概念

队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适，比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。

在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

模拟实现

JDK1.8中的PriorityQueue底层使用了堆这种数据结构，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。

堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

简单来说就是孩子节点的值一定大于或小于父亲节点的值
孩子节点都大于父亲节点 则是小根堆 反之则是大根堆

堆的性质：

1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
2. 堆总是一棵完全二叉树。

堆的存储方式

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储，

注意：对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，就会导致空间利用率比较低。

将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质5对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标，则有：

1. 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
2. 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
3. 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

堆的创建

向下调整

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如果将其创建成堆呢？

仔细观察上图后发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可

向下过程(以小堆为例)：

1. 让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子 因为是完全二叉树)
2. 如果parent的左孩子存在，即:child < size， 进行以下操作，直到parent的左孩子不存在
   parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标记孩子的下标
   将parent与较小的孩子child比较 如果parent小于较小的孩子child 说明此时已经是小根堆 不调整 否则交换parent和较小的孩子child 交换完成后 parent可能大于他的孩子的孩子 此时还需要继续调整
   使parent = child child 2 * parent + 1 然后继续过程2 知道到达树的底部 也就是parent 不存在孩子节点的时候

public void shiftDown(int[] array, int parent) {
        // child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右
        int child = 2 * parent + 1;
        int size = array.length;
        while (child < size) {
            // 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记
            if (child + 1 < size && array[child + 1] < array[child]) {
                child += 1;
            }
            // 如果双亲比其最小的孩子还小，说明该结构已经满足堆的特性了
            if (array[parent] <= array[child]) {
                break;
            } else {
                // 将双亲与较小的孩子交换
                int t = array[parent];
                array[parent] = array[child];
                array[child] = t;
                // parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }
        }
    }

注意：在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。

时间复杂度分析：
最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为

堆的创建

那对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 }构建为大根堆，即根节点的左右子树不满足堆的特性，又该如何调整呢？

向下调整的前提条件是parent的左右子树都是堆 所以我们只需要从最后一个非叶子节点开始 往前一直到根节点 每遇到一个节点 就向下调整 这样就可以保证每次调整的时候 他的左子树和右子树都是堆

public static void createHeap(int[] array) {
        // 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整
        int root = ((array.length-1-1)>>1);
        //array.lenth-1是最后一个节点的下标
        //再-1 然后/2的目的是找到他的父亲节点 
        //最后一个节点的父亲节点就是最后一个非叶子节点的节点 往前知道调整完0下标
        for (; root >= 0; root--) {
            shiftDown(array, root);
        }
    }

建堆的时间复杂度

堆的插入和删除

堆的插入

堆的插入总共需要两个步骤：

1. 先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)
2. 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质
   

    public void shiftUp(int child) {
        // 找到child的双亲
        int parent = (child - 1) / 2;
        while (child > 0) {
        // 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束
            if (array[parent] > array[child]) {
                break;
            }
            else{
                // 将双亲与孩子节点进行交换
                int t = array[parent];
                array[parent] = array[child];
                array[child] = t;
                // 小的元素向下移动，可能到值子树不满足对的性质，因此需要继续向上调增
                child = parent;
                parent = (child - 1) / 2;
            }
        }
    }

堆的删除

注意：堆的删除一定删除的是堆顶元素 因为实现的是一个队列

1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
2. 将堆中有效数据个数减少一个
3. 对堆顶元素进行向下调整

用堆模拟实现优先级队列

public class Heap {
    public int[] elem;
    public int usedSize;

    public Heap() {
        this.elem = new int[10];
    }

    //创建一个大根堆
    public void createHeap(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            usedSize++;
        }
        //从最后一个根节点开始
        //usedSize - 1 是最后一个节点的下标
        //((usedSize - 1) - 1) / 2是这个节点的父节点 也就是最后一个父节点
        //从这个节点开始对每棵树进行调整
        for (int parent = (usedSize - 1 - 1) / 2; parent >= 0; parent --){
            shiftDown(parent,usedSize);
        }
    }

    /**
     * @param parent 每棵子树的根节点
     * @param len    代表每棵子树的结束位置
     */
    //
    private void shiftDown(int parent, int len) {
        int child = 2 * parent + 1;
        //左孩子节点的下标
        while (child < len) {
            //if的目的是找出左右孩子中较大的那个孩子的下标
            if (child + 1 < len && elem[child] < elem[child + 1]) {
                //child + 1 < len 的目的是保证右节点也在下标的范围内 防止数组越界
                //elem[child] < elem[child + 1]
                child = child + 1;
            }
            //if的目的是判断较大的那个孩子节点有没有父节点大
            if (elem[child] > elem[parent]) {
                int temp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = temp;
                //将其中较大的放在根位置
                parent = child;
                child = 2 * parent + 1;
                //此时这棵树调整完整 在调整下一颗；
            } else {
                break;
                //此时就是大根堆
            }
        }
    }

    //向上调整
    public void shiftUp(int child){
        int parent = (child - 1) / 2;
        while (child > 0){
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int temp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = temp;
                child = parent;
                parent = (child - 1) / 2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    public void push(int val){
        if(isFull()){
            elem = Arrays.copyOf(elem,2 * elem.length);
        }
        elem[usedSize] = val;
        usedSize++;
        shiftUp(usedSize - 1);
        //每添加一个元素 就向上调整一次 保证还是大根堆；
    }

    private boolean isFull(){
        return this.usedSize == elem.length;
    }

    public int poll(){
        if(empty()){
            throw new HeapEmptyException("优先级队列为空");
        }
        int temp = elem[0];
        elem[0] = elem[usedSize - 1];
        elem[usedSize - 1] =temp;
        usedSize --;
        shiftDown(0,usedSize);
        return temp;
        /**
         * 逻辑为：
         * poll方法的功能为弹出下标为0的元素
         * 但是我们是优先级队列 弹出第一个元素整棵树就不是堆
         * 我们就把第一个元素和最后一个元素交换 然后使usedSize-- 来删除第一个元素
         * 返回第一个元素 在向下调整根节点对应的树
         *
         */

    }

    private boolean empty(){
        return this.usedSize == 0;
    }

    public int peek(){
        if(empty()){
            throw new HeapEmptyException("优先级队列为空");
        }
        return elem[0];
    }
}

常用接口

PriorityQueue的特性

Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文主要介绍PriorityQueue。

注意事项：

1. 使用时必须导入PriorityQueue所在的包
2. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小 因为向上或者向下调整时要进行元素的大小比较，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException异常
3. . 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException
4. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
5. 插入元素和删除元素的时间复杂度都是O(logN)
6. PriorityQueue底层使用了堆数据结构
7. PriorityQueue默认情况下是小堆-–即每次获取到的元素都是最小的元素

PriorityQueue常用接口介绍

构造方法

常用的三种

但是PriorityQueue队列是小堆，如果我们需要大堆就需要我们提供一个比较器

插入/删除/获取优先级最高的元素

函数名	功能介绍
boolean offer(E e)	插入元素e，插入成功返回true，如果对象为空，抛出NullPointerException异常，时间复杂度O(logN) ，注意：空间不够时候会进行扩容
E peek()	获取优先级最高的元素，如果优先级队列为空，返回null
E poll()	移除优先级最高的元素并返回，如果优先级队列为空，返回null
int size()	获取有效元素的个数
void clear()	清空
boolean isEmpty()	检测优先级队列是否为空，空返回true

PriorityQueue 部分源码解析

构造方法

public PriorityQueue()

**这里看到它调用了另一个构造方法 **

第一个参数是优先级队列的默认容量

第二个参数是一个比较器 默认为null

PriorityQueue(int initialCapacity)

这个构造方法需要一个容量 来代替他的默认容量 我们可以指定优先级队列的初始大小

但是还是调用了另一个构造方法

public PriorityQueue(Comparator<? super E> comparator)

这个构造方法我们可以传入一个比较器 容量是默认容量

但是还是调用了另一个构造方法

public PriorityQueue(int initialCapacity, Comparator<? super E> comparator)

最关键的一个构造方法 我们发现其他构造方法 都是间接调用了这个构造方法 需要一个参数和比较器

public PriorityQueue(int initialCapacity,
                         Comparator<? super E> comparator) {
        // Note: This restriction of at least one is not actually needed,
        // but continues for 1.5 compatibility
        if (initialCapacity < 1)
            throw new IllegalArgumentException();
        //如果容量小于1 则抛出异常
        this.queue = new Object[initialCapacity];
        // 初始化优先级队列
        this.comparator = comparator;
        // 比较器为我们传入的比较器
    }

public PriorityQueue(Collection<? extends E> c)

还可以传入一个集合来将其中的值赋值给优先级队列

大体逻辑就是判断这个集合是否为if中的两个集合 如果是则把数据和比较器都传给优先级队列 如果不是 即else 则比较器赋值null 把值传递给优先级队列

public boolean add(E e)和public boolean offer(E e)

这两个方法放在一起是因为add方法实际上调用了offer方法

offer方法

和我们模拟实现的优先级队列方法基本相同

public boolean offer(E e) {
        if (e == null)
            throw new NullPointerException();
        //传入null抛出空指针异常
        modCount++;
        int i = size;
        //获取优先级队列元素个数
        if (i >= queue.length)
            grow(i + 1);
        //扩容方法
        //如果空间不足则需要扩容
        size = i + 1;
        //元素个数+1
        if (i == 0)
            queue[0] = e;
        //如果是第一个元素 则直接放在数组里
        else
            siftUp(i, e);
        //如果不是则需要向上调整 
        return true;
    }

public E peek()

直接返回队头元素 如果队列为空 则返回null

private int indexOf(Object o)

查找对应元素的下标

找到返回下标 找不到返回-1

public E poll()

弹出队头元素

public E poll() {
    if (size == 0)
        return null;
    //队列中没有元素 返回null
    int s = --size;
    //队列元素--
    modCount++;
    E result = (E) queue[0];
    //保存队头元素 以返回
    E x = (E) queue[s];
    queue[s] = null;
    if (s != 0)
        //如果此时队列中还有元素
        siftDown(0, x);
        //向下调整 其中包含了将根节点放到队尾的操作
    return result;
    //返回根节点
}

private void siftUp(int k, E x)

向上调整方法
private修饰 说明我们不能再类外对 siftUp方法进行调用

我们可以看到 有一个if语句判断是否有比较器

private void siftUpUsingComparator(int k, E x)

如果if为真 说明我们有一个比较器

private void siftUpUsingComparator(int k, E x) {
        //x 为孩子节点
        //k 为孩子节点的下标
        //向上调整 从根节点开始调整
        while (k > 0) {
            int parent = (k - 1) >>> 1;
            //获取孩子节点对应的根节点的下标
            Object e = queue[parent];
            //获取父亲节点下标的元素
            if (comparator.compare(x, (E) e) >= 0)
                //比较器比较 如果为真说明已经满足堆的要求
                break;
            queue[k] = e;
            //父亲节点的值给了孩子节点
            k = parent;
            //否则 下一个孩子节点为这个父亲节点
        }
        queue[k] = x;
        //第一次只把父亲节点的值给了孩子节点 孩子节点并没有赋值父亲节点 在这里赋值
    }

private void siftUpComparable(int k, E x)

if为假 说明我们的比较器为null

private void siftUpComparable(int k, E x) {
        Comparable<? super E> key = (Comparable<? super E>) x;
        //看看x对应的类是否实现了comparable接口
        //如果没有比较器 且该类没有实现comparable接口 程序报错
        while (k > 0) {
            int parent = (k - 1) >>> 1;
            Object e = queue[parent];
            if (key.compareTo((E) e) >= 0)
                //如果程序执行到这里 说明已经实现了comparable接口
                //此时该类必须重写compareTo方法
                //这里调用类中的compareTo方法来判断大小
                break;
            queue[k] = e;
            k = parent;
        }
        queue[k] = key;

        //其余逻辑和上个方法一模一样
    }

private void siftDown(int k, E x)

这个方法和siftUp方法几乎一模一样

也是区分了有无比较器
向下调整的内部逻辑和我们实现的也基本一致

Topk问题

TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆
   前k个最大的元素，则建小堆
   前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

**例如我们要一组数据的前k个最小的数 我们就创建一个有k个元素的大根堆 对于那组数据 从第k + 1个数开始遍历 如果遍历过程中遇到小于堆顶元素的元素 此时就把这个元素放在堆顶 然后对堆进行向下调整 使堆顶总是这个堆中最大的元素 直到遍历结束 **

代码实现

class Solution {
    public int[] getLeastNumbers(int[] arr, int k) {
        int[] temp = new int[k];
        if(k == 0){
            return temp;
        }
        PriorityQueue<Integer> Heap = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {
            public int compare(Integer num1, Integer num2) {
                return num2 - num1;
            }
        });

        for(int i = 0;i < k; i++){
            Heap.offer(arr[i]);
        }
        for(int i = k; i < arr.length; i++){
            if(arr[i] < Heap.peek()){
                Heap.poll();
                Heap.offer(arr[i]);
            }
        }
         for(int i = 0;i < k; i++){
            temp[i] = Heap.poll();
        }
        return temp;
    }
    
}

**这样在面对数据量庞大的数据时 只需要将要的k个数建堆即可 例如找到世界500强 只需要建一个500个元素的小根堆 **

如果用大根堆的话我们需要建立一个庞大的堆来存放所有数据 效率差