在课程学习中，感觉这一部分的东西频繁会被用到，因此写下来做个总结。

1. 傅里叶级数

在科学技术中，常常会遇到各种各样的周期现象.周期现象在数学上可用周期函数来近似描述,最简单的周期函数是正弦(或余弦)函数：
$$y=A\sin (\omega x+\phi ),$$
现在我们考虑：能否把一个给定的以$2\pi$为周期的周期函数$f(x)$表示(展开)成一列正弦函数（最简单的周期函数）之和呢?也就是表达式:
$$f(x)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin (nx+{\phi }_n)$$
如果能,那么,就可以通过简单的正弦函数来研究复杂的周期函数$f(x)$的性质.用$n$次三角多项式来任意逼近周期函数$f(x)$.在物理上就可以用简单的正弦波的叠加来研究各种复杂的周期现象.

实际上,早在1807 年法国数学家和物理学家 Fourier 在研究热传导问题时就研究并解决了这个问题,后人因此称之为把函数$f(x)$展开为 Fourier 级数.

而
$$A_n\sin (nx+{\phi }_n)=A_n(\sin nxcos{\phi }_n+\cos nx\sin {\phi }_n)=a_n\cos nx+b_x\sin nx，记A_0=\frac{a_0}{2}$$
所以上面的问题就变成了：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^x(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

• (1) 在$f(x)$满足什么条件时成立
• (2) 展开式中的系数$a_0,a_n,b_n(n=1,2,\dots \dots )$如何计算

下面的内容将围绕如何处理这两个问题而展开

1.1 和差化积+积化和差

为下面的推导做一些铺垫，记住这张图就行了(●’◡’●)

1.2 三角函数系的正交性

傅里叶级数形式上可以理解成在三角函数系上展开：
$$[1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots ,\cos nx,\sin nx,\cdots ]$$
这个函数系有一个非常重要的性质 : 其中任意两个不同函数的乘积在[$-\pi ,\pi$]上的积分等于零,而任一函数的平方在[$-\pi ,\pi$]上的积分都不等于零.

即:
$$\begin{gathered} {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx=0,{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx=0 \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nx\mathrm{d}x=0,{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nx\mathrm{d}x=0(m\ne n),{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\cos nx\mathrm{d}x=0; \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}nx\mathrm{d}x={\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}nx\mathrm{d}x=\pi ,{\int }_{-\pi }^{\pi }{1}^2\mathrm{d}x=2\pi . \end{gathered}$$

其中，不同函数的乘积可以用积化和差之后再积分，容易证得积分为0

所以，三角函数系在长为一个周期的任何区间$[a,a+2\pi ]$上都构成一个正交函数系。

1.3 系数公式求解

假定$f$在[$-\pi ,\pi$]上能展开为三角级数，即：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^x(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

并且假定右端级数在[$-\pi ,\pi$]上一致收敛于$f$,在上式两端同乘$coskx(k=0,1,2\dots )$,并在$[-\pi ,\pi ]$上积分，得：
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos k\mathrm{xd}x=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos k\mathrm{xd}x+\sum _{n=1}^{\pi }\left(a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos kx\mathrm{d}x+b_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\cos kx\mathrm{d}x\right).$$
利用正交性地性质，当$k=0$时：
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{d}x=\pi a_0$$
从而得到$a_0$:
$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$$
当$k\ne 0$时：
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos kx\mathrm{d}x=a_k{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}kx\mathrm{d}x=\pi a_k$$
从而得到：
$$a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos kx\mathrm{d}x(k=1,2,\cdots )$$
同理用$sinkx$同乘两端，得到：
$$b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin kx\mathrm{d}x(k=1,2,\cdots )$$
这样也就推出了$a_0,a_k,b_k$这三个系数:

1.4 展开条件

对于之前提出的 问题(1)：在$f(x)$满足什么条件时能展成傅里叶级数，至今还没有便于应用的判别敛散性的充要条件，书中只介绍了一个应用较为广泛的充分条件（充分性不加证明）

Dirichlet 定理： 设函数分段单调,而且除有限个第一类间断点外都是连续的,那么它的 Fourier 级数在[$-\pi ,\pi$]上收敛,且傅里叶级数的和函数为：
$$S(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\text{ 是 }f\text{ 的连续点, }\\ \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x}-0)+\mathbf{f}(\mathbf{x}+0)}{2},& x\text{ 是 }f\text{ 的间断点, }\\ \frac{\mathbf{f}(-\pi +0)+\mathbf{f}(\pi -0)}{2},& x=\pm \pi .\end{array}$$

为此, 说明什么叫分段单调函数. 设有函数 $f:[a,b]\to \mathbf{R}$, 如果在 $[a,b]$ 内插入$n-1$ 个分点
$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b,$$
能使 $f$ 在每个开子区间 $\left(x_{k-1},x_k\right)$ 内都单调, 那么就称 $f$ 在 $[a,b]$ 上分段单调（其中的n存在即可，只要能通过有限的点将$f$分成单调的即为分段单调函数）

另外，如果$f$在[$-\pi ,\pi$]上是奇函数，则$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x=0,且a_0=0$

傅里叶展开式变为：
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx,x\in (-\infty ,+\infty ).$$
其中，$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x(n=1,2,\cdots )$

奇函数的傅里叶展开式只含正弦项，称为傅里叶正弦级数。

同理，余弦级数为（$a_0$与正弦级数有区别）：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\pi }{a}_n\cos nx,x\in (-\infty ,+\infty )$$
总结为：

1.5 变形下的傅里叶

1. $2l$周期下的傅里叶

$f(x)$是周期为$2l$的函数，并且在$[-l,l]$上满足 Dirichlet 条件，现在要求它的 Fourier 展开。

首先做变量代换：
$$x=\frac{l}{\pi }t,即t=\frac{\pi }{l}x$$
对于t来说，是满足傅里叶条件的，即：
$$g(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nt+b_n\sin nt)$$
把里面的t全部用x换掉，即可得：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^x\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$$
其中的系数也同样代换，注意$dt⟶dx$：
$$\{\begin{array}{ll}{a}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x& \left(n=0,1,2,\cdots \right),\\ & \\ b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x& \left(n=1,2,\cdots \right).\end{array}$$

2. 奇偶拓延

如果要求将$f$在$[0,l]$上展开成 Fourier 余弦级数,可采用偶延拓的方式,就是使$f$是$[-l,l]$上的偶函数,即
$$F(x)=\{\begin{array}{cc}f(x),& 0⩽x⩽l,\\ f(-x),& -l⩽x<0.\end{array}$$
这样展开之后的结果只取$[0,l]$区间，即为$f$的傅里叶余弦展开式

同理如果要求将$f$在$[0,l]$上展开成 Fourier 正弦级数,可采用奇延拓的方式,就是使$f$是$[-l,l]$上的奇函数。

[]_(￣▽￣)这些就是傅里叶级数的主要基础知识喽，之后还会更新傅里叶积分、傅里叶变换等相关傅里叶知识[]_(￣▽￣)