第三章 灰度变换与空间滤波
3.1背景知识
空间域指图像平面本身。变换域的图像处理首先把一幅图像变换到变换域，在变换域中进行处理，然后通过反变换把处理结果返回到空间域。空间域处理主要分为灰度变换与空间滤波。
3.1.1 灰度变换和空间滤波基础
g(x,y) = T[f(x,y)]
其中f(x,y)是输入图像，g(x,y)是输出图像，T是在点(x,y)的领域上定义的关于f的一种算子。
3.1.2 关于本章的例子
本章中的例子多是图像增强的应用。
3.2 一些基本的灰度变换函数
s=T®
r和s分别代表处理前后的像素值，其中T是把像素r映射到像素值s的一种变换
3.2.1 图像反转
将图片反转变换，可得到灰度级范围[0, L-1]的图像的反转图像，反转图像由下式给出：
s=L-1-r
这种类型的处理特别适用于增强嵌入在一幅图像的暗区域中的白色或灰色细节，特别是黑色面积在尺寸上占主导地位时。
3.2.2 对数变换
对数变换的通用公式是
s = clog(1+r)
其中c是一个常数，并假设r>=0.
通常使用对数变换来扩展图像中的暗像素的值，同时压缩更高灰度级的值。
3.2.3 幂律(伽马)变换
s = c r γ s = c r^γ s=crγ
其中s和γ都是常数。有时还需要考虑偏移量β
s
=
c
(
r
+
β
)
γ
s=c(r+β)^γ
s=c(r+β)γ
幂律变换的作用与对数变换的情况相似，用来扩展图像中的暗像素的值，同时压缩更高灰度级的值。用于校正这些幂律响应现象的处理称为伽马校正。
3.3 直方图处理
直方图是多种空间域处理技术的基础。
若一幅图像的像素倾向于占据整个可能的灰度级并且分布均匀，则该图像会有高对比度的外观并展示灰色调的较大变化。最终效果将是一幅灰度细节丰富且动态范围较大的图像。
3.3.1 直方图均衡
直方图均衡可以让亮的地方更亮，暗的地方更暗。
基本思想：把原始图像的直方图变换成均匀分布的形式，从而增加图像灰度的动态范围，达到增强图像对比度的效果。
经过均衡化处理的图像，其灰度级出现的概率相同，此时图像的熵最大，图像所包含的信息量最大。
1）对灰度级 归一化
2）求各像素的概率
3）累加直方图概率
4）求变换后的灰度级
3.3.2 直方图匹配(规定化)
处理后的图像具有规定的直方图形状，这种用于产生处理后有特殊直方图的方法称为直方图匹配或直方图规定化。
3.3.3 局部直方图处理
以图像中每个像素的邻域中的灰度分布为基础设计变换函数，达到局部增强的目的。
3.3.4 在图像增强中使用直方图统计
直接从直方阁获得的统计参数可用于图像增强。
3.4 空间滤波基础
3.4.1 空间滤波机理
空间域滤波增强采用模板处理方法对图像进行滤波，去除图像噪声或增强图像的细节。
空间滤披器由 (1)一个邻域（典型地是一个较小的矩形） , (2）对该邻域包围的图像像素执行的预定义操作组成
滤波产生一个新像素，新像素的坐标等于邻域中心的坐标，像素的值是滤被操作的结果。 滤波器的中心访问输入图像中的每个像絮，就生成了处理（滤波）后的图像 如果在图像像素上执行的是线性操作，则该滤披器称为线性空间滤波器，否则， 滤波器就称为非线性空间滤泼器 。
3.4.2 空间相关与卷积
相关是滤披器模板移过图像并计算每个位置乘积之和的处理。卷积的机理相似，但滤披器首先要旋转180° 。
卷积的概念是线性系统理论的基石。卷积的基本特性是某个函与某个单位冲激卷积，得到 个在该冲激处的这个函数的拷贝。
3.4.3 线性滤波的向量表示
当我们的兴趣在于相关或卷积的模板的响应特性R时，写成乘积的求和形式是更加方便的。
3.4.4 空间滤波器模板的产生
生成一个大小为m×n 的线性空间滤波器要求指定 mn 个模板系数，这些系数是根据该滤波器支持什么样的操作来选择的，使用线性滤波所能做的所有事情是实现乘积求和操作。
3.5 平滑空间滤波器
为了抑制噪声改善图像质量所进行的处理称图像平滑或去噪。
1）局部平滑法
2）超限像素平滑法
3）空间低通滤波法
局部平滑法：
局部平滑法是一种直接在空间域上进行平滑处理的技术。
相邻像素间存在很高的空间相关性，而噪声则是统计独立的。
因此，可以用领域内各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值，实现图像的平滑。
定理：
设图像中的噪声是随机不相关的加性噪声，窗口内各点噪声是独立同分布的，经过上述平滑后，信号与噪声的方差比可望提高N倍。即平滑后图像灰度的方差变为原来的1/N。
超限像素平滑法
对领域平均法稍加改进，可导出超限像素平滑法。它是将f(x,y)和领域平均g(x,y)的差的绝对值与选定的阈值进行比较，根据比较结果决定点(x,y)的最后灰度g`(x,y)。
g
‘
(
x
,
y
)
=
{
g
(
x
,
y
)
,
当
∣
f
(
x
,
y
)
−
g
(
x
,
y
)
∣
>
T
f
(
x
,
y
)
,
当
∣
f
(
x
,
y
)
−
g
(
x
,
y
)
∣
<
=
T
g`(x,y) = \begin{cases} g(x,y), 当|f(x,y) - g(x,y)| > T\\ f(x,y), 当|f(x,y) - g(x,y)| <= T \end{cases}
g‘(x,y)={g(x,y),当∣f(x,y)−g(x,y)∣>Tf(x,y),当∣f(x,y)−g(x,y)∣<=T
这种算法对 保护仅有微小灰度差的细节及纹理也有效。
可见随着领域的增大，去噪能力增强，但模糊程度也大。
低通滤波法
由于噪声主要集中在高频部分，为去除噪声可以采用低通滤波器来抑制高频成分。
同时由于边缘信息也分布在高频部分，频域滤波法同样会使图像边沿模糊。
主要采用的滤波器有巴特沃斯低通滤波器、指数低通滤波器、梯形低通滤波器。主要区别在于过渡带的陡峭程度。
3.6 锐化空间滤波器
锐化处理的主要目的是突出灰度的过渡部分。
3.6.1 基础
对于一阶微分的任何定义都必须保证以下几点 1）在恒定灰度区域的微分值为零；2）在灰度台阶或斜坡处微分值非零；3）沿着斜坡的微分值非零。
对于任何二阶微分的定义必须保证以下几点 1）在恒定区域微分值为零；2）在灰度台阶或斜坡的起点处微分值非零；3 ）沿着斜坡的微分值非零。因为我们处理的是数字量，其值是有限的，故最大灰度级的变化也是有限的，并且变化发生的最短距离是在两相邻像素之间。
3.6.2 使用二阶微分进行图像锐化——拉普拉斯算子
各向同性滤波器是旋转不变的， 即将原图像旋转后进行滤波处理给出的结果与先对图像滤波然后再旋转的结果相同。
一个二维图像函数f(x,y)的拉普拉斯算子定义为
3.6.3 非锐化掩蔽和高提升滤波
非锐化掩蔽的处理过程由下列步骤组成
1.模糊原图像
2.从原图像中减去模糊图像（产生的差值图像称为模板）
3.将模板加到原图像上
3.6.4 使用一阶微分对(非线性)图像锐化——梯度
图像处理中的 阶微分是用梯度幅值来实现的 对于函数f(x,y), .f 在坐标（x,y）处的梯皮定义为二维列向量。
