一、去噪扩散概率模型（Denoising Diffusion Probabilistic Model，DDPM）

在本节中，将详细讨论DDPM的相关概念与一些核心的数学推理过程，因为作者认为这些必要的数学推导与运算对理解DDPM有一定的帮助。同时，关于DDPM的详细数学推导，有兴趣的读者可以参考本文最后的参考文献。
扩散模型 (Diffusion Models) 是一类新的最先进的生成模型，可生成各种各样的高分辨率图像。在 OpenAI、英伟达和谷歌成功训练出大规模模型后，它们已经引起了广泛关注。基于扩散模型的示例架构有 GLIDE、DALLE-2、Imagen 和完全开源的 stable diffusion。扩散模型从根本上不同于所有以前的生成方法。直觉上，他们的目标是通过许多小的“去噪”步骤分解图像生成过程（采样）。

1、DDPM概述：扩散过程的表述相对简单，即输入图像$x_0$ ，经过时间T个步骤，逐渐向其添加高斯噪声，我们将其称为前向过程。值得注意的是，这与神经网络的前向传递无关。但是前向过程对于我们的神经网络生成（应用$t<T$添加噪声步骤后的图像）目标是必要的。之后，通过反转噪声过程来恢复原始数据，训练神经网络。通过能够对逆向过程建模，我们可以生成新数据。这就是所谓的反向扩散过程，或者通俗地说，就是生成模型的采样过程。
更具体些，对于一个T步的扩散模型，每一步的索引为t。在前向过程中，我们从一个真实图像$x_0$开始，在每一步我们随机生成一些高斯噪声，然后将生成的噪声逐步加入到输入图像中，当T足够大时，我们得到的加噪后的图像便接近一个高斯噪声图像，例如DDPM中$T=1000$。在后向过程中，我们从噪声图像$x_T$开始（训练时是真实图像加噪的结果，采样时是随机噪声），通过一个神经网络学习$x_{T-1}$到$x_t$添加的噪声，然后通过逐渐去噪的方式得到最后要生成的图像。
2、正向扩散过程：

正向扩散过程（forward diffusion）描述：给定初始数据分布$x_{0}q(x)$，可以不断地向分布中添加高斯噪声（高斯噪声的标准差是根据固定值${\beta }_t$确定，而均值是根据固定值${\beta }_t$和当前时刻t的状态$x_t$确定的），因此DDPM的正向扩散过程是一个Markov过程。随着时间步长t的增大（$t->T$）最终数据$x_T$变成了一个各项独立的高斯分布，如图6所示。
数学过程的描述：假设初始时刻$q(x_0)$是真实图像的分布，我们可以通过从训练集的真实图像中随机采样一张图像，表示为$xq(x_0)$。那么如图6所示的前向过程$q(x_t|x_{t-1})$指的是在前向的每一步通过向图像$x_{t-1}$中添加高斯噪声得到$x_t$。根据前面的描述，加入的高斯噪声均值为
，方差为
，那么

根据前述分析，DDPM的正向扩散过程可以认为是一个Markov过程，那么从输入$x_0$到$x_T$的后验概率分布可以表示为

上述过程需要重复采样 次。为了获得在任何时间步长上的可操作闭式采样（即从初始状态$xq(x_0)$），可以使用重参数化技巧。下面对上面的后验概率进行重参数化推导：





3、逆向扩散过程：
DDPM的前向过程是将已知的数据通过不断的加入噪声，当时间步长T逼近无穷时隐变量$x_T$可以认为是一个各向同性的高斯分布。反之，DDPM的反向过程$p(x_{t-1}|x_t)$则是一个去噪过程。即我们先在T时刻随机采样一个二维高斯噪声，然后逐步进行去噪，最终得到一个和真实图像分布一致的生成图像$x_0$。
DDPM的核心过程是如何进行上述去噪过程，因为反向扩散过程$p(x_{t-1}|x_t)$是未知的。扩散模型指出，我们可以使用一个神经网络学习这个去噪过程。原因是在扩散过程中，时刻t的分布$x_t$是已知的，所构建的神经网络的目的是根据t来学习$x_t$的概率分布函数。综上分析，DDPM的反向过程可以建模为$p(x_{t-1}|x_t)$，其中KaTeX parse error: Undefined control sequence: \thea at position 1: \̲t̲h̲e̲a̲是网络模型参数，通常可以用SGD等策略对该网络进行优化。
DPM原文指出，在前向扩散过程中每一个时刻向隐变量中加入高斯噪声，为了简化模型的训练难度，DDPM假设反向去噪过程滤除的也是高斯噪声。理论来说，一个随机高斯噪声是根据参数均值和方差所确定，那么$p(x_{t-1}|x_t)$可以表示为
其中均值和方差均是根据模型计算得到的。同时，在推理DDPM的前向扩散过程中我们假设每一个时间扩散均为Markov过程，那么通过马尔可夫链得到扩散模型的后向过程可以表示为





4、目标数据的似然函数分析：
DDPM的损失函数使用变分自编码器的最大化证据下界（Evidence Lower Bound, ELBO）的思想来推导，推导详细过程见论文[3]的式(47)到式(58)，这里主要用到了贝叶斯定理和琴生不等式。DDPM的损失函数是在负似然对数的基础上加上一个KL散度构成负似然对数的上界（上界越小，负似然对数越小，进而似然对数就越大）。





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