首先看
汉明码
一、矩阵解释 单bit纠正（ SEC，single error correction ）
以数据位为8位(m)为例，编码位数为r，2^r>=m+r+1
r最小为4
编码后位数为4+8=12位
编码位为p1，p2 ，p3, p4
p1掌控：d1 d2 d4 d5 d7,分别对应位置是：11,101,111,1001,1011(也就是位置的二进制编码，第一位为1的，注意p1由其掌控的数据为求取得到)
p2掌控：d1 d3 d4 d6 d7,分别对应位置是: 11,110,111,1010,1011(也就是位置的二进制编码，第二位为1的)
p3:... ：d2 d3 d4 d8(第三位为1的)
p4:....: d5 d6 d7 d8(第四位为1的)
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位置编码
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位置二进制编码
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1000
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1001
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1011
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1100
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数据为和编码为标志
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p1
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p2
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d1
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p3
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d2
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d3
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d4
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p4
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d5
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d6
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d7
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d8
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p1
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p2
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p3
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p4
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1
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1
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1
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1
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1
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根据上表可以得到奇偶校验矩阵H：
H=
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
比如数据为1001_1100, 按照奇校验求取得到下表(就是保证所有位(包括校验位p)的1的个数是奇数)。
p1=^(10110）+1= 0（因为是奇数所以p1=0，这里1+1不进位，所以等于0）
p2=^(10110) +1 = 0
p3=^(00010)+1 = 0
p4=^(1100)+1=1 （因为是偶数所以p4=1）
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位置编码
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位置二进制编码
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100
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101
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110
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111
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1000
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1001
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1010
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1011
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1100
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数据为和编码为标志
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p1
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p2
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d1
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p3
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d2
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d3
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d4
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p4
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d5
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d6
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d7
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d8
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值
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0
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0
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1
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0
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0
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0
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p1
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p2
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p3
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1
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p4
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1
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1
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1
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编码后数据流是：0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0
如果对方接受到的数据是0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0那么数据流和奇偶校验矩阵的乘积 矩阵
相乘并模2加法应该是一个全1矩阵，表示没有位置出错。
理解：
实际上就是对p和p所掌控的数据位重新取异或。（因为编码使，p和p所掌控的数据是按照奇校验计算的，所以对这些位重新取异或后值应该为1）
模二加法的话是1+1=0,1+0=1不进位
数据流是：
0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0
乘法：
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 * 0 1
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 = 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0
0
1
1
1
1
0
0
A、如果接收到的单bit出错，比如第5位(d2)：0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0
数据流是：
0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0
矩阵乘法：
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 p1'
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 * 0 1 p2'
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 = 0 p3'
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 p4'
1
0
1
1
1
1
0
0
计算出来结果不是全1的，所以存在错误，如果是单bit出错，计算结果0101=5就表示出错位置，但是高于1bit的话实际上也会爆出来是出错，只是没有办法确认是哪几位。
p1'和p3'与值为0说明奇校验没有过。
图解释，如下，d2出错，从图中可以很形象的确认出p1'和p3'会报错：
B、如果接收到的两bit出现错误
原始编码后数据： 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0
如果第5位(d2)和第11位（d7）位出错：0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0
数据流是：
0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0
矩阵乘法：
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 p1'
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 * 0 0 p2'
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 = 0 p3'
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 p4'
1
0
1
1
1
1
1
0
从计算结果来看p2',p3',p4'计算出来有错误，奇校验没有过，但是p1'是正确的。1000=8没法确认出错的bit。
如下图所示，因为d2和d7都在p1中所以，求异或后抵消了，所以p1'是计算出来正确的。由于d2出错，所以p3'报错，由于d7出错，所以p4'和p2'报错。从图上也知道没法确认出错bit，也没有办法确认出错bit数量。也没法纠正。
二、矩阵解释 单bit纠正，两bit检测（ SECDED，single error correction and double error detection）（3bit err not work）
实现这种校验，需要额外增加一个校验位
global parity check bit，称为g
依然按照上面两种情况举例。
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位置编码
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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11
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12
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14
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位置二进制编码
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1
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10
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11
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100
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101
|
110
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111
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1000
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1001
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1010
|
1011
|
1100
| ||
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数据为和编码为标志
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p1
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p2
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d1
|
p3
|
d2
|
d3
|
d4
|
p4
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d5
|
d6
|
d7
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d8
|
g
| |
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值
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0
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0
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1
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0
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0
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0
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1
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1
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1
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1
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0
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0
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0
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p1
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1
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1
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1
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1
|
1
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1
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p2
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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p3
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1
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1
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1
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1
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1
| |||||||||
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p4
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1
|
1
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1
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1
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1
| |||||||||
|
g
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1
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1
|
1
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1
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1
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1
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1
|
1
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1
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1
|
1
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1
|
g的话是所有为校验位：^(0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0)+1=0
编码后数据流是： 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
A、如果接收到的单bit出错，比如第5位(d2)：0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0
数据流是：
0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0
矩阵乘法：
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 p1'
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 * 0 1 p2'
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 = 0 p3'
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 p4'
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 g'
0
1
1
1
1
0
0
0
计算出来结果不是全1的，所以存在错误，如果是单bit出错（注意这里用的如果），计算结果0101=5就表示出错位置。由于g'不等于1所以整体上来说奇偶校验没有过存在错误的bit。
而且p1'和p3'也出错了。如果是单bit出错所以是可以找到对应bit并纠正的。（注意这里是如果）
整体出错，分量也出错，那么是单bit出错（
前提是没有超过3bit出错）
图解释，如下，d2出错，从图中可以很形象的确认出p1'和p3'会报错,g也会报错：
B、如果接收到的两bit出现错误
原始编码后数据： 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
如果第5位(d2)和第11位（d7）位出错：0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0
数据流是：
0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0
矩阵乘法：
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 p1'
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 * 0 0 p2'
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 = 0 p3'
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 p4'
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 g'
0
1
1
1
1
1
0
从计算结果来看p2',p3',p4'计算出来有错误，但是p1’和g'是正确的。1000=8没法确认出错的bit。
如下图所示，因为d2和d7都在p1中所以，求异或后抵消了，所以p1'是计算出来正确的（g'也是一样的）。由于d2出错，所以p3'报错，由于d7出错，所以p4'和p2'报错。从图上也知道没法确认出错bit，也没法纠正。由于
整体是正确的，但是分量有错误，所以判断出事两个bit出错了，但是没法纠正也没法确认出错bit。（
前提是没有超过3bit出错）
C.如果接收到的是3 bits错误或以上，SECDED没法work。
原始编码后数据： 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
如果第5位(d2)和第11位（d7）以及第10位(d6)出错：0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
数据流是：
0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
矩阵乘法：
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 p1'
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 * 0 1 p2'
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 = 0 p3'
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 p4'
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 g'
0
1
1
1
1
1
0
从计算结果来看p3'计算出来有错误，但是p1’，p2’，p4'和g'是正确的。1101=13没法确认出错的bit。
如下图所示，因为d2和d7都在p1中所以，求异或后抵消了，所以p1'是计算出来正确的。由于d2出错，所以p3'报错，由于d7和d6出错，所以p4'和p2'校验正确。
由于有三个bit错误没法抵消，所以g'也是奇校验没有通过。
由于整体是错误的，分量也有错误，从下图也知道没法确认出错bit数，也没法纠正。
所以超过三个bits出错的话没法work。超过3个bit（包括三个）没法区分是哪个bit出错，出错了几个bit。但是能分出是奇数个还是偶数个。
整体校验通过，分量没有通过那么是偶数个bit出错。
整体校验失败，分量校验也失败的话那么是奇数个bit出错。
从上面分析可以得出另一个结论是，实际上划分p1,p2,p3,p4所掌控的数据，并不一定要按照上面的规则去划分，按照图像解释只要能保证单个bit出错能定位到该bit就可以。
也就是校验矩阵可以采用其
三.生成码和校验码（G and
H
）
A.校验矩阵
|
位置编码
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
位置二进制编码
|
1
|
10
|
11
|
100
|
101
|
110
|
111
|
1000
|
1001
|
1010
|
1011
|
1100
| ||
|
数据为和编码为标志
|
p1
|
p2
|
d1
|
p3
|
d2
|
d3
|
d4
|
p4
|
d5
|
d6
|
d7
|
d8
| ||
|
值
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
| ||
|
p1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
| ||||||||
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p2
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1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
| ||||||||
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p3
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
| |||||||||
|
p4
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
实际上校验码矩阵H中，是可以将p和d位置分开来的。
原来的校验矩阵H是上表中的红色以及框起来的部分组成的，形式如下
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
如果将数据和校验位分开不做穿插排列的话（原始数据还是1001_1100），可排成如下表格：
|
位置编码
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
位置二进制编码
|
1
|
10
|
100
|
1000
|
101
|
110
|
111
|
1001
|
1010
|
1011
|
1100
|
1101
| ||
|
数据为和编码为标志
|
p1
|
p2
|
p3
|
p4
|
d1
|
d2
|
d3
|
d4
|
d5
|
d6
|
d7
|
d8
| ||
|
值
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
| ||
|
p1（位置编号第一位为1的数据）
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
| ||||||||
|
p2（位置编号第二位为1的数据）
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
| |||||||||
|
p3（位置编号第三位为1的数据）
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
| ||||||||
|
p4（位置编号第4位为1的数据）
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
(注意表格中：位置二进制编码也往前提了)
那么现在的校验矩阵H就是两部分组成，一部分是校验位的单位阵（eye，上表黄色框部分），一部分是数据位的归属阵（上表红色框部分）：
p1 p2 p3 p4 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8
1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 （4*12）
生成矩阵G也是有两部分组成，一个是数据位归属阵的转置阵（ 行换成同序数的列)，一部分是数据的单位阵（eye）：
p1 p2 p3 p4 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8
1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 (8*12)
B.生成矩阵
生成矩阵G可以用于在编码器中生成编码后打代码。
公式是c=
mG
比如上面源码m是
1001_1100，矩阵乘法后，取模二加法再+1（奇校验）：
mG=
1 0 0 1 1 1 0 0 （1*8）*
1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 (8*12)= 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0（1*12）
（方便看着计算例了这列） p1 p2 p3 p4 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8
最终求出的矩阵（1*12）就是编码后的数据，前四位是校验位，后面8位是原数据没变。
p1=^(d1d3d5d7)+1=^(1010)+1=1
p2=^(d2d3d6d7)+1=^(0010)+1=0
C.校验
奇校验情况下如果收到的码是正确的，那么可H和收到的数据相乘应该为全为一（取模二加法）：
接收到的正确的码：
0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
校验：
1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 *
0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 （4*12）
0
1
0
0
1 1
0 = 1
0 1
1 1
1
1
0
0（12*1）
只要生成矩阵和校验矩阵能够对应上，就能进行编码和校验，并不一定说要p1使用第一位为1的位置，p2使用第二位为1的位置。
（我也可以p1使用第一位为0，p2第二位为0的位置）
四.任意生成矩阵和校验矩阵（不完全正确自己理解的总结）
三中例子，4位的矫正位，可以表示16个错误位。（还是奇校验），可以写成如下错码表
|
位置编码
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
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8
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9
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10
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11
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12
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13
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14
|
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位置二进制编码
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1
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10
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100
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1000
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101
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110
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111
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1001
|
1010
|
1011
|
1100
|
1101
| ||
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错码位
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p1
|
p2
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p3
|
p4
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d1
|
d2
|
d3
|
d4
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d5
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d6
|
d7
|
d8
| ||
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p1'p2'p3'p4'
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0111
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1011
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1101
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1110
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0101
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1001
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0001
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0110
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1010
|
0010
|
1100
|
0100
|
图像解释:
0111表示p1'计算出来不正确，所以错误位是p1 (表示p1属于p1)
1001表示p2'p3'计算出来不正确，所以错误位是d2（1001表示d2属于p2和p3）
从这个错码表可以知道，实际上可以通过错码表来生成校验和生成矩阵，而且错码表示可以任意的，只需要保证每一个错码表示唯一一个可能的错位。这样就可以在只有一个bit出错时可以纠正。
五.代码
编码器这个编码器使用的是SECDED，且也不是按照 p
1使用第一位为1的位置，p2使用第二位为1的位置来计算的，可能使用错码表思路。
解码器，并进行纠正。
此代码是偶校验的，校验原理是：校验位和数据位的异或结果s[i]需要是0，如果不是0说明有错误。在认为只有小于3bit出错的情况下，此算法的工作会认为：
s中存在bit为1，那么说明有错误，ecc_err_detected拉高
如果s异或结果为1，那么说明有一bit错误，
ecc_err_detected和
ecc_err_detected_s都会拉高
s中存在bit为1，那么说明有错误，ecc_err_detected拉高，且
s异或结果为0，那么说明不是1 bit错误，
ecc_err_detected和
ecc_err_detected_d都会拉高
超过3个bit（包括3bit）后此代码不能纠正也不能判断出错位数，只能判断出错位数的奇偶性。
此代码的纠正原理是：e[0]表示d[0]所在属的三个校验位c[0],c[2],c[3]的校验结果s[0],s[2],s[3]的取&，如果为1表示三个校验位都出错，（按照上面图形解释思想）同时属于这三个校验位的只有d[0]，那么就表示d[0]出错了。最后矫正时d[0]^e[0]就是，如果d[0]出错，出错后为0，那么0^1=1，如果出错后为1，那么1^1=0.这样就可以矫正。
