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回归分析概述

线性回归

曲线估计

二元logistic回归分析

多元logistic回归分析

回归分析概述

相关分析与回归分析

相关分析只表明变量间相关关系的性质和程度，回归分析是要确定变量间相关的具体数学形式
回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量之间的关系

回归分析的一般步骤

1 确定回归分析中的解释变量和被解释变量
2 确定回归模型
3 建立回归方程
4 对回归方程进行各种检验
5 利用回归方程进行预测

线性回归

线性回归介绍

线性回归（linear regression）是分析变量间数量依存关系的统计分析方法。如果某一个变量随着另一个变量的变化而变化，并且它们的变化关系呈直线趋势，就可以用直线回归方程来定量地描述它们之间的数量依存关系，这就是线性回归分析。

一元线性回归的数学模型为：

上式表明，被解释变量y的变化可由两个部分解释：

第一，由解释变量x的变化引起的y的线性变化部分，即y=β0+β1x；

第二，由其他随机因素引起的y的变化部分，即ε。

【案例】：碘含量与患病率的分析

操作步骤：

①导入数据

②【分析】-->【回归】-->【线性】

③选择自变量和应变量，点击统计

④ 勾选如下图选项，点击继续，点击图

⑤ 勾选直方图和概率图

⑥选项按钮中直接使用默认参数即可。

⑦点击“确定”按钮，查看统计结果：

从描述统计中可以看到患病率和碘含量的平均值、标准偏差和个案数。

从相关性中可以看到，患病率和碘含量相关系数0.971,显著性为0。说明碘含量和患病率显著相关。

由表可见，只有一个自变量，变量选择的方法为强行输入法，也就是将所有的自变量都放入模型中。

上表可看到，是对回归方程拟合情况的描述，可知相关系数的取值（R），相关系数的平方即决定系数，决定系数值为0.943，初步判断模型拟合效果良好。

对回归方程的显著性检验，一元线性回归方程的显著性检验的原假设H0是β1=0，即回归系数与零无显著性差异。F=115.136，P=0.000，概率P值小于α，应该拒绝原假设，认为回归系数与零存在显著差异，被解释变量（患病率）与解释变量（碘含量）的线性关系显著，可以用线性模型描述和反映它们之间的关系。

在一元线性回归分析中，回归方程的显著性检验和回归系数的显著性检验的作用是相同的，同时，回归方程的显著性检验中的F统计量等于回归系数的显著性检验中的t统计量的平方，即F=t2。

上面已经得出回归公式，接下来我们需要检验数据是否可以做回归分析，它对数据的要求是苛刻的，有必要就残差进行分析,下面是残差的正态性图形结果。

从标准化残差直方图来看，左右两侧不完全对称；从标准化残差的P-P图来看，散点并没有全部靠近斜线，并不完美。综合而言，残差正态性结果不是最好的，当然在现实分析当中，理想状态的正态并不多见，接近或近似即可考虑接受。

曲线估计

曲线估计介绍

变量间相关关系的分析中，变量之间的关系并不总表现为线性关系，非线性关系也是极为常见的，可通过绘制散点图的方式粗略考察这种非线性关系。

变量之间的非线性关系可以划分为本质线性关系和本质非线性关系。

本质线性关系：变量关系形式上虽然呈非线性关系（如二次曲线），但可通过变量变换转化为线性关系，最终可进行线性回归分析，建立线性模型
本质非线性关系：变量关系不仅形式上呈非线性关系，而且无法通过变量变换转化为线性关系，最终无法进行线性回归分析和建立线性模型

注意：曲线估计是解决本质线性关系问题的！

【案例】——年人均可支配收入与教育支出的关系分析

操作步骤：

①导入数据

②【分析】-->【回归】-->【曲线估计】

③选择因变量、个案标签等

④点击“确定”按钮，结果如下：

在模型描述中可以看到，因变量：教育支出，自变量为：年人均可支配收入。方程有4个，一个线性方程，一个二次方程，一个三次方程，一个复合方程。包括常量。

从“个案处理摘要”可以看出，排除的个案为12，说明变量中所有的个案带有“缺失值”，个案总数为28个。

从变量处理摘要中可以看到，教育支出16个，有12个缺失值。年人均可支配收入28个，没有缺失值。

一元线性回归方程，拟合优度判定系数为0.901，显著性小于0.05。

二次曲线回归方程，拟合优度判定系数为0.983。回归方程和各回归系数显著性大于0.05，表明模型不显著，二次曲线模型不合理。

三次曲线回归方程，拟合优度判定系数为0.987（高于一元线性回归方程拟合度）。回归方程和各回归系数显著性小于0.05，表明三次曲线模型更为合理。

复合回归方程，拟合优度决定系数0.971（小于三次曲线回归方程），各回归系数显著性小于0.05，表明模型显著。但拟合优度小于三次曲线回归方程。因此三次曲线更好反映随年人均可支配收入增加，教育支出的变量情况。

二元logistic回归分析

在实际资料分析中，有一些因变量是分类变量，那么这样的资料就不能使用前面介绍的线性回归模型进行分析。遇到这种情况，我们一般采取logistic回归模型对数据进行分析。

二元logistic回归是指因变量为二分类变量时的回归分析。如在采用了某种治疗方案后，病人的治疗结局是有效或无效、生存或死亡；人们对自己的生存质量是否满意；想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，为两分类变量。

【案例】：为了评价某新疗法的疗效，某研究者随机抽查了40名某病患者，治疗后一定时间内观察其康复状况。其中变量Y为康复状况（Y=0表示未康复，Y=1表示康复），X1表示病情严重程度（1表示严重，0表示不严重），X2表示疗法（0表示新疗法，1表示传统疗法）。目的研究评价不同疗法对康复状况的作用有无差别？

操作步骤：

①导入数据

②【分析】-->【回归】-->【二元Logistic】

③选择因变量和协变量

④点击“分类”按钮

当选择了分类协变量后，就可以选择参考类别，以及对比方式。

⑤点击“保存”按钮

如果勾选了“概率”和“组成员”后就会将这两个值保存到原始数据中。

⑥点击“选项”按钮

⑦点击“确定”，查看输出结果

从个案处理摘要中可以看到，个案数选定40，总计也是40，未选定个案数0。

从因变量编码中可以看到，0表示未康复，1表示康复。

从分类变量编码中可以看到疗法有两类，新疗法和传统疗法。病情严重程度也是两类不严重和严重。

查看最终迭代分析结果：

从模型系数检验中可以看到，显著性都小于0.05,表示模型总体有意义。

在模型系数检验中得到模型是有意义的，接下来看模型摘要，有两种R方决定因数，分别是0.156和0.210，R方值比较小，总体来说模型拟合优度比较小。

最终预测结果：

对未康复预测正确率达到65.2%，康复预测正确率达到70.6%。总体预测正确率67.5%。

从最终模型中的变量可以看到：从常量显著性0.021小于0.05说明常量对模型是有意义的，从病情严重程度显著性0.209大于 0.05。说明病情严重程度对模型是没有意义的，即病情严重程度对康复和未康复没有影响。

治疗方法显著性0.022小于0.05，说明治疗方法对模型是有意义的。而且是和治疗方法值为1进行比较。治疗方法值为1表示传统疗法。得出结论，相对于传统疗法，新疗法更有易于病人康复，换句话说，就是新疗法比传统疗法的疗效更好。

多元logistic回归分析

前面讲解的二元logistic回归分析仅适合因变量Y只有两种取值（二元logistic）的情况，如：有或无，是或否的情况。当因变量Y具有两种以上的取值时，就要用多元logistic回归分析。

【案例】关于早餐喜好的民意调查，该调查记录了参与者的年龄、性别、婚姻状况以及生活方式是否积极，每个个案代表一个单独的响应者。调查机构想搞清楚是什么影响着受访人每天吃什么早餐。因变量“早餐选择”包括（1=早餐吧、2=燕麦类、3=谷物类），自变量暂定年龄、婚姻状况以及生活方式。

操作步骤：

①导入数据

②【分析】-->【回归】-->【多元Logistic】

③在打开的多元Logistic回归窗口，选择首选的早餐到“因变量” 中。点击“参考类别”，默认勾选的是最后一个类别，指以最后一个类别为参照类别，用其他分类依次与之对比，考察不同水平间的倾向。

④选择年龄、婚姻状况以及生活方式选入“因子”

⑤主面板中，点击【模型】按钮，打开【多元logistic回归：模型】对话框，勾选【主效应】，本例主要考察自变量年龄、生活方式、婚姻状况的主效应，暂不考察它们之间的交互作用，然后点击【继续】。

⑥ 主面板中，点击【统计】按钮，设置模型的统计量。主要【伪R方】【模型拟合信息】【分类表】【拟合优度】这几项必选，其他可以默认不勾选。这些参数主要用于说明建模的质量。

⑦主面板中，点击【统计】按钮

⑧ 点击“确定”查看输出结果：

个案处理摘要表，列出因变量和自变量的分类水平及对应的个案百分比。建议在此表主要读取变量分类水平的顺序，比如自变量“年龄段”，第一个分类是“低于31岁”，第二个分类是“31- 45”，第三个分类是“45-60”，第四个分类是“60岁以上”，尤其是看清楚最后一个分类，因为我们前面参数设置时要求是以最后一个分类为对比参照组的。

模型拟合信息表，读取最后一列，显著性值小于0.05，说明模型有统计意义，模型通过检验。

拟合优度表，原假设模型能很好地拟合原始数据，最后一列皮尔逊卡方显著性值0.952，概率较大，原假设成立，说明模型对原始数据的拟合通过检验。

伪R方表，依次列出的3个伪R方值（类似于决定系数）均偏低，最高0.4，说明模型对原始变量变异的解释程度一般，还有一部分信息无法解释，拟合程度并不是很优秀。

模型似然比检验表，我们能看到最终进入模型的效应包括截距、年龄、婚姻状况、生活方式，而且最后一列显著性值表明，三个自变量（影响因素）对模型构成均有显著贡献，研究它们是有意义的。

参数估计表，列出自变量不同分类水平对早餐选择的影响检验，是多元logistic回归非常重要的结果。第二列B值，即各自变量不同分类水平在模型中的系数，正负符号表明它们与早餐选择是正比还是反比关系。第六列是检验显著性值，此值小于0.05说明对应自变量的系数具有统计意义，对因变量不同分类水平的变化有显著影响。