前缀和

前缀和可以理解为数列的前 n 项的和。它通过预处理的方式，能够快速查询序列中从第L个数到到第R个数的和。

算法思想

其基本思想是在原序列的基础上预处理一个前缀和数组$s[]$，其中$s[i]$表示序列前$i$个数的和。通过前缀和就可以求出序列中任意区间中所有元素的和。

例如，对于序列$A=(2,3,5,7,1,3,4,8,5,2)$：

• $s[2]$表示序列前2个数的和，为$2+3=5$；
• $s[6]$表示序列前6个数的和，为$2+3+5+7+1+3=21$；

构造前缀和数组

前缀和可以通过递推的方式从原数列中求出：$s[i]=s[i-1]+A[i]$。其中$s[i-1]$表示序列中前$i-1$个数的和。序列$A$的前缀和数组如下图所示：

求区间和

预处理得到前缀和后，可以快速计算序列中一段连续区间$[L,R]$所有元素的和：$s[R]-s[L-1]$。例如序列$A$中区间$[3,6]$所有数的和为$s[6]-s[2]=16$

时间复杂度

前缀和算法的时间复杂度分为两部分：

• 构造前缀和数组：$O(n)$
• 求区间和：$O(1)$

代码模板

//构造前缀和
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
	s[i] = s[i - 1] + a[i];
}
//计算区间[L,R]所有数的和
cout << s[R] - s[L - 1];

真题演练

题目链接：NOI Online #3 提高组

有 $n$ 个容量无穷大的水壶，它们从 $1\sim n$ 编号，初始时 $i$ 号水壶中装有 $A_i$ 单位的水。

你可以进行不超过 $k$ 次操作，每次操作需要选择一个满足 $1\le x\le n-1$ 的编号 $x$，然后把 $x$ 号水壶中的水全部倒入 $x+1$ 号水壶中。

最后你可以任意选择恰好一个水壶，并喝掉水壶中所有的水。现在请你求出，你最多能喝到多少单位的水。

输入格式

第一行一个正整数 $n$，表示水壶的个数。

第二行一个非负整数 $k$，表示操作次数上限。

第三行 $n$ 个非负整数，相邻两个数用空格隔开，表示水壶的初始装水量 $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$。

输出格式

一行，仅一个非负整数，表示答案。

样例输入

10
5
890 965 256 419 296 987 45 676 976 742

样例输出

3813

数据规模与约定

• 对于 $10\%$ 的数据，保证 $n\le 10$。
• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $n\le 100$。
• 对于 $50\%$ 的数据，保证 $n\le 10^3$。
• 对于 $70\%$ 的数据，保证 $n\le 10^5$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 10^6$，$0\le k\le n-1$，$0\le A_i\le 10^3$。

解题思路

根据题目描述每次操作把 $x$ 号水壶中的水全部倒入 $x+1$ 号水壶，并且最后只能选择一个水壶，求最多能喝到多少单位的水。那么可以的下面的性质：

• 选择一段编号连续的水壶倒水才能避免浪费。可以进行$k$次操作，那么这段连续区间的长度为$k+1$。
• 最多能喝到多少单位的水，其实就是求连续区间$[i,i+k]$和的最大值，可以使用前缀和求解。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int s[N];
int main()
{
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%d", s + i);
        s[i] = s[i - 1] + s[i];
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i + k <= n; i ++) {
        ans = max(ans, s[i + k] - s[i - 1]);
    }
    cout << ans << endl;
}

总结

• 通过对序列构造前缀和可以快速插叙序列中一段连续区间的和。
• 前缀和$s[i]$表示序列前$i$个数的和，$s[i]=s[i-1]+A[i]$。
• 序列A中从第L个数到到第R个数的和=$s[R]-s[L-1]$