目录
概述
算法
左单旋
右单旋
左右双旋
右左双旋
源码
AVLTree.h
test.cpp
概述
AVL树也叫平衡二叉搜索树，是二叉搜索树的进化版，设计是原理是弥补二叉搜索树的缺陷：当插入的数据接近于有序数列时，二叉搜索树的性能严重下降。
AVL的节点设计采用三叉链结构(每个节点包含left, right, parent三个节点指针)，每个节点中都有平衡因子bf。
AVL的特点是左子树和右子树高度差 < 2，平衡因子bf就是右子树高度 - 左子树高度的差，当bf等于2时，AVL将根据不同情况进行旋转调节，使其始终保持AVL树的特性。
算法
AVL树的节点插入遵循搜索二叉树原则，即左节点一定小于根节点，右节点一定大于根节点，左子树所有节点一定小于根结点，右子树所有节点一定大于根节点。
AVL树的节点插入时，首先根据搜索二叉树原则，找到需要插入节点的位置，插入新节点后，从插入的新节点处向上循环更新平衡因子，若父节点的平衡因子变为0，说明父节点的左右子树高度一样，跳出循环；若父节点的平衡因子为1或-1，则继续向上更新平衡因子，直到父节点变为nullptr再跳出循环；若父节点的平衡因子为2或-2，需要根据平衡因子情况采用不同的旋转调整策略。
AVL树的旋转调整策略一共有4种，分别是：左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋。
左单旋
若数列 1,2,3 按顺序插入AVL树，则树的结构为图1：
图1 中，parent节点的平衡因子bf为2，新节点向上调节时的cur节点的平衡因子为1，这种情况需要左单旋：cur节点的左子数（空）变成parent节点的右子树，parent节点变成cur节点的左子树。
右单旋
右单旋与左单旋类似，也是根据平衡因子情况进行旋转调整。
图1 新节点1插入，向上调整平衡因子，出现parent->bf == -2, cur->bf == -1，此时需要右单旋：cur节点的右子树变为parent节点的左子树，parent变成cur节点的右子树
左右双旋
左右双旋在设计上可以调用左单旋和右单旋函数，但是需要不同情况讨论旋转后的平衡因子
图1 新插入节点0后，parent->bf == -2, cur->bf == 1，此时需要左右双旋，即先以节点-1为父节点进行一次左单旋，再以1为父节点进行一次左单旋：节点0的左子树（空）变成节点-1的左子树，节点-1变成节点0的左子树
图2 完成左单旋之后再以1位父节点进行一次右单旋：节点0的右子树（空）变成节点1的左子树，节点1变成节点0的右子树
图3 此时已经完成了左右双旋
右左双旋
图1 中红色数字就是每个节点平衡因子，值为65的节点是新插入的节点，当其插入之后，所有节点的平衡因子更新，出现了parent平衡因子为2，cur平衡因子为1，此时需要进行右左调节
图2 观察平衡因子，决定旋转策略为右左双旋，即先进行一次右单旋，再进行一次左单旋。右单旋是以节点80为父节点进行，即节点60的右子树变成节点80的左子树，节点80变成节点60的右子树
图3 右单旋结束，接下来再一次进行以节点40为父节点的左单旋，即节点60的左子树变成节点40的右子树，节点40变成节点60的左子树
源码
AVLTree.h
#pragma once
#include <iostream>
#include <cassert>
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
std::pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf; // balance factor
AVLTreeNode(const std::pair<K, V>& kv)
: _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
bool insert(const std::pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
--parent->_bf;
}
else
{
++parent->_bf;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
// 旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
// 左单旋
rotate_left(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
// 右单旋
rotate_right(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
// 左右双旋
rotate_left_right(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
// 右左双旋
rotate_right_left(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
void rotate_left(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = parent->_right->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
void rotate_right(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
void rotate_left_right(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
rotate_left(parent->_left);
rotate_right(parent);
if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void rotate_right_left(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
rotate_right(parent->_right);
rotate_left(parent);
if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void in_order()
{
_in_order(_root);
std::cout << std::endl;
}
bool is_balance()
{
return _is_balance(_root);
}
private:
void _in_order(Node* root)
{
if (root != nullptr)
{
_in_order(root->_left);
std::cout << root->_kv.first << ": " << root->_kv.second << std::endl;
_in_order(root->_right);
}
}
int _height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int lh = _height(root->_left);
int rh = _height(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
bool _is_balance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = _height(root->_left);
int rightHeight = _height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
std::cout << "平衡因子异常" << root->_kv.first << std::endl;
return false;
}
return std::abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _is_balance(root->_left)
&& _is_balance(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
test.cpp
#include "AVLTree.h"
void avl_test1()
{
int a[] = { 2, 4, 5, 8, 10, 1, 3, 5, 7, 9, 100, 200, -100, 0 };
AVLTree<int, int> t;
for (auto e : a)
{
t.insert(std::make_pair(e, e));
}
t.in_order();
std::cout << t.is_balance() << std::endl << std::endl;
}
void avl_test2()
{
int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15};
AVLTree<int, int> t;
for (auto e : a)
{
t.insert(std::make_pair(e, e));
}
t.in_order();
std::cout << t.is_balance() << std::endl << std::endl;
}
void avl_test3()
{
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
AVLTree<int, int> t;
for (auto e : a)
{
t.insert(std::make_pair(e, e));
}
t.in_order();
std::cout << t.is_balance() << std::endl << std::endl;
}
int main()
{
avl_test1();
avl_test2();
avl_test3();
return 0;
}
