如图，在 $△ABC$ 中，$AC>5,AB>AC$，点 $E$ 是 $AB$ 上一点，链接 $CE$，将 $△BCE$ 沿 $CE$ 折叠，点 $B$ 的对应点 $B^{\prime }$ 落在 $CA$ 的延长线上，展开铺平，过点 $A$ 作 $AD\perp BC$ 于 $D$，若 $AD=3,\angle BEC=135^{\circ }$，求 $BE$ 的长。

解：过点 $E$ 作 $EF\perp BC$

又 $\because AD\perp BC$

$\therefore \angle BFE=\angle CFE=\angle ADC=90^{\circ }$

$\because$ 在 $△ACD$ 中，$\angle ADC=90^{\circ }$， $AD=3,AC=4$

$\therefore AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=5$

设 $\angle ACB=\alpha$，则由折叠，$\angle BCE=\frac{1}{2}\alpha$

$\therefore \sin \alpha =\frac{3}{5},\cos \alpha =\frac{4}{5}$

$\therefore \sin \frac{1}{2}\alpha =\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\therefore \frac{EF}{EC}=\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\because \angle EFC=\angle ADC=90^{\circ }$

$\therefore EF\parallel AD$

$\therefore \angle BAC=\angle BEC=135^{\circ },\angle BEF=\angle BAD$

$\therefore \angle BAD=135^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=45^{\circ }+\alpha$

$\therefore \angle BEF=\angle BAD=45^{\circ }+\alpha$

$\therefore \sin \angle BEF=\sin (45^{\circ }+\alpha )=sin45^{\circ }\cos \alpha +\cos 45^{\circ }\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\therefore \frac{BF}{BE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}(即△BEF和△ABD为1:2:\sqrt{5}的三角形)$

$\therefore BD=2AD=6$

设 $EF=x,$ 则 $BF=2x,CF=3x$

$\therefore BF+CF=BC$

即 $2x+3x=10$ 解得 $x=2$

$\therefore BE=\sqrt{5}BE=2\sqrt{5}$