文章目录
- 1. 傅里叶级数
- 1.1 和差化积+积化和差
- 1.2 三角函数系的正交性
- 1.3 系数公式求解
- 1.4 展开条件
- 1.5 变形下的傅里叶
在课程学习中,感觉这一部分的东西频繁会被用到,因此写下来做个总结。
1. 傅里叶级数
在科学技术中,常常会遇到各种各样的周期现象.周期现象在数学上可用周期函数来近似描述,最简单的周期函数是正弦(或余弦)函数:
y
=
A
sin
(
ω
x
+
φ
)
,
y=A\sin(\omega x+\varphi),
y=Asin(ωx+φ),
现在我们考虑:能否把一个给定的以
2
π
2\pi
2π为周期的周期函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)表示(展开)成一列正弦函数(最简单的周期函数)之和呢?也就是表达式:
f
(
x
)
=
A
0
+
∑
n
=
1
∞
A
n
sin
(
n
x
+
φ
n
)
f(x)=A_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n\sin(nx+\varphi_n)
f(x)=A0+n=1∑∞Ansin(nx+φn)
如果能,那么,就可以通过简单的正弦函数来研究复杂的周期函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的性质.用
n
n
n次三角多项式来任意逼近周期函数
f
(
x
)
f(x)
f(x).在物理上就可以用简单的正弦波的叠加来研究各种复杂的周期现象.
实际上,早在1807 年法国数学家和物理学家 Fourier 在研究热传导问题时就研究并解决了这个问题,后人因此称之为把函数 f ( x ) f(x) f(x)展开为 Fourier 级数.
而
A
n
sin
(
n
x
+
φ
n
)
=
A
n
(
sin
n
x
c
o
s
φ
n
+
cos
n
x
sin
φ
n
)
=
a
n
cos
n
x
+
b
x
sin
n
x
,记
A
0
=
a
0
2
A_n\sin(nx+\varphi_n)=A_n(\sin nxcos\varphi_n+\cos nx\sin\varphi_n)=a_n\cos nx+b_x\sin nx,记A_0 = \frac{a_0}{2}
Ansin(nx+φn)=An(sinnxcosφn+cosnxsinφn)=ancosnx+bxsinnx,记A0=2a0
所以上面的问题就变成了:
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
x
(
a
n
cos
n
x
+
b
n
sin
n
x
)
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^x(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
f(x)=2a0+n=1∑x(ancosnx+bnsinnx)
- (1) 在 f ( x ) f(x) f(x)满足什么条件时成立
- (2) 展开式中的系数 a 0 , a n , b n ( n = 1 , 2 , … … ) a_0,a_n,b_n (n=1,2,……) a0,an,bn(n=1,2,……)如何计算
下面的内容将围绕如何处理这两个问题而展开
1.1 和差化积+积化和差
为下面的推导做一些铺垫,记住这张图就行了(●’◡’●)
1.2 三角函数系的正交性
傅里叶级数形式上可以理解成在三角函数系上展开:
[
1
,
cos
x
,
sin
x
,
cos
2
x
,
sin
2
x
,
⋯
,
cos
n
x
,
sin
n
x
,
⋯
]
[1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots]
[1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,⋯]
这个函数系有一个非常重要的性质 : 其中任意两个不同函数的乘积在[
−
π
,
π
- \pi,\pi
−π,π]上的积分等于零,而任一函数的平方在[
−
π
,
π
- \pi,\pi
−π,π]上的积分都不等于零.
即:
∫
−
π
π
cos
n
x
d
x
=
0
,
∫
−
π
π
sin
n
x
d
x
=
0
∫
−
π
π
cos
m
x
cos
n
x
d
x
=
0
,
∫
−
π
π
sin
m
x
sin
n
x
d
x
=
0
(
m
≠
n
)
,
∫
−
π
π
sin
m
x
cos
n
x
d
x
=
0
;
∫
−
π
π
cos
2
n
x
d
x
=
∫
−
π
π
sin
2
n
x
d
x
=
π
,
∫
−
π
π
1
2
d
x
=
2
π
.
\int_{-\pi}^\pi\cos nx dx=0,\quad\int_{-\pi}^\pi\sin nxdx=0\\ \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\mathrm{d}x=0,\quad\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\mathrm{d}x=0\quad(m\neq n),\quad\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \cos nx\mathrm{d}x=0;\\\int_{-\pi}^\pi\cos^2nx\mathrm dx=\int_{-\pi}^\pi\sin^2nx\mathrm dx=\pi,\int_{-\pi}^\pi1^2\mathrm dx=2\pi.
∫−ππcosnxdx=0,∫−ππsinnxdx=0∫−ππcosmxcosnxdx=0,∫−ππsinmxsinnxdx=0(m=n),∫−ππsinmxcosnxdx=0;∫−ππcos2nxdx=∫−ππsin2nxdx=π,∫−ππ12dx=2π.
其中,不同函数的乘积可以用积化和差之后再积分,容易证得积分为0
所以,三角函数系在长为一个周期的任何区间 [ a , a + 2 π ] [a,a+2\pi] [a,a+2π]上都构成一个正交函数系。
1.3 系数公式求解
假定
f
f
f在[
−
π
,
π
- \pi,\pi
−π,π]上能展开为三角级数,即:
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
x
(
a
n
cos
n
x
+
b
n
sin
n
x
)
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^x(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
f(x)=2a0+n=1∑x(ancosnx+bnsinnx)
并且假定右端级数在[
−
π
,
π
- \pi,\pi
−π,π]上一致收敛于
f
f
f,在上式两端同乘
c
o
s
k
x
(
k
=
0
,
1
,
2
…
)
cos kx (k=0,1,2 \dots)
coskx(k=0,1,2…),并在
[
−
π
,
π
]
[- \pi,\pi]
[−π,π]上积分,得:
∫
−
π
π
f
(
x
)
cos
k
x
d
x
=
a
0
2
∫
−
π
π
cos
k
x
d
x
+
∑
n
=
1
π
(
a
n
∫
−
π
π
cos
n
x
cos
k
x
d
x
+
b
n
∫
−
π
π
sin
n
x
cos
k
x
d
x
)
.
\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos k\mathrm{xd}x=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\cos k\mathrm{xd}x+\sum_{n=1}^\pi\left(a_n\int_{-\pi}^\pi\cos nx\cos kx\mathrm{d}x+b_n\int_{-\pi}^\pi\sin nx\cos kx\mathrm{d}x\right).
∫−ππf(x)coskxdx=2a0∫−ππcoskxdx+n=1∑π(an∫−ππcosnxcoskxdx+bn∫−ππsinnxcoskxdx).
利用正交性地性质,当
k
=
0
k=0
k=0时:
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
=
a
0
2
∫
−
π
π
d
x
=
π
a
0
\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\mathrm{d}x=\pi a_0
∫−ππf(x)dx=2a0∫−ππdx=πa0
从而得到
a
0
a_0
a0:
a
0
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{d}x
a0=π1∫−ππf(x)dx
当
k
≠
0
k \neq 0
k=0时:
∫
−
π
π
f
(
x
)
cos
k
x
d
x
=
a
k
∫
−
π
π
cos
2
k
x
d
x
=
π
a
k
\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx\mathrm dx=a_k\int_{-\pi}^\pi\cos^2kx\mathrm dx=\pi a_k
∫−ππf(x)coskxdx=ak∫−ππcos2kxdx=πak
从而得到:
a
k
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
cos
k
x
d
x
(
k
=
1
,
2
,
⋯
)
a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx\mathrm{d}x(k=1,2,\cdots)
ak=π1∫−ππf(x)coskxdx(k=1,2,⋯)
同理用
s
i
n
k
x
sinkx
sinkx同乘两端,得到:
b
k
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
sin
k
x
d
x
(
k
=
1
,
2
,
⋯
)
b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\mathrm{d}x\quad(k=1,2,\cdots)
bk=π1∫−ππf(x)sinkxdx(k=1,2,⋯)
这样也就推出了
a
0
,
a
k
,
b
k
a_0,a_k,b_k
a0,ak,bk这三个系数:
1.4 展开条件
对于之前提出的 问题(1):在 f ( x ) f(x) f(x)满足什么条件时能展成傅里叶级数,至今还没有便于应用的判别敛散性的充要条件,书中只介绍了一个应用较为广泛的充分条件(充分性不加证明)
Dirichlet 定理: 设函数分段单调,而且除有限个第一类间断点外都是连续的,那么它的 Fourier 级数在[
−
π
,
π
- \pi,\pi
−π,π]上收敛,且傅里叶级数的和函数为:
S
(
x
)
=
{
f
(
x
)
,
x
是
f
的连续点,
f
(
x
−
0
)
+
f
(
x
+
0
)
2
,
x
是
f
的间断点,
f
(
−
π
+
0
)
+
f
(
π
−
0
)
2
,
x
=
±
π
.
S(x)= \begin{cases} f(x), & x \text { 是 } f \text { 的连续点, } \\ \mathbf{\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}}, & x \text { 是 } f \text { 的间断点, } \\ \mathbf{\frac{f(-\pi+0)+f(\pi-0)}{2}}, & x= \pm \pi .\end{cases}
S(x)=⎩
⎨
⎧f(x),2f(x−0)+f(x+0),2f(−π+0)+f(π−0),x 是 f 的连续点, x 是 f 的间断点, x=±π.
为此, 说明什么叫分段单调函数. 设有函数 f : [ a , b ] → R f:[a, b] \rightarrow \mathbf{R} f:[a,b]→R, 如果在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 内插入 n − 1 n-1 n−1 个分点
a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b , a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b, a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b,
能使 f f f 在每个开子区间 ( x k − 1 , x k ) \left(x_{k-1}, x_k\right) (xk−1,xk) 内都单调, 那么就称 f f f 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上分段单调(其中的n存在即可,只要能通过有限的点将 f f f分成单调的即为分段单调函数)
另外,如果 f f f在[ − π , π - \pi,\pi −π,π]上是奇函数,则 a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x = 0 , 且 a 0 = 0 a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm dx=0,且a_0 = 0 an=π1∫−ππf(x)cosnxdx=0,且a0=0
傅里叶展开式变为:
f
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
b
n
sin
n
x
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
.
f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin nx,\quad x\in(-\infty,+\infty).
f(x)=n=1∑∞bnsinnx,x∈(−∞,+∞).
其中,
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
sin
n
x
d
x
=
2
π
∫
0
π
f
(
x
)
sin
n
x
d
x
(
n
=
1
,
2
,
⋯
)
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm{d}x(n=1,2,\cdots)
bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx=π2∫0πf(x)sinnxdx(n=1,2,⋯)
奇函数的傅里叶展开式只含正弦项,称为傅里叶正弦级数。
同理,余弦级数为(
a
0
a_0
a0与正弦级数有区别):
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
π
a
n
cos
n
x
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\pi a_n\cos nx,\quad x\in(-\infty,+\infty)
f(x)=2a0+n=1∑πancosnx,x∈(−∞,+∞)
总结为:
1.5 变形下的傅里叶
- 2 l 2l 2l周期下的傅里叶
f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 l 2l 2l的函数,并且在 [ − l , l ] [-l,l] [−l,l]上满足 Dirichlet 条件,现在要求它的 Fourier 展开。
首先做变量代换:
x
=
l
π
t
,
即
t
=
π
l
x
x=\frac{l}{\pi}t,即t=\frac{\pi}{l}x
x=πlt,即t=lπx
对于t来说,是满足傅里叶条件的,即:
g
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
n
t
+
b
n
sin
n
t
)
g(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\big(a_n\cos nt+b_n\sin nt\big)
g(t)=2a0+n=1∑∞(ancosnt+bnsinnt)
把里面的t全部用x换掉,即可得:
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
x
(
a
n
cos
n
π
x
l
+
b
n
sin
n
π
x
l
)
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{x}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)
f(x)=2a0+n=1∑x(ancoslnπx+bnsinlnπx)
其中的系数也同样代换,注意
d
t
⟶
d
x
dt \longrightarrow dx
dt⟶dx:
{
a
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
cos
n
π
x
l
d
x
(
n
=
0
,
1
,
2
,
⋯
)
,
b
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
sin
n
π
x
l
d
x
(
n
=
1
,
2
,
⋯
)
.
\begin{cases}a_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x&\left(n=0,1,2,\cdots\right),\\ \\ b_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x&\left(n=1,2,\cdots\right).\end{cases}
⎩
⎨
⎧an=l1∫−llf(x)coslnπxdxbn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx(n=0,1,2,⋯),(n=1,2,⋯).
- 奇偶拓延
如果要求将
f
f
f在
[
0
,
l
]
[0,l]
[0,l]上展开成 Fourier 余弦级数,可采用偶延拓的方式,就是使
f
f
f是
[
−
l
,
l
]
[-l,l]
[−l,l]上的偶函数,即
F
(
x
)
=
{
f
(
x
)
,
0
⩽
x
⩽
l
,
f
(
−
x
)
,
−
l
⩽
x
<
0.
F(x)=\left\{\begin{matrix}f(x),&0\leqslant x\leqslant l,\\ f(-x),&-l\leqslant x<0.\end{matrix}\right.
F(x)={f(x),f(−x),0⩽x⩽l,−l⩽x<0.
这样展开之后的结果只取
[
0
,
l
]
[0,l]
[0,l]区间,即为
f
f
f的傅里叶余弦展开式
同理如果要求将 f f f在 [ 0 , l ] [0,l] [0,l]上展开成 Fourier 正弦级数,可采用奇延拓的方式,就是使 f f f是 [ − l , l ] [-l,l] [−l,l]上的奇函数。
[]( ̄▽ ̄)这些就是傅里叶级数的主要基础知识喽,之后还会更新傅里叶积分、傅里叶变换等相关傅里叶知识[]( ̄▽ ̄)