{-\frac{1}{2}} ∑n=1∞C2nnxn=(1−4x)−21
其中 C 2 n n = 2 n ! n ! ∗ n ! = 2 n ∗ n ! n ! ∗ n ! = 2 n n ! 其中 C_{2n}^n=\frac{2n!}{n!*n!}=\frac{2^n*n!}{n!*n!}=\frac{2^n}{n!} 其中C2nn=n!∗n!2n!=n!∗n!2n∗n!=n!2n
1 ( 1 + x ) = ∑ k = 0 ∞ C − 1 k z k = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x k \frac {1}{(1+x)} = \sum_{k=0}^{\infty}C_{-1}^kz^k=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k (1+x)1=∑k=0∞C−1kzk=∑k=0∞(−1)kxk
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n \frac {1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n 1−x1=∑n=0∞xn
1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n (1−x)21=∑n=0∞(n+1)xn
2 ( 1 − x ) 3 = ∑ n = 2 ∞ n ( n − 1 ) x n − 2 \frac{2}{(1-x)^3}=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)x^{n-2} (1−x)32=∑n=2∞n(n−1)xn−2
6 ( 1 − x ) 4 = ∑ n = 3 ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) x n − 3 \frac{6}{(1-x)^4}=\sum_{n=3}^{\infty}n(n-1)(n-2)x^{n-3} (1−x)46=∑n=3∞n(n−1)(n−2)xn−3
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
1
1
!
+
a
2
x
2
2
!
+
.
.
.
+
a
n
x
n
n
!
f(x) = a_0 +a_1\frac{x_1}{1!}+a_{2}\frac{x^2}{2!}+...+a_{n}\frac{x^n}{n!}
f(x)=a0+a11!x1+a22!x2+...+ann!xn
e a x = 1 + a x 1 ! + a 2 x 2 2 ! + . . . + a n x n n ! + . . . e^{ax} = 1+a\frac{x}{1!}+a^2\frac{x^2}{2!}+...+a^n\frac{x^n}{n!}+... eax=1+a1!x+a22!x2+...+ann!xn+...
e − x = 1 − x 1 ! + x 2 2 ! + . . . + ( − 1 ) n x n n ! . . . e^{-x}=1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^n\frac{x^n}{n!}... e−x=1−1!x+2!x2+...+(−1)nn!xn...
e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + . . . + x n n ! . . . e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}... ex=1+1!x+2!x2+...+n!xn...
s
i
n
(
x
)
=
x
1
+
x
3
3
!
+
x
2
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
+
.
.
.
=
e
x
−
e
−
x
2
sin(x) = \frac{x}{1}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+...=\frac{e^x - e^{-x}}{2}
sin(x)=1x+3!x3+(2n−1)!x2n−1+...=2ex−e−x
c
o
s
(
x
)
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
.
.
.
+
x
2
n
2
n
!
+
.
.
.
=
e
−
x
+
e
x
2
cos(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+\frac{x^{2n}}{2n!}+...=\frac{e^{-x}+e^x}{2}
cos(x)=1+2!x2+4!x4+...+2n!x2n+...=2e−x+ex
2m 1n 1r
组合 球相同 盒子不同 不能是空 C n − 1 m − 1 \quad C_{n-1}^{m-1} Cn−1m−1
数的拆分
把正整数 拆分成 a b c 的和的方法P(n)
1
(
1
−
x
a
)
(
1
−
x
b
)
(
1
−
x
c
)
=
(
1
+
x
a
+
x
2
a
+
.
.
.
)
(
1
+
x
b
+
x
2
b
+
.
.
.
)
(
1
+
x
c
+
x
2
c
+
.
.
.
)
\frac{1}{(1-x^a)(1-x^b)(1-x^c)}=(1+x^a+x^{2a}+...)(1+x^b+x^{2b}+...)(1+x^c+x^{2c}+...)
(1−xa)(1−xb)(1−xc)1=(1+xa+x2a+...)(1+xb+x2b+...)(1+xc+x2c+...)
(
1
+
x
)
(
1
+
x
2
)
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
4
)
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
1
−
x
2
=
1
+
x
1
−
x
1-x^2 = \frac {1+x}{1-x}
1−x2=1−x1+x
1
+
x
2
=
1
−
x
4
1
−
x
2
1+x^2 = \frac{1-x^4}{1-x^2}
1+x2=1−x21−x4
1
−
x
2
n
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
.
.
.
+
x
2
n
−
1
\frac{1-x^{2n}}{1-x}=1+x+x^2+...+x^{2n-1}
1−x1−x2n=1+x+x2+...+x2n−1
递推关系
F
n
−
F
n
−
1
−
F
n
−
2
=
0
F
n
−
1
−
F
n
−
2
−
F
n
−
3
=
0
F_n-F_{n-1}-F_{n-2}=0\\F_{n-1}-F_{n-2}-F_{n-3}=0
Fn−Fn−1−Fn−2=0Fn−1−Fn−2−Fn−3=0
C
(
x
)
=
x
n
−
b
1
x
n
−
1
−
b
2
x
n
−
2
.
.
.
=
0
C(x)=x^n-b_1x^{n-1}-b_2x^{n-2} ...=0
C(x)=xn−b1xn−1−b2xn−2...=0
常系数线性齐次递推关系
1.递推关系—
2.特征方程 线性齐次方程
3.求解-----特征根 q
由
a
n
=
q
n
a_n=q^n
an=qn是方程的解 写出通解的形式，
将初值带入即可得到递推关系
{
a
n
=
2
a
n
−
1
+
a
n
−
2
−
2
a
n
−
3
(
n
≥
3
)
a
0
=
1
,
a
1
=
2
;
a
2
=
0
\begin{cases} a_n=2a_{n-1}+a_n-2-2a_{n-3} \; (n\ge 3)\\ a_0=1,a_1=2;a_2=0\\ \end{cases}
{an=2an−1+an−2−2an−3(n≥3)a0=1,a1=2;a2=0
求递推关系
x
3
−
2
x
2
−
x
+
2
=
0
x^3-2x^2-x+2=0
x3−2x2−x+2=0
(x+1)(x-1)(x-2)=0
特征根是 -1 1 2
q
1
=
1
q
2
=
−
1
q
3
=
2
q_1= 1 \quad q_2= -1 \quad q_3=2
q1=1q2=−1q3=2
通解形式为 a n = c 1 q n + c 2 q n + c 3 q n a_n=c_1q^n+c_2q^n+c_3q^n an=c1qn+c2qn+c3qn 有几个根有几项
q 最终为1，忽略掉了
x
2
−
2
x
+
1
=
0
x^2-2x+1=0
x2−2x+1=0
特征根相同时，
q
1
=
q
2
=
1
a
n
=
c
1
+
c
2
n
q_1=q_2=1 \\ a_n= c_1 +c_2n
q1=q2=1an=c1+c2n
{ a n = − a n − 1 + 3 a n − 2 + 5 a n − 3 + 2 a n − 4 ( n ≥ 4 ) a 0 = 1 , a 1 = 0 , a 2 = 1 , a 3 = 2 \begin{cases} a_n=-a_{n-1}+3a_n-2+5a_{n-3}+2a_{n-4} \; (n\ge 4)\\ a_0=1,a_1=0,a_2=1,a_3=2\\ \end{cases} {an=−an−1+3an−2+5an−3+2an−4(n≥4)a0=1,a1=0,a2=1,a3=2
x
4
+
x
3
−
3
x
2
−
5
x
−
2
=
0
q
1
=
q
2
=
q
3
=
−
1
,
q
4
=
2
x^4+x^3-3x^2-5x-2=0\\ q1=q2=q3=-1 ,q4=2
x4+x3−3x2−5x−2=0q1=q2=q3=−1,q4=2多项式除法
a
n
=
c
1
(
−
1
)
n
+
c
2
n
(
−
1
)
n
+
c
3
n
2
(
−
1
)
n
+
c
4
2
n
a_n=c_1(-1)^n +c_2n(-1)^n+c_3n^2(-1)^n+c_42^n
an=c1(−1)n+c2n(−1)n+c3n2(−1)n+c42n
{ a 0 = c 1 + c 4 = 1 a 1 = − c 1 − c 2 − c 3 + 2 ∗ c 4 = 0 a 2 = c 1 + c 2 ∗ 2 + 4 c 3 + c 4 ∗ 4 = 1 a 3 = − c 1 − 3 c 2 − 9 c 3 + 8 c 4 = 2 \begin{cases} a_0=c_1+c_4 = 1 \\ a_1=-c_1-c_2-c_3+2*c_4=0\\ a_2 = c_1 + c_2*2+4c_3+c_4*4=1\\ a_3 = -c_1 -3c_2-9c_3+8_c4=2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a0=c1+c4=1a1=−c1−c2−c3+2∗c4=0a2=c1+c2∗2+4c3+c4∗4=1a3=−c1−3c2−9c3+8c4=2
c
1
=
42
52
,
c
2
=
−
29
52
,
c
3
=
7
52
,
c
4
=
10
52
c_1=\frac{42}{52},c_2=-\frac{29}{52},c_3=\frac{7}{52},c_4=\frac{10}{52}
c1=5242,c2=−5229,c3=527,c4=5210
a
n
=
42
52
(
−
1
)
n
−
29
52
n
(
−
1
)
n
+
7
52
n
2
(
−
1
)
n
+
10
52
2
n
a_n=\frac{42}{52}(-1)^n-\frac{29}{52}n(-1)^n+\frac{7}{52}n^2(-1)^n+\frac{10}{52}2^n
an=5242(−1)n−5229n(−1)n+527n2(−1)n+52102n
x
3
+
6
x
2
+
12
x
+
8
=
0
(
x
+
2
)
3
=
0
x^3+6x^2+12x+8=0\\ (x+2)^3=0
x3+6x2+12x+8=0(x+2)3=0
(
c
1
+
c
2
n
+
c
3
n
2
=
a
n
(c_1+c_2n+c_3n^2=a_n
(c1+c2n+c3n2=an
常系数线性非齐次递推关系
1.找出递推关系
2.找出齐次递推关系，求出齐次的通解，然后求特解，从而得到递推关系
汉诺塔递推关系
求解齐次方程
a
n
−
2
a
n
−
1
=
0
a_n-2a_{n-1}=0
an−2an−1=0
特征方程 q =2
a
n
∗
=
c
∗
2
n
a_n^*=c *2^n
an∗=c∗2n
由于f(n)=1 (上面丢掉的)
m=1 n=1 k=0 an=A
a2=3 = c1*2^n+A
A=-1
