1.前言

为了深入介绍此算法，先说明一些背景知识。

1.1 数据可分性

在这里插入图片描述
数据可分性通常使用类间及类内距离来评判，即类间距离越大，类内距离越小，数据越容易进行分类/聚类。

1.1 类间方差、类内方差及全局方差

设一数据集 ${x_i;i=1,2,...,N\}$ ，将其分为 $c$ 类，第 $j$ 类个数为 $n_j$ ，记为：

$\qquad\qquad\qquad {\{x_i^j;j=1,2,...,c，i=1,2,...,n_j\}}$ 。

所有数据均值 $\qquad m=\cfrac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^Nx_i$
第 $j$ 类数据均值 $\quad m_j=\cfrac{1}{n_j}\sum\limits_{i=1}^{n_j}x_i$
类内方差
$\qquad\qquad\qquad\quad S_W^j=\cfrac{1}{n_j}\sum\limits_{i=1}^{n_j}(x_i^j-m_j)(x_i^j-m_j)^T$
总的类内方差
$\qquad\qquad\qquad\quad S_W=\sum\limits_{i=1}^{c}\cfrac{n_j}{N}\cdot S_W^j$
类间方差
$\qquad\qquad\qquad\quad S_B=\sum\limits_{j=1}^{c}\cfrac{n_j}{N}(m_j-m)(m_j-m)^T$
全局方差
$\qquad\qquad\qquad\quad S_T=\cfrac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}(x_j-m)(x_j-m)^T$

可见，对于同一组数据，其全局方差为一常数。

1.2 三种方差之间的关系

$\qquad\qquad\qquad\quad S_T=S_W+S_B$

证明见参考文献[2]。

1.3 评判数据可分性metric

其中一种方法是Calinski-Harabasz Index。

在这里插入图片描述
$B_k$ ， $W_k$ 即1.1中的 $S_B$ , $S_W$ 。

sklearn中有相应的实现：

from sklearn import metrics
metrics.calinski_harabasz_score(X, labels)

2. OSTU算法

从1.2可知，对于同一组数据，全局方差为一常数，则最大化类间方差等价于最小化类内方差。

因此对于图像二值化，优化目标可设为最大化前景/背景两类之间的方差。

这里直接列出 wiki Otsu中的方法：

在这里插入图片描述

具体算法：
1）计算图像直方图，统计每一个亮度水平 $i = 0, 1, ..., L$ 的比例 $p_i$ ；
2） for $t = 1, ..., L$ ，分别计算类间方差 $\sigma_b^2(t)$ ；
3）二值化亮度阈值设为最大 $\sigma_b^2(t)$ 对应的t值。

参考文献

[1] Otsu Thresholding — Mathematical Secrets behind Image Binarization
[2] 现代模式识别,孙即祥
[3] https://scikit-learn.org/stable/modules/clustering.html#calinski-harabasz-index
[4] wiki Otsu

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