对抗样本的基本概念

要认识对抗训练，首先要了解"对抗样本"，它首先出现在论文Intriguing properties of neural networks之中。简单来说，它是指对于人类来说"看起来"几乎一样，但对于模型来说预测结果却完全不一样的样本，比如下面的经典例子（一只熊猫加了点扰动就被识别成了长臂猿）

那么，什么样的样本才是好的对抗样本呢？对抗样本一般需要具有两个特点：

1. 相对原始输入，所添加的扰动是微小的
2. 能使模型犯错

对抗训练的基本概念

GAN之父lan Goodfellow在15年的ICLR中第一次提出了对抗训练的概念，简言之，就是在原始输入样本$x$上加一个扰动$\Delta x$，得到对抗样本之后，用其进行训练。也就是说，问题可以被抽象成这样一个模型：
$$\begin{array}{r}\underset{\theta }{\max }P(y|x+\Delta x;\theta )\end{array}$$
其中，$y$为ground truth，$\theta$为模型参数。那扰动$\Delta x$如何计算呢？Goodfellow认为：神经网络由于其线性的特点，很容易受到线性扰动的攻击

This linear behavior suggests that cheap, analytical perturbations of a linear model should also damage neural networks

于是，他提出了Fast Gradinet Sign Method（FGSM），来计算输入样本的扰动。扰动可以被定义为：
$$\Delta x=ϵ\cdot \text{sgn}({\nabla }_{x}L(x,y;\theta ))$$
其中，$\text{sgn}$为符号函数，$L$为损失函数（很多地方也用$J$来表示）。Goodfellow发现，$ϵ=0.25$时，这个扰动能给一个单层分类器造成99.9%的错误率。看似这个扰动的发现有点拍脑门，但仔细想想，其实这个扰动计算的思想可以理解为：将输入样本想着损失上升的方向再进一步，得到的对抗样本就能造成更大的损失，提高模型的错误率

为了帮助读者理解上面一段话的含义，我们首先回顾一下梯度下降：在神经网络中，为了使得降低模型的损失，我们有这么一个简单的式子：
KaTeX parse error: Expected '}', got '_' at position 11: \text{new_̲weights = old_w…

如果要我指出其中最重要的部分，那必然是减号。这个减号使得无论当前梯度gradients是正还是负，最终new_weights的前进方向必然是使得loss下降的方向。那么反过来，如果将减号改为加号，并且将weights改为$x$，对抗训练中使得损失上升的思想就出来了
$$x=x+\Delta x$$

上图中，我们看到两个箭头代表了两种不同的梯度调整策略。左侧的方程是训练神经网络最常见方程，它朝着梯度下降、损失下降的方向前进。右侧的方程则不是这样，它朝着梯度上升、损失上升的方向前进

实际上公式中的$\text{sgn}$函数作用仅仅只是为了防止$\nabla xL(x,y;\theta )$过大所做的缩放，除了$\text{sgn}$函数以外，还有一种常见的方式是：
$$\Delta x=ϵ\cdot \frac{{\nabla }_{x}L(x,y;\theta )}{||{\nabla }_{x}L(x,y;\theta )||}$$

最后，Goodfellow还总结了对抗训练的两个作用：

1. 提高模型应对恶意对抗样本时的鲁棒性
2. 作为一种regularization，减少overfitting，提高泛化能力

Min-Max公式

Madry在2018年的ICLR论文Towards Deep Learning Models Resistant to Adversarial Attacks中总结了之前的工作。总的来说，对抗训练可以统一写成如下格式：
$$\underset{\theta }{\min }{\mathbb{E}}_{(x,y)\sim \mathcal{D}}\left[\underset{\Delta x\in \Omega }{\max }L(x+\Delta x,y;\theta )\right]$$
其中$\mathcal{D}$代表数据集，$x$代表输入，$y$代表标签，$\theta$是模型参数，$L(x,y;\theta )$是单个样本的loss，$\Delta x$是扰动，$\Omega$是扰动空间。这个式子可以分步理解如下：

1. 往$x$里注入扰动$\Delta x$，$\Delta x$的目标是让$L(x+\Delta x,y;\theta )$越大越好，也就是说尽可能让现有模型的预测出错
2. 当然$\Delta x$也不是无约束的，它不能太大，否则达不到"看起来几乎一样"的效果，所以$\Delta x$要满足一定的约束，常规的约束是$||\Delta x||\le ϵ$，其中$ϵ$是一个常数
3. 每个样本都构造出对抗样本$x+\Delta x$之后，用$(x+\Delta ,y)$作为数据去最小化loss来更新参数$\theta$（梯度下降）
4. 反复交替执行1、2、3步

从CV到NLP

对于CV领域的任务，上述对抗训练的流程可以顺利执行下来，因为图像可以视为普通的连续实数向量，$\Delta x$也是一个实数向量，因此$x+\Delta x$依然可以是有意义的图像。但NLP不一样，NLP的输入是文本，它本质上是one-hot向量，而两个不同的one-hot向量，其欧式距离恒为$\sqrt{2}$，因此对于理论上不存在什么"小扰动"

一个自然的想法是像论文Adversarial Training Methods for Semi-Supervised Text Classification一样，将扰动加到Embedding层

Because the set of high-dimensional one-hot vectors does not admit infinitesimal perturbation, we define the perturbation on continuous word embeddings instead of discrete word inputs.

这个思路在操作上没有问题，但问题是，扰动后的Embedding向量不一定能匹配上原来的Embedding向量表，这样一来对Embedding层的扰动就无法对应上真实的文本输入，这就不是真正意义上的对抗样本了，因为对抗样本依然能对应一个合理的原始输入

那么，在Embedding层做对抗扰动还有没有意义呢？有！实验结果显示，在很多任务中，在Embedding层进行对抗扰动能有效提高模型的性能

Fast Gradient Method（FGM）

上面提到，Goodfellow在15年的ICLR中提出了Fast Gradient Sign Method（FGSM），随后，在17年的ICLR中，Goodfellow对FGSM中计算扰动的部分做了一点简单的修改。假设输入文本序列的Embedding vectors $[v_1,v_2,...,v_T]$为$x$，Embedding的扰动为
$$\begin{array}{rl}\Delta x& =ϵ\cdot \frac{g}{||g|{|}_2}\\ g& ={\nabla }_{x}L(x,y;\theta )\end{array}$$
实际上就是取消了符号函数，用二范式做了一个scale，需要注意的是：这里的norm计算的是，每个样本的输入序列中出现过的词组成的矩阵的梯度norm。原作者提供了一个TensorFlow的实现，在他的实现中，公式里的$x$是Embedding后的结果（batch_size, seq_len, hid_dim），对其梯度$g$的后面两维计算norm，得到的是一个维度为（batch_size, 1, 1）的向量$||g|{|}_2$。为了实现插件式的调用，笔者将一个batch抽象成一个样本，一个batch统一用一个norm，其实norm本来也只是一个缩放的作用，影响不大。实现如下：

class FGM():
    def __init__(self, model):
        self.model = model
        self.backup = {}

    def attack(self, epsilon=1., emb_name='emb'):
        # emb_name这个参数要换成你模型中embedding的参数名
        # 例如，self.emb = nn.Embedding(5000, 100)
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad and emb_name in name:
                self.backup[name] = param.data.clone()
                norm = torch.norm(param.grad) # 默认为2范数
                if norm != 0:
                    r_at = epsilon * param.grad / norm
                    param.data.add_(r_at)

    def restore(self, emb_name='emb'):
        # emb_name这个参数要换成你模型中embedding的参数名
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad and emb_name in name: 
                assert name in self.backup
                param.data = self.backup[name]
        self.backup = {}

需要使用对抗训练的时候，只需要添加五行代码：

# 初始化
fgm = FGM(model)
for batch_input, batch_label in data:
  # 正常训练
  loss = model(batch_input, batch_label)
  loss.backward() # 反向传播，得到正常的grad
  # 对抗训练
  fgm.attack() # embedding被修改了
  # optimizer.zero_grad() # 如果不想累加梯度，就把这里的注释取消
  loss_sum = model(batch_input, batch_label)
  loss_sum.backward() # 反向传播，在正常的grad基础上，累加对抗训练的梯度
  fgm.restore() # 恢复Embedding的参数
  # 梯度下降，更新参数
  optimizer.step()
  optimizer.zero_grad()

Projected Gradient Descent（PGD）

FGM的思路是梯度上升，本质上来说没有什么问题，但是FGM简单粗暴的"一步到位"是不是有可能并不能走到约束内的最优点呢？当然是有可能的。于是，一个新的想法诞生了，Madry在18年的ICLR中提出了Projected Gradient Descent（PGD）方法，简单的说，就是"小步走，多走几步"，如果走出了扰动半径为$ϵ$的空间，就重新映射回"球面"上，以保证扰动不要过大：
$$\begin{array}{rl}{x}_{t+1}& =\prod _{x+S}(x_t+\alpha \frac{g(x_t)}{||g(x_t)|{|}_2})\\ g(x_t)& ={\nabla }_{x_t}L(x_t,y;\theta )\end{array}$$
其中 S = { r ∈ R d : ∣ ∣ r ∣ ∣ 2 ≤ ϵ } S=\{r\in \mathbb{R}^d:||r||_2\leq \epsilon\} S={r∈Rd:∣∣r∣∣2​≤ϵ}为扰动的约束空间，$\alpha$为小步的步长

由于PGD理论和代码比较复杂，因此下面先给出伪代码方便理解，然后再给出代码

对于每个x:
  1.计算x的前向loss，反向传播得到梯度并备份
  对于每步t:
    2.根据Embedding矩阵的梯度计算出r，并加到当前Embedding上，相当于x+r（超出范围则投影回epsilon内）
    3.t不是最后一步: 将梯度归0，根据(1)的x+r计算前后向并得到梯度
    4.t是最后一步: 恢复(1)的梯度，计算最后的x+r并将梯度累加到(1)上
  5.将Embedding恢复为(1)时的值
  6.根据(4)的梯度对参数进行更新

可以看到，在循环中$r$是逐渐累加的，要注意的是最后更新参数只使用最后一个x+r算出来的梯度

class PGD():
    def __init__(self, model):
        self.model = model
        self.emb_backup = {}
        self.grad_backup = {}

    def attack(self, epsilon=1., alpha=0.3, emb_name='emb', is_first_attack=False):
        # emb_name这个参数要换成你模型中embedding的参数名
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad and emb_name in name:
                if is_first_attack:
                    self.emb_backup[name] = param.data.clone()
                norm = torch.norm(param.grad)
                if norm != 0:
                    r_at = alpha * param.grad / norm
                    param.data.add_(r_at)
                    param.data = self.project(name, param.data, epsilon)

    def restore(self, emb_name='emb'):
        # emb_name这个参数要换成你模型中embedding的参数名
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad and emb_name in name: 
                assert name in self.emb_backup
                param.data = self.emb_backup[name]
        self.emb_backup = {}
        
    def project(self, param_name, param_data, epsilon):
        r = param_data - self.emb_backup[param_name]
        if torch.norm(r) > epsilon:
            r = epsilon * r / torch.norm(r)
        return self.emb_backup[param_name] + r
        
    def backup_grad(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                self.grad_backup[name] = param.grad.clone()
    
    def restore_grad(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                param.grad = self.grad_backup[name]

使用的时候要麻烦一点：

pgd = PGD(model)
K = 3
for batch_input, batch_label in data:
    # 正常训练
    loss = model(batch_input, batch_label)
    loss.backward() # 反向传播，得到正常的grad
    pgd.backup_grad() # 保存正常的grad
    # 对抗训练
    for t in range(K):
        pgd.attack(is_first_attack=(t==0)) # 在embedding上添加对抗扰动, first attack时备份param.data
        if t != K-1:
            optimizer.zero_grad()
        else:
            pgd.restore_grad() # 恢复正常的grad
        loss_sum = model(batch_input, batch_label)
        loss_sum.backward() # 反向传播，并在正常的grad基础上，累加对抗训练的梯度
    pgd.restore() # 恢复embedding参数
    # 梯度下降，更新参数
    optimizer.step()
    optimizer.zero_grad()

Virtual Adversarial Training

除了监督任务，对抗训练还可以用在半监督任务中，尤其对于NLP任务来说，很多时候我们拥有大量的未标注文本，那么就可以参考Distributional Smoothing with Virtual Adversarial Training进行半监督训练

首先，抽取一个随机标准正态扰动$(d\sim \mathcal{N}(0,1)\in {\mathbb{R}}^d)$，加到Embedding上，并用KL散度计算梯度：
$$\begin{array}{rl}g& ={\nabla }_{x^{\prime }}{D}_{KL}(p(\cdot \mid x;\theta )||p(\cdot \mid x^{\prime };\theta ))\\ x^{\prime }& =x+\xi d\end{array}$$
然后，用得到的梯度，计算对抗扰动，并进行对抗训练：
$$\begin{array}{rl}\underset{\theta }{\min }& D_{KL}(p(\cdot |x;\theta )||p(\cdot |x^{\ast };\theta ))\\ & \\ x^{\ast }& =x+ϵ\frac{g}{||g|{|}_2}\end{array}$$
实现起来有很多细节，并且笔者对于NLP的半监督任务了解并不多，因此这里就不给出实现了

实验对照

为了说明对抗训练的作用，网上有位大佬选了四个GLUE中的任务进行了对照试验，实验代码使用的Huggingface的transformers/examples/run_glue.py，超参都是默认的，对抗训练用的也是相同的超参

任务	Metrics	BERT-Base	FGM	PGD
MRPC	Accuracy	83.6	86.8	85.8
CoLA	Matthew’s corr	56.0	56.0	56.8
STS-B	Person/Spearmean corr	89.3/88.8	89.3/88.8	89.3/88.8
RTE	Accuracy	64.3	66.8	64.6

可以看出，对抗训练还是有效的，在MRPC和RTE任务上甚至可以提高三四个百分点。不过，根据我们使用的经验来看，是否有效有时也取决于数据集

为什么对抗训练有效？

Adversarial Training 能够提升 Word Embedding 质量的一个原因是：

有些词与比如（good 和 bad），其在语句中 Grammatical Role 是相近的，我理解为词性相同（都是形容词），并且周围一并出现的词语也是相近的，比如我们经常用来修饰天气或者一天的情况（The weather is good/bad; It’s a good/bad day），这些词的 Word Embedding 是非常相近的。文章中用 Good 和 Bad 作为例子，找出了其最接近的 10 个词：

可以发现在 Baseline 和 Random 的情况下, good 和 bad 出现在了彼此的邻近词中，而喂给模型经过扰动之后的 X-adv 之后，也就是 Adversarial 这一列，这种现象就没有出现，事实上， good 掉到了 bad 接近程度排第 36 的位置

我们可以猜测，在 Word Embedding 上添加的 Perturbation 很可能会导致原来的good变成bad，导致分类错误，计算的 Adversarial Loss 很大，而计算 Adversarial Loss 的部分是不参与梯度计算的，也就是说，模型（LSTM 和最后的 Dense Layer）的 Weight 和 Bias 的改变并不会影响 Adversarial Loss，模型只能通过改变 Word Embedding Weight 来努力降低它，进而如文章所说：

Adversarial training ensures that the meaning of a sentence cannot be inverted via a small change, so these words with similar grammatical role but different meaning become separated.

这些含义不同而语言结构角色类似的词能够通过这种 Adversarial Training 的方法而被分离开，从而提升了 Word Embedding 的质量，帮助模型取得了非常好的表现

梯度惩罚

这一部分，我们从另一个视角对上述结果进行分析，从而推出对抗训练的另一种方法，并且得到一种关于对抗训练更直观的几何理解

假设已经得到对抗扰动$\Delta x$，那么我们在更新$\theta$时，考虑对$L(x+\Delta x,y;\theta )$的泰勒展开：
$$\begin{array}{rl}& \underset{\theta }{\min }{\mathbb{E}}_{(x,y)\sim \mathcal{D}}\left[L(x+\Delta x,y;\theta )\right]\\ \approx & \underset{\theta }{\min }{\mathbb{E}}_{(x,y)\sim \mathcal{D}}\left[L(x,y;\theta )+⟨{\nabla }_{x}L(x,y;\theta ),\Delta x⟩\right]\end{array}$$

其中，$⟨x,y⟩=x\cdot y=x^{T}y$

对应$\theta$的梯度为
$${\nabla }_{\theta }L(x,y;\theta )+⟨{\nabla }_{\theta }\nabla xL(x,y;\theta ),\Delta x⟩$$
带入$\Delta x=ϵ{\nabla }_{x}L(x,y;\theta )$，得到
$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_{\theta }L(x,y;\theta )+ϵ⟨{\nabla }_{\theta }{\nabla }_{x}L(x,y;\theta ),{\nabla }_{x}L(x,y;\theta )⟩\\ =& {\nabla }_{\theta }\left(L(x,y;\theta )+\frac{1}{2}ϵ{\Vert {\nabla }_{x}L(x,y;\theta )\Vert }^2\right)\end{array}$$

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ &\langle \frac…

这个结果表示，对输入样本施加$ϵ{\nabla }_{x}L(x,y;\theta )$的对抗扰动，一定程度上等价于往loss里边加入**“梯度惩罚”**
$$\frac{1}{2}ϵ||{\nabla }_{x}L(x,y;\theta )|{|}^2$$
如果对抗扰动$\Delta x=ϵ\frac{{\nabla }_{x}L(x,y;\theta )}{||{\nabla }_{x}L(x,y;\theta ||}$，那么对应的梯度惩罚项则是$ϵ||{\nabla }_{x}L(x,y;\theta )||$

总结

这篇博客梳理了NLP对抗训练发展的来龙去脉，介绍了对抗训练的数学定义，并对于两种经典的对抗训练方法，提供了插件式的实现，做了简单的实验对照。由于笔者接触对抗训练的时间也并不长，如果文中有理解偏差的地方，希望读者不吝指出。另外还有一些对抗训练算法，读者有兴趣可以查看一文搞懂NLP中的对抗训练以及对抗训练的理解，以及FGM、PGD和FreeLB的详细介绍这两篇文章

References

• Adversarial Attacks on Neural Networks: Exploring the Fast Gradient Sign Method
• 对抗训练浅谈：意义、方法和思考（附Keras实现）
• 功守道：NLP中的对抗训练 + PyTorch实现
• 一文搞懂NLP中的对抗训练
• 关于 Adversarial Training 在 NLP 领域的一些思考