第1关：双关系递推数列

任务描述

本关任务：运用枚举和递推的基本思想，通过编程计算出双关系递推数列。设集合 M 定义如下：

1.初始 1∈M；

2.若x∈M，则有2x+1∈M，5x−1∈M；

3.再无其它的数属于M。

试求集合M中的元素从小到大排列后所得序列的第n项，其中n<10001。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：1.枚举算法的两种框架，2.递推算法的实施步骤，3.问题求解思路。

枚举算法的两种框架

枚举的本质就是从所有的备选答案中去查询正确的解。一般的，使用枚举算法需要满足两个基本条件：

备选答案的数量是确定的或是有限个数的；
备选答案的范围在求解之前也应该是确定的。

枚举算法有两种常见的框架：区间枚举和递增枚举。它们在不同的任务中都有着各自的优势。

区间枚举的主要思想是对于一个给定的闭区间，从该区间的下限一直逐个枚举到该区间的上限，其伪代码如下所示：

n=0;
for(k=<区间下限>;k<=<区间上限>;k++)
{
<运算操作序列>;
if(<约束条件>)
{
printf(<满足要求的解>);
n++;
}
}
printf(<解的个数>);

递增枚举的主要思想是从给定的枚举起点开始，一直逐个枚举，直到找到满足条件的解，程序结束，其伪代码如下所示：

k=<枚举起点>
while(1)
{
k++;
<运算操作序列>;
if(<约束条件>)
{
printf(<满足要求的解>);
return;
}
}

递推算法的实施步骤

递推的定义：给定一个数的序列H0，H1，...，Hn，...，若存在整数n0，使当n>n0时，可以用等号（或大于号、或小于号）将Hn与其前面的某些项Hi,i∈[0,n0]联系起来，这样的式子就叫做Hn的递推式。递推算法的具体实施步骤如下：

确定递推变量：递推变量可以是简单变量，也可以是一维或多维数组；
建立递推关系：递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键；
确定初始值和边界条件：根据问题最简单情形的数据，确定递推变量的初始值和边界条件，这是递推的基础；
对递推过程进行控制：和枚举算法互相配合，完成递推问题的求解。

问题求解思路

该问题已经给出了递推变量x和递推关系2x+1,5x−1，以及初始值为x=1，但是不知道边界条件，也就是说要递推出足够多的项，然后才能找到排序后的第n项。

借助从小到大排序这一限制条件，我们可以设置两个变量，分别控制递推关系2x+1和5x−1的递推进程，使得依次递推出的序列是有序的，那么边界条件即为第n项递推的结束。

例如n=10时，通过递推可以得到第10项为31，具体步骤如下：

1.第1步：给定数组m，从下标1开始存储有序递推数列，初始值m[1]=1，设定p2=p5=1，分别表示递推关系F2(x)=2x+1和F5(x)=5x−1的上一项递推变量x在数组m中的索引。

2.第2步：分别计算两个递推式的值，若F2(m[p2])<F5(m[p5])，则数组m的第i=2项为m[2]=F2(m[p2])，并更新p2=p2+1；若F2(m[p2])>F5(m[p5])，则数组m的第i=2项为m[2]=F5(m[p5])，并更新p5=p5+1；若F2(m[p2])=F5(m[p5])，则数组m的第i=2项为m[2]=F2(m[p2])，并更新p2=p2+1,p5=p5+1。

3.第3步至第n步：按照第2中的递推过程，依次递推出第3项，第4项，直到第n项的值。

编程要求

本关的编程任务是补全右侧代码片段main中Begin至End中间的代码，具体要求如下：

在main中，根据枚举和递推的基本思想，计算出双关系递推数列的前n项，并从小到大存储到数组m中，下标从1开始，即第一项为m[1]=1。

测试说明

平台将自动编译补全后的代码，并生成若干组测试数据，接着根据程序的输出判断程序是否正确。

以下是平台的测试样例：

测试输入：10 预期输出：31

//
//  main.cpp
//  step2
//
//  Created by ljpc on 2018/12/8.
//  Copyright © 2018年 ljpc. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <cstdio>

int main(int argc, const char * argv[]) {
 
    long long m[10001];     // 数组：从小到大保存的集合M的元素
    int n;                  // 查询第n项
    int p2;                 // F2(x)=2x+1的索引指针
    int p5;                  // F5(x)=5x-1的索引指针
    
    scanf("%d",&n);
    
    m[1]=1;
    p2=1;
    p5=1;
    
    // 请在这里补充代码，完成本关任务
    /********* Begin *********/
    int sum = m[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int tmp2 = 2*m[p2]+1;	
		int tmp5 = 5*m[p5]-1;
		if(tmp2>tmp5){
			m[i] = tmp5;
			p5++;
		}
		else if(tmp2<tmp5){
			m[i] = tmp2;
			p2++;
		}
		else{
			m[i] = tmp2;
			p2++;
			p5++;
		}
		sum+=m[i];
	} 
    /********* End *********/

    
    printf("%lld\n",m[n]);
 
    return 0;
}