172. 阶乘后的零（中等）
方法一
思路
当一个数乘以 10 ，此时数字结尾会增加一个 0，因此我们可以计算 n! 能够得出多少个 10 ，就说明能得到多少个 0 。
具体对于5!，也就是 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120，发现结果会有一个 0，原因就是 2 和 5 相乘构成了一个 10。而对于 10 ，其实也只有 2 * 5 可以构成，所以我们只需要找有多少对 2/5。
我们把每个乘数再稍微分解下，看一个例子。
11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 11 * (2 * 5) * 9 * (4 * 2) * 7 * (3 * 2) * (1 * 5) * (2 * 2) * 3 * (1 * 2) * 1
对于含有 2 的因子的话是 1 * 2, 2 * 2, 3 * 2, 4 * 2 …
对于含有 5 的因子的话是 1 * 5, 2 * 5…
含有 2 的因子每两个出现一次，含有 5 的因子每 5 个出现一次，所有 2 出现的个数远远多于 5，换言之找到一个 5，一定能找到一个 2 与之配对。所以我们只需要找有多少个 5。
直接的，我们只需要判断每个累乘的数有多少个 5 的因子即可。
代码
class Solution {
public:
int trailingZeroes(int n) {
int ans = 0;
for(int i=1; i<=n; ++i){
int N = i;
while(N > 0){
if(N % 5 == 0){
ans++;
N /= 5;
}
else break;
}
}
return ans;
}
};
优化
思路
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对于一个数的阶乘，就如之前分析的，5 的因子一定是每隔 5 个数出现一次，也就是下边的样子。
n! = 1 * 2 * 3 * 4 * (1 * 5) * ... * (2 * 5) * ... * (3 * 5) *... * n因为每隔 5 个数出现一个 5，所以计算出现了多少个 5，我们只需要用 n/5 就可以算出来。
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继续分析。
... * (1 * 5) * ... * (1 * 5 * 5) * ... * (2 * 5 * 5) * ... * (3 * 5 * 5) * ... * n每隔 25 个数字，出现的是两个 5，所以除了每隔 5 个数算作一个 5，每隔 25 个数，还需要多算一个 5。
也就是我们需要再加上 n / 25 个 5。
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同理我们还会发现每隔 5 * 5 * 5 = 125 个数字，会出现 3 个 5，所以我们还需要再加上 n / 125 。
综上，规律就是每隔 5 个数，出现一个 5，每隔 25 个数，出现 2 个 5，每隔 125 个数，出现 3 个 5… 以此类推。
最终 5 的个数就是 n / 5 + n / 25 + n / 125 ...
写程序的话，如果直接按照上边的式子计算，分母可能会造成溢出。所以算 n / 25 的时候，我们先把 n 更新，n = n / 5，然后再计算 n / 5 即可。后边的同理。
代码
class Solution {
public:
int trailingZeroes(int n) {
int ans = 0;
while(n > 0){
ans += n / 5;
n /= 5;
}
return ans;
}
};
