Linux内核中的链表（list_head）使用分析

news2024/12/23 13:34:40

【摘要】本文分析了linux内核中的list_head数据结构的底层实现及其相关的各种调用源码，有助于理解内核中链表对象的使用。

二、内核中的队列/链表对象

  • 在内核中存在4种不同类型的列表数据结构：

    • singly-linked lists
    • singly-linked tail queues
    • doubly-linked lists
    • doubly-linked tail queues

  • linux内核中的链表有如下特点：

    1. 尽可能的代码重用，化大堆的链表设计为单个链表

    2. 内核中大部分都是"双向循环链表"，因为"双向循环链表"的效率是最高的，找头节点，尾节点，直接前驱，直接后继时间复杂度都是O(1) ，而使用单链表，单向循环链表或其他形式的链表是不能完成的。

    3. 如果需要构造某类对象的特定列表，则在其结构中定义一个类型为"list_head"的成员，通过这个成员将这类对象连接起来，形成所需列表，并通过通用链表函数对其进行操作(list_head内嵌在原始结构中就像一个钩子，将原始对象串起来)。在这种架构设计下，内核开发人员只需编写通用链表函数，即可构造和操作不同对象的列表，而无需为每类对象的每种列表编写专用函数，实现了代码的重用。

      /*
 * linux-2.6.32.63\include\linux\list.h
 */

struct list_head 
{
 struct list_head *next, *prev;
};

    4. 如果想对某种类型创建链表，就把一个list_head类型的变量嵌入到该类型中，用list_head中的成员和相对应的处理函数来对链表进行遍历

    image-20230505142201872

  • 内核是怎么初始化并使用这些数据结构的呢？linux内核为这些链表数据结构配套了相应的"操作宏"、以及内嵌函数。

2.1 链表基本操作

位linux-2.6.32.63\include\linux\list.h中定义：

2.1.1 链表初始化

  1. LIST_HEAD_INIT

    #define LIST_HEAD_INIT(name) { &(name), &(name) }

    LIST_HEAD_INIT这个宏的作用是初始化当前链表节点，即将头指针和尾指针都指向自己。

  2. LIST_HEAD(name)——静态初始化

    #define LIST_HEAD(name) struct list_head name = LIST_HEAD_INIT(name)

    从代码可以看出，LIST_HEAD这个宏的作用是定义了一个双向链表的头，并调用LIST_HEAD_INIT进行"链表头初始化"，将头指针和尾指针都指向自己，因此可以得知在Linux中用头指针的next是否指向自己来判断链表是否为空。

  3. INIT_LIST_HEAD(struct list_head *list)——动态初始化
    除了LIST_HEAD宏在编译时静态初始化，还可以使用内嵌函数INIT_LIST_HEAD(struct list_head *list)在运行时进行初始化：

    static inline void INIT_LIST_HEAD(struct list_head *list)
{
    list->next = list;
    list->prev = list;
}

    无论是采用哪种方式，新生成的链表头的指针next,prev都初始化为指向自己

2.1.2 链表判空

  1. list_empty(const struct list_head *head)

    static inline int list_empty(const struct list_head *head)
{
    return head->next == head;
}

  2. list_empty_careful(const struct list_head *head)

    static inline int list_empty_careful(const struct list_head *head)
{
    struct list_head *next = head->next;
    return (next == head) && (next == head->prev);
}
    • 和list_empty()的差别在于:
      函数使用的检测方法是判断表头的前一个结点和后一个结点是否为其本身，如果同时满足则返回0，否则返回值为1。这主要是为了应付另一个cpu正在处理同一个链表而造成next、prev不一致的情况。但代码注释也承认，这一安全保障能力有限：除非其他cpu的链表操作只有list_del_init()，否则仍然不能保证安全，也就是说，还是需要加锁保护

2.1.3 链表插入

  1. list_add(struct list_head *new, struct list_head *head)

    • 在head和head->next之间加入一个新的节点。即头插法(即先插入的后输出，可以用来实现一个栈)

      static inline void list_add(struct list_head *new, struct list_head *head)
{
    __list_add(new, head, head->next);
}

  2. list_add_tail(struct list_head *new, struct list_head *head)

    • 在head->prev(双向循环链表的最后一个结点)和head之间添加一个新的结点。即尾插法(先插入的先输出，可以用来实现一个队列)
    static inline void list_add_tail(struct list_head *new, struct list_head *head)
{
    __list_add(new, head->prev, head);
}

#ifndef CONFIG_DEBUG_LIST
static inline void __list_add(struct list_head *new, struct list_head *prev, struct list_head *next)
{
    next->prev = new;
    new->next = next;
    new->prev = prev;
    prev->next = new;
}
#else
extern void __list_add(struct list_head *new, struct list_head *prev, struct list_head *next);
#endif

2.1.4 链表删除

  1. list_del(struct list_head *entry)

    • list_del()函数将删除后的prev、next指针分别被设为LIST_POSITION2和LIST_POSITION1两个特殊值，这样设置是为了保证不在链表中的节点项不可访问。对LIST_POSITION1和LIST_POSITION2的访问都将引起"页故障"。
    /*
 __list_del(entry->prev, entry->next)表示将entry的前一个和后一个之间建立关联(即架空中间的元素)
*/
#ifndef CONFIG_DEBUG_LIST
static inline void __list_del(struct list_head *entry->prev, struct list_head *entry->next)
{
    entry->prev->next = entry->next;
    entry->next->prev = entry->prev;
}
#else
extern void __list_del(struct list_head *entry->prev, struct list_head *entry->next);
#endif

#ifndef CONFIG_DEBUG_LIST
static inline void list_del(struct list_head *entry)
{
    __list_del(entry->prev, entry->next);
    entry->next = LIST_POISON1;
    entry->prev = LIST_POISON2;
}
#else
extern void list_del(struct list_head *entry);
#endif

  2. list_del_init(struct list_head *entry)

    • list_del_init这个函数首先将entry从双向链表中删除之后，并且将entry初始化为一个空链表。
      要注意区分和理解的是：list_del(entry)和list_del_init(entry)唯一不同的是对entry的处理，前者是将entry设置为不可用，后者是将其设置为一个空的链表的开始。
    static inline void list_del_init(struct list_head *entry)
{
    __list_del(entry->prev, entry->next);
    INIT_LIST_HEAD(entry);
}

2.1.5 链表节点的替换

  1. list_replace(struct list_head *old, struct list_head *new)

    • list_repleace()函数只是改变new和old的指针关系，然而old指针并没有释放

      static inline void list_replace(struct list_head *old, struct list_head *new)
 {
     new->next = old->next;
     new->next->prev = new;
     new->prev = old->prev;
     new->prev->next = new;
 }

  2. list_replace_init(struct list_head *old, struct list_head *new)

    • list_repleace_init()函数不仅改变new和old的指针关系，还将old节点置空。
     static inline void list_replace_init(struct list_head *old, struct list_head *new)
 {
     list_replace(old, new);
     INIT_LIST_HEAD(old);
 }

2.1.6 分割链表

  1. list_cut_position(struct list_head *list, struct list_head *head, struct list_head *entry)

    • 函数将head(不包括head结点)到entry结点之间的所有结点截取下来添加到list链表中。该函数完成后就产生了两个链表head和list。

      static inline void list_cut_position(struct list_head *list, \
                                     struct list_head *head, \
                                     struct list_head *entry)
    {
        if (list_empty(head))
            return;
        if (list_is_singular(head) &&
            (head->next != entry && head != entry))
            return;
        if (entry == head)
            INIT_LIST_HEAD(list);
        else
            __list_cut_position(list, head, entry);
    }


static inline void __list_cut_position(struct list_head *list, \
                                       struct list_head *head, \
                                       struct list_head *entry)
    {
        struct list_head *new_first = entry->next;
        list->next = head->next;
        list->next->prev = list;
        list->prev = entry;
        entry->next = list;
        head->next = new_first;
        new_first->prev = head;
    }

2.1.7 链表的遍历

  1. list_entry(ptr, type, member)

    • Linux链表中仅保存了数据项结构中list_head成员变量的地址，可以通过list_entry宏通过list_head成员访问到作为它的所有者的的起始基地址。（思考结构体的成员偏移量的概念，只有知道了结构体基地址才能通过offset得到成员地址，之后才能继续遍历）

    • 这里的ptr是一个链表的头结点，这个宏就是取的这个链表"头结点”（注意不是第一个元素，是头结点，要得到第一个元素还得继续往下走一个）所指结构体的首地址。

      #define list_entry(ptr, type, member) container_of(ptr, type, member)

  2. list_first_entry(ptr, type, member)

    • 这里的ptr是一个链表的头结点，这个宏就是取的这个链表"第一元素"所指结构体的首地址。

      #define list_first_entry(ptr, type, member) list_entry((ptr)->next, type, member)

  3. list_for_each(pos, head)

    • 得到了链表的第一个元素的基地址之后，才可以开始元素的遍历。

      #define list_for_each(pos, head) \
	for (pos = (head)->next; prefetch(pos->next), pos != (head); pos = pos->next)

  4. __list_for_each(pos, head)

    • __list_for_each没有采用pretetch来进行预取

      #define __list_for_each(pos, head) \
	for (pos = (head)->next; pos != (head); pos = pos->next)

  5. list_for_each_prev(pos, head)

    • 实现方法与list_for_each相同，不同的是用head的前趋结点进行遍历。实现链表的逆向遍历。

      #define list_for_each_prev(pos, head) \
    for (pos = (head)->prev; prefetch(pos->prev), pos != (head); pos = pos->prev)

  6. list_for_each_entry(pos, head, member)

    • 用链表外的结构体地址来进行遍历，而不用链表的地址进行遍历

      #define list_for_each_entry(pos, head, member)                \
    for (pos = list_entry((head)->next, typeof(*pos), member);    \
         prefetch(pos->member.next), &pos->member != (head);     \
         pos = list_entry(pos->member.next, typeof(*pos), member))

2.2 linux内核用到的队列和链表结构

2.2.1 内核LKM模块的链表

我们知道，在命令行输入: lsmod可以得到当前系统加载的LKM内核模块，我们来分析一下这个功能通过内核代码要怎么实现。

/*
 * mod_ls.c
 */

#include <linux/module.h>
#include <linux/kernel.h>
#include <linux/init.h>
#include <linux/version.h>
#include <linux/list.h>
 
MODULE_LICENSE("Dual BSD/GPL");
 
struct module *m = &__this_module;
 
static void list_module_test(void)
{
        struct module *mod;
        list_for_each_entry(mod, m->list.prev, list)
                printk ("%s\n", mod->name);
 
}
static int list_module_init (void)
{
        list_module_test();
        return 0;
}
 
static void list_module_exit (void)
{
        printk ("unload listmodule.ko\n");
}
 
module_init(list_module_init);
module_exit(list_module_exit);

Makefile文件：

#
# Variables needed to build the kernel module
#
name      = mod_ls

obj-m += $(name).o

all: build

.PHONY: build install clean

build:
    make -C /lib/modules/$(shell uname -r)/build M=$(PWD) modules CONFIG_DEBUG_SECTION_MISMATCH=y

install: build
    -mkdir -p /lib/modules/`uname -r`/kernel/arch/x86/kernel/
    cp $(name).ko /lib/modules/`uname -r`/kernel/arch/x86/kernel/
    depmod /lib/modules/`uname -r`/kernel/arch/x86/kernel/$(name).ko

clean:
    [ -d /lib/modules/$(shell uname -r)/build ] && \
    make -C /lib/modules/$(shell uname -r)/build M=$(PWD) clean
  • 编译并加载运行，使用dmesg tail命令可以看到我们的内核代码使用list_for_each_entry将当前系统内核中的"LKM内核模块双链表"给遍历出来了。

2.2.2 进程链表

  • trave_process.c
#include <linux/module.h> 
#include <linux/init.h> 
#include <linux/list.h> 
#include <linux/sched.h> 
#include <linux/time.h> 
#include <linux/fs.h> 
#include <asm/uaccess.h> 
#include <linux/mm.h> 


MODULE_AUTHOR( "Along" ) ; 
MODULE_LICENSE( "GPL" ) ; 

struct task_struct * task = NULL , * p = NULL ; 
struct list_head * pos = NULL ; 
struct timeval start, end; 
int count = 0; 

/*function_use表示使用哪一种方法测试，
 * 0：三个方法同时使用,
 * 1:list_for_each,
 * 2:list_for_each_entry,
 * 3:for_each_process
 */ 
int function_use = 0; 
char * method; 
char * filename= "testlog" ; 

void print_message( void ) ; 
void writefile( char * filename, char * data ) ; 
void traversal_list_for_each( void ) ; 
void traversal_list_for_each_entry( void ) ; 
void traversal_for_each_process( void ) ; 


static int init_module_list( void ) 
{ 
    switch ( function_use) { 
        case 1: 
            traversal_list_for_each( ) ; 
            break ; 
        case 2: 
            traversal_list_for_each_entry( ) ; 
            break ; 
        case 3: 
            traversal_for_each_process( ) ; 
            break ; 
        default : 
            traversal_list_for_each( ) ; 
            traversal_list_for_each_entry( ) ; 
            traversal_for_each_process( ) ; 
            break ; 
    } 
    return 0; 
} 

static void exit_module_list( void ) 
{ 
    printk( KERN_ALERT "GOOD BYE!!/n" ) ; 
} 

module_init( init_module_list ) ; 
module_exit( exit_module_list ) ; 
module_param( function_use, int , S_IRUGO) ; 

void print_message( void ) 
{ 
    char * str1 = "the method is: " ; 
    char * str2 = "系统当前共 " ; 
    char * str3 = " 个进程/n" ; 
    char * str4 = "开始时间: " ; 
    char * str5 = "/n结束时间: " ; 
    char * str6 = "/n时间间隔: " ; 
    char * str7 = "." ; 
    char * str8 = "ms" ; 
    char data[ 1024] ; 
    char tmp[ 50] ; 
    int cost; 

    printk( "系统当前共 %d 个进程!!/n" , count ) ; 
    printk( "the method is : %s/n" , method) ; 
    printk( "开始时间:%10i.%06i/n" , (int)start.tv_sec, (int)start.tv_usec); 
    printk( "结束时间:%10i.%06i/n" , (int)end.tv_sec, (int)end.tv_usec);
    printk( "时间间隔:%10i/n" , (int)end.tv_usec - (int)start.tv_usec); 

    memset (data, 0, sizeof(data)); 
    memset (tmp, 0, sizeof(tmp));

    strcat (data, str1); 
    strcat (data, method); 
    strcat (data, str2);
    snprintf(tmp, sizeof(count), "%d", count); 
    strcat (data, tmp);
    strcat (data, str3);
    strcat (data, str4); 

    memset (tmp, 0, sizeof(tmp)) ; 
    /*
     * 下面这种转换秒的方法是错误的，因为sizeof最终得到的长度实际是Int类型的
     * 长度，而实际的秒数有10位数字，所以最终存到tmp中的字符串也就只有三位数字
     * snprintf(tmp, sizeof((int)start.tv_sec),"%d",(int)start.tv_usec );
    */ 
    
    /*取得开始时间的秒数和毫秒数*/ 

    snprintf( tmp, 10, "%d" , (int)start.tv_sec); 
    strcat ( data, tmp);
    snprintf( tmp, sizeof(str7), "%s" ,str7); 
    strcat ( data, tmp);
    snprintf( tmp, 6, "%d", (int)start.tv_usec);
    strcat ( data, tmp);
    strcat ( data, str5);
    
    /*取得结束时间的秒数和毫秒数*/ 

    snprintf( tmp, 10, "%d", (int)end.tv_sec );
    strcat ( data, tmp);
    snprintf( tmp, sizeof(str7), "%s", str7);
    strcat ( data, tmp);
    snprintf( tmp, 6, "%d" , (int)end.tv_usec);
    strcat ( data, tmp);

    /*计算时间差，因为可以知道我们这个程序花费的时间是在
     *毫秒级别的，所以计算时间差时我们就没有考虑秒，只是
     *计算毫秒的差值
     */ 
    strcat( data, str6);
    cost = (int)end.tv_usec - (int)start.tv_usec; 
    snprintf( tmp, sizeof(cost), "%d", cost);

    strcat(data, tmp);
    strcat(data, str8);
    strcat(data, "/n/n");

    writefile( filename, data);
    printk( "%d/n" , sizeof(data));
} 

void writefile( char * filename, char * data ) 
{ 
    struct file * filp; 
    mm_segment_t fs; 

    filp = filp_open( filename, O_RDWR| O_APPEND| O_CREAT, 0644);
    if ( IS_ERR( filp) ) { 
        printk( "open file error.../n" ) ; 
        return ; 
    } 
    fs = get_fs() ; 
    set_fs(KERNEL_DS) ; 
    filp->f_op->write(filp, data, strlen(data) , &filp->f_pos); 
    set_fs(fs) ; 
    filp_close( filp, NULL ) ; 
} 

void traversal_list_for_each( void ) 
{ 

    task = &init_task; 
    count = 0; 
    method= "list_for_each/n" ; 

    do_gettimeofday( &start) ; 
    list_for_each( pos, &task->tasks ) { 
        p = list_entry( pos, struct task_struct, tasks ) ; 
        count++ ; 
        printk( KERN_ALERT "%d/t%s/n" , p->pid, p->comm ) ; 
    } 
    do_gettimeofday( &end) ; 
    
    print_message() ;     
} 

void traversal_list_for_each_entry( void ) 
{ 

    task = & init_task; 
    count = 0; 
    method= "list_for_each_entry/n" ; 

    do_gettimeofday( & start) ; 
    list_for_each_entry( p, &(task->tasks), tasks ) { 
        count++ ; 
        printk( KERN_ALERT "%d/t%s/n" , p->pid, p->comm ) ; 
    } 
    do_gettimeofday( & end) ; 

    print_message( ) ; 
} 

void traversal_for_each_process( void ) 
{ 
    count = 0; 
    method= "for_each_process/n" ; 

    do_gettimeofday( & start) ; 
    for_each_process( task) { 
        count++; 
        printk( KERN_ALERT "%d/t%s/n" , task->pid, task->comm ) ; 
    } 
    do_gettimeofday( & end) ; 
            
    print_message( ) ; 
}

  • Makefile文件

    #
## Variables needed to build the kernel module
#
#
name      = trave_process

obj-m += $(name).o

all: build

.PHONY: build install clean

build:
    make -C /lib/modules/$(shell uname -r)/build M=$(PWD) modules CONFIG_DEBUG_SECTION_MISMATCH=y

install: build
    -mkdir -p /lib/modules/`uname -r`/kernel/arch/x86/kernel/
    cp $(name).ko /lib/modules/`uname -r`/kernel/arch/x86/kernel/
    depmod /lib/modules/`uname -r`/kernel/arch/x86/kernel/$(name).ko

clean:
    [ -d /lib/modules/$(shell uname -r)/build ] && \
    make -C /lib/modules/$(shell uname -r)/build M=$(PWD) clean

  • 编译、加载并运行后，可以根据进程链表(task_struct链表)遍历出当前系统内核中存在的进程。

  • 拓展链接：

    • http://blog.csdn.net/tigerjibo/article/details/8299599
    • http://www.cnblogs.com/chengxuyuancc/p/3376627.html
    • http://blog.csdn.net/tody_guo/article/details/5447402

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1.题目要求&#xff1a; 给你一个正整数 arrivalTime 表示列车正点到站的时间&#xff08;单位&#xff1a;小时&#xff09;&#xff0c;另给你一个正整数 delayedTime 表示列车延误的小时数。 返回列车实际到站的时间。 注意&#xff0c;该问题中的时间采用 24 小时制。 示…
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让ChatGPT猜你喜欢——ChatGPT后面的推荐系统

让ChatGPT猜你喜欢——ChatGPT后面的推荐系统

Chat GPT的大热&#xff0c;让人们的视线又一次聚焦于“人工智能”领域。通过与用户持续对话的形式&#xff0c;更加丰富的数据会不断滚动“雪球”&#xff0c;让Chat GPT的回答变得越来越智能&#xff0c;越来越接近用户最想要的答案。ChatGPT能否颠覆当下的推荐系统范式&…
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第三章 灰度变换与空间滤波

第三章 灰度变换与空间滤波

第三章 灰度变换与空间滤波 3.1背景知识 ​ 空间域指图像平面本身。变换域的图像处理首先把一幅图像变换到变换域&#xff0c;在变换域中进行处理&#xff0c;然后通过反变换把处理结果返回到空间域。空间域处理主要分为灰度变换与空间滤波。 3.1.1 灰度变换和空间滤波基础 …
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cmcc_simplerop

cmcc_simplerop

1,三连 2&#xff0c;IDA分析 溢出点&#xff1a; 偏移&#xff1a;0x144(错误) 这里动态重新测试了一下偏移&#xff1a; 正确偏移&#xff1a;0x20 3&#xff0c;找ROP 思路&#xff1a; 1、找系统调用号 2、ROPgadget找寄存器 3、写入/bin/sh ROPgadget --binary simpler…
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7-2使用Redis构建任务队列

7-2使用Redis构建任务队列

目录 7-2使用Redis构建任务队列 第1关&#xff1a;先进先出任务队列 1、rpush/lpush命令&#xff1a;rpush(name,values[values…]) 2、blpop&#xff1a;blpop(keys, timeout)和 lpop/rpop&#xff1a;lpop(name) 删并返回删除值 3、lpushx/rpushx&#xff1a;lpushx(name…
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使用CKKS全同态求近似倒数（近似乘法逆元）

使用CKKS全同态求近似倒数（近似乘法逆元）

求倒数的算法 两个数互为倒数&#xff0c;是说这两个数乘起来等1.比如a和b互为倒数&#xff0c;那么ab1. 5的倒数是0.2&#xff0c;我们可以很简单的求出来&#xff0c;但是如何在密文域中求一个数的倒数呢&#xff1f; 文章《An investigation of complex operations with …
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C#自适应布局

C#自适应布局

注意事项&#xff1a;不要在Form1中添加任何布局&#xff0c;页面背景不设置图片 步骤&#xff1a; 1、在项目中添加AutoWindowsSize.cs类&#xff0c;内容如下&#xff1a; using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Da…
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2.2 掌握 NumPy 矩阵与通用函数

2.2 掌握 NumPy 矩阵与通用函数

2.2 掌握 NumPy 矩阵与通用函数 2.2.1 创建NumPy矩阵创建NumPy矩阵矩阵的运算矩阵的属性 2.2.2 掌握ufunc函数1、常用的ufunc函数运算2、ufunc函数的广播机制 2.2.1 创建NumPy矩阵 创建NumPy矩阵 1、使用mat函数创建矩阵&#xff1a; matr1 np.mat(“1 2 3;4 5 6;7 8 9”) 2…
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casbin轻量级的基于配置的授权框架

casbin轻量级的基于配置的授权框架

简介 Casbin是一个强大的、高效的开源访问控制框架&#xff0c;其权限管理机制支持多种访问控制模型。 Casbin提供了一个执行者 根据提供给执行者的策略和模型文件验证传入的请求。再根据对应的配置授权策略&#xff0c;验证请求判断释放那些行动。 在 Casbin 中, 访问控制模…
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由于找不到vcomp140.dll无法继续执行代码，解决方法全攻略

由于找不到vcomp140.dll无法继续执行代码，解决方法全攻略

如何解决找不到vcomp140.dll错误&#xff1f;在使用某些软件或者游戏的时候&#xff0c;你可能会遇到下面的错误提示&#xff1a;“由于找不到vcomp140.dll&#xff0c;无法继续执行代码”。这个错误提示通常表示你的电脑缺少一个或多个DLL文件&#xff0c;而这些文件是软件和游…
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「字节跳动测试开发面经」一二三面+hr面+超级全资料+复习资料

「字节跳动测试开发面经」一二三面+hr面+超级全资料+复习资料

​ 说在前面&#xff0c;面试时最好不要虚报工资。本来字节跳动是很想去的&#xff0c;几轮面试也通过了&#xff0c;最后没offer&#xff0c;自己只想到几个原因&#xff1a; 1、虚报工资&#xff0c;比实际高30%&#xff1b; 2、有更好的人选&#xff0c;这个可能性不大&am…
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【Linux】软件包管理器 yum和编辑器-vim的基本使用

【Linux】软件包管理器 yum和编辑器-vim的基本使用

文章目录 一、yum背景知识1.商业生态2.开源生态3.Linux软件生态本土化 二、yum的基本使用1.什么是软件包2.查看软件包3.安装软件4.卸载软件5.rzsz 三、vim的基本使用1.vim的基本概念2.vim的基本操作3.vim命令模式命令集4.vim末(底)行模式命令集5.操作总结 四、简单vim配置1.vim…
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C++学习day--10 条件判断、分支

C++学习day--10 条件判断、分支

1、if语句 if 语句的三种形态 形态1&#xff1a;如果。。。那么。。。 #include <iostream> using namespace std; int main( void ) { int salary; cout << " 你月薪多少 ?" ; cin >> salary; if (salary < 20000) { cout <&…
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浅谈整除分块

浅谈整除分块

例题一 ∑ i 1 n ⌊ n i ⌋ \sum_{i1}^n \lfloor\frac n i\rfloor\\ i1∑n​⌊in​⌋ 首先很容易想到直接求解&#xff0c;对于较大的数据&#xff0c; O ( n ) O(n) O(n)做法无法通过。 注意到函数 y ⌊ n x ⌋ y\lfloor\dfrac n x\rfloor y⌊xn​⌋的图像如下&#xff1a…
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