布朗运动模拟

文章目录

• 布朗运动模拟
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  • • 1 布朗运动定义
    • 2 布朗运动模拟
    • 3 布朗桥
    • 4 带漂移布朗运动
    • 5 几何布朗运动

1 布朗运动定义

给定随机过程 { W ( t ) , t ≥ 0 } \{W(t),t \ge 0 \} {W(t),t≥0}，满足以下条件，则称$W(t)$为标准布朗运动，简称布朗运动(Brownian motion)。

• $W(t)$连续，$W(0)=0$
• $W(t)\sim \mathcal{N}(0,t)$
• $W(s+t)-W(s)\sim \mathcal{N}(0,t)$;
• $W(t)$是独立增量过程。

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2 布朗运动模拟

考虑时间段$[0,t]$,将时间段划分为等距$n$个子段，同时产生$n$个变量$W(t_i),i=1,2\dots n$,且$W(0)=0$。由于
$$W(t_i)=W(t_{i-1})+X_i$$
其中$X_i\sim \mathcal{N}(0,t/n)$.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.style.use('bmh')
# 1布朗运动
n = 1000
t = 100
P = list(np.random.normal(0, t / n, n))
W = [0]
num = 1
while num <= n:
    W.append(W[num - 1] + P[num - 1])
    plt.plot(W, c="red", linewidth=1)
    plt.pause(0.01)
    num += 1

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3 布朗桥

$W(t)$是布朗运动，
$$X(t)=W(t)-\frac{t}{T}W(T),t\in [0,T]$$
称$X(t)$为布朗桥。其中$X(0)=X(T)=0$。这里初始点与终点均为0，也记作$X^{0\to 0}(t)$

# 2布朗桥0-0
n = 1000
t = 10
step = t / n
W = np.random.normal(0, t / n, n)
W = list(np.cumsum(W))
W.insert(0, 0)
time = [value for value in np.arange(0, t + step, step)]
X = []
for i in range(0, n + 1):
    X.append(W[i] - W[-1] * step * i / t)
plt.subplots()
plt.plot(time, X, c="red", linewidth=1)
plt.plot([0, t], [0, 0], c="blue", linewidth=2)

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此外，布朗桥也可以定义为$X(0)=a$和$X(T)=b$,定义$a\to b$上的布朗桥为
$$X^{a\to b}(t)=a+(b-a)\frac{t}{T}+X(t)$$

Xab = []
a, b = 2, 5
for i in range(0, n + 1):
    Xab.append(a + (b - a) * step * i / t + X[i])
plt.subplots()
plt.plot(time, Xab, c="red", linewidth=1)
plt.plot([0, t], [a, b], c="blue", linewidth=1, linestyle=':')

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4 带漂移布朗运动

假设$W(t)$为布朗运动，则下列随机过程为布朗运动
$$X(t)=\mu t+\sigma W(t)$$
其中$\mu$是漂移系数，$\sigma$表示波动率。

mu, sigma = 0.2, 1
X_shift = []
for i in range(0, n + 1):
    X_shift.append(mu * step * i + sigma * W[i])
plt.subplots()
plt.plot(time, X_shift, c="red", linewidth=1)
plt.plot([0, t], [0, mu * t], c="blue", linewidth=1, linestyle=':')

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5 几何布朗运动

假设$X(t)$为带漂移的布朗运动，漂移系数为$\mu$,波动率为$\sigma$,即$X(t)=\mu t+\sigma W(t)$，定义
$$G(t)=G(0)exp[X(t)],G(0)>0$$

G0 = 2
G = []
for i in range(0, n + 1):
    G.append(G0 * np.exp(X_shift[i]))
plt.subplots()
plt.plot(time, G, c="red", linewidth=1)

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-END-