目录

一、树

1.树的概念及结构

1.1树的概念

1.2树的相关概念

1.3树的表示

2.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

2.2特殊的二叉树

2.3二叉树的性质

2.4二叉树的存储结构

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1二叉树的顺序结构

3.2堆的概念及结构

二、堆的实现

0.定义堆

1.初始化堆

2.堆的创建

3.堆的删除

4.堆的判空问题

5.堆的大小

6.堆的销毁

三、堆的应用

1.堆排序

2.topK问题

总结

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一、树

1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由N（N>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合，叫它为树是因为它看起来像一颗倒挂的树，根朝上，叶子朝下

• 树有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
• 除了根节点外，其余节点被分为M个互不相交的集合，其中每一个集合又是一颗结构与树类似的子树，每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0或多个后继，因此树是递归定义的。

1.2树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶子节点
• 树的度：一个树中，最大的节点的度称为树的度

1.3树的表示

树需要保存值域，也需要保存节点和节点之间的关系，其中树有很多表示方法，如双亲表示法，孩子表示法，双亲孩子表示法以及孩子兄弟表示法，常用孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node * child;
    struct Node * brother;
    DataType data;
};

2.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合或者为空，或者由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成

 从上图可以看出，二叉树不存在度大于2的节点；二叉树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每次的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且节点总数为2^K-1,则它就是满二叉树
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，对于深度为K的有N个节点的二叉树，当且仅当每个节点都与深度为K的满二叉树从1到N的节点一一对应，就成为完全二叉树

2.3二叉树的性质

• 若规定根节点为第一层，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点
• 若规定根节点为第一层，则深度为h的二叉树的最大节点数是2^h-1
• 对于任意一棵二叉树，如果度为0的叶子节点个数为N0，度为2的分支节点为N2,N0 = N2+1
• 若规定根节点的层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度，h=log2(n+1)
• 对于一个具有n个节点的完全二叉树，按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，对于序号为i的节点：
  • 若i>0,i节点的双亲序号：（i-1）/2; i=0,i为根节点编号，无双亲节点
  • 若2i+1<n,左孩子序号：2i+1，2i+1>n无左孩子
  • 若2i+2<n,右孩子序号：2i+2，2i+2>n无右孩子

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种存储结构，一种是顺序结构，一种是链式结构

1.顺序存储

顺序结构存储就是用数组来存储，一般数组只适合表示完全二叉树，不是完全二叉树会有空间的浪费，现实中只有堆使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理结构上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

 2.链式存储

二叉树的链式存储是使用链表表示一颗二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系，通常是链表中的每个节点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出左右孩子所在链节点的存储地址，链式结构分为二叉链和三叉链，一般使用二叉链，红黑树等会用到三叉链

typedef int BTDataType;

//二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode * leftchild;
    struct BinaryTreeNode * rightchild;
    BTDataType    data;
};


//三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode *parent;
    struct BinaryTreeNode * leftchild;
    struct BinaryTreeNode * rightchild;
};

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1二叉树的顺序结构

普通的二叉树一般不使用数组存储，因为会造成大量的空间浪费，完全二叉树适合顺序存储。

3.2堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K={k0,k1,k2,k3...kN-1},把它所有的元素按完全二叉树的顺序存储方式存储到一维数组中，并满足：Ki<=K2i+1,且Ki<=K2i+2(或者小于）则称为小堆，或者大堆，将根节点最大的堆叫做最大堆或者大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

      堆中某个节点的值总是不大于或不小于父节点的值；

       堆总是一颗完全二叉树

二、堆的实现

0.定义堆

堆的逻辑结构是一棵完全二叉树，物理结构为一个数组，要想实现堆的插入删除，需要再定义size和capacity两个值，分别表示当前完全二叉树中存储的有效数据和完全二叉树的容量。

typedef int HPDataType;

typedef struct
{
    HPDataType * a;
    int size;
    int capacity;
}HP;

1.初始化堆

void HeapInit(HP * php)
{
    assert(php);
    php->a = NULL;
    php->size = php->capacity = 0;
}

2.堆的创建

堆的创建需要先插入节点，插入节点后需要保证仍然是一个堆，则需要调整顺序，即根据定义是大堆或小堆进行调整

void Swap(HPDataType * p1, HPDataType * p2)
{
    HPDataType * tmp = *p1;
    *p1 = *p2;
    *p2 = tmp;
}

void AdjustUp(HPDataType * a,int child)
{
    int parent = (child-1)/2;
    while(child>0)  //直到比到根节点结束
    {
        if(a[child] < a[parent])   //如果要创建小堆 if(a[child] >a[parent])进行调整
        {
            Swap(&a[child],&a[parent]);  //传递的是数组的值，所以类型为HPDataType，传递的是一个地址，所以用一个指针接收，将child指向的值换为parent指向的值，下标没变
            child = parent; //向上走，更换下标
            parent = (child -1)/2;  //重新找到parent节点
        }
        else
        {
            break;
        }
}


void HeapPush(HP * php,HPDataType x)
{
    assert(php);
    //插入前先判断容量，如果不够需要对数组扩容
    if(php->size == php->capacity)
    {
        int newCapacity = php->capacity == 0?4:php->capacity *2;
        HPDataType * tmp = realloc(php->a,sizeof(HPDataType)*newCapacity);
        if(tmp ==NULL)
            exit(-1);
        php->a = tmp;
        php->capacity = newCapacity;
    }
    //先插入，再调整
    php->a[php->size] = x;
    php->size++;
    
    //如果默认建大堆，则插入的节点向上调整
    //向上调整的时候，调整的是数组的顺序
    //以及知道当前数据的下标
    
    AdjustUp(php->a,php->size-1);
}


//形参为定义的堆，要实现堆结构的数组，数组的个数
void HeapCreate(HP * php,HPDataType * a,int n)
{
    assert(php);
    HeapInit(php);
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        //依次插入,插入到哪个堆，以及数据
        HeapPush(php,a[i]);
    }
}

3.堆的删除

同堆的插入问题，删除节点后需要仍然保持堆的有序问题，对于顺序表来说，头删时间复杂度为O（N），尾删时间复杂度为O（1），所以删除堆顶数据时，先和最后一个交换顺序，删除表尾的数据，然后再根据为大堆或小堆，进行调整堆的顺序。

void AdjustDown(HPDataType * a, int n, int parent)
{
    int child = 2*parent +1;
    while()
    {
        //此时可能左孩子大，也可能右孩子大，需要和大的交换，上面定义左孩子
        //也有可能没有右孩子,如果没有就不++
        if(a[child] <a[child+1]  && child+1 <n)
        {
            ++child;
        }
        
       //向下交换
        if(a[parent] <a[child])    //此时，如果要调整为小堆 箭头 > 
        {
            Swap(&a[parent],&a[child]);
            parent = child;
            child = 2*parent +1;
        }
        else
        {
            break;
        }
}
    
void HeapPop(HP * php)
{
    assert(php);
    //如果为空则无法删除
    assert(php->size>0)
    //先进行交换
    Swap(&php->a[0],&php->a[php->size-1]);
    php->size--;
    //删除完对现在的堆进行调整
    //调整的是数组的排序，当前堆顶的下标，以及堆的大小，堆的大小即节点的个数，父节点和子节点进行比较，直到比到父节点变成最后一个子节点停止
    AdjustDown(php->a,php->size,0);
}

4.堆的判空问题

bool HeapEmpty(HP * php)
{
      assert(php);
      return php->size ==0;
 }

5.堆的大小

int HeapSize(HP * php)
{
    assert(php);
    return php->size;
  }

6.堆的销毁

void HeapDestroy(HP * php)
{
    assert(php);
    free(php->a);
    php->a = NULL;
    php->size = php->capacity = 0;
}

三、堆的应用

1.堆排序

堆排序即利用堆的思想进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆 升序 建大堆 降序 建小堆
2. 利用堆删除思想进行排序

2.topK问题

      即求数据中前K个最大的元素或者最小的元素，一般数据量较大。对于topK问题，最简单的就是排序，但是数据量非常大的时候，排序不可取，最佳方式用堆解决，基本思路如下:

       前K个最大的元素，建立大堆

       前K个最小的元素，建立小堆

HPDataType HeapPop(HP * php)
{
    asser(php);
    assert(php->size >0);
    return php->a[0];
}


void TestTopK()
{
    //根据现有的数据建立堆 建立大或小在push中定义
    int a[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
    HP hp;
    HeapInit(&hp);
    for(int i = 0; i<sizeof(a)/sizeof(int);i++)
    {
        HeapPush(hp,a[i]);
    }
    //取前5个
    int k = 5;
    while(k--)
    {
        printf("%d" ,HeapTop(&hp);
        HeapPop(&hp);
    }
    HeapDestroy(&hp);
}

 

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总结

本文主要介绍了树的概念及性质，堆的概念及增删改查的接口，堆的应用topK问题，技术有限，如有错误请指正。