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本篇来介绍tobit模型，使用的工具包是VGAM。

library(VGAM)

目录如下：

• 1 Tobit分布

• 2 tobit模型

• 3 运行模型

  • 例1

  • 例2

  • 例3

• 4 其他

1 Tobit分布

tobit模型主要应用于因变量存在删失的情况。以正态分布为例，变量的取值范围理论上应为，但实际取值范围只是某个区间。例如在做调查时，年收入在一定区间范围内需要精确统计，而低于或高于某与水平只笼统归类。

这样删失数据的概率分布相比于正态分布就发生了变化：

概率密度分布：

x <- seq(-4, 4, 0.001)

plot(x, dnorm(x), type = "l", ylab = "概率密度")
lines(x, dtobit(x, Lower = -2, Upper = 2), 
      col = "orange", lty = "dashed")
abline(v = -2, lty = "dashed")
abline(v = 2, lty = "dashed")
legend(x = "topleft", c("正态分布", "Tobit分布"),
       lty = c("solid", "dashed"), col = c("black", "orange"))

• 注意：概率密度在区间端值处相比于正态分布并没有变化。

累积概率分布：

plot(x, pnorm(x), type = "l", ylab = "累积密度")
lines(x, ptobit(x, Lower = -2, Upper = 2), 
      col = "orange", lty = "dashed")
abline(v = -2, lty = "dashed")
abline(v = 2, lty = "dashed")
legend(x = "topleft", c("正态分布", "Tobit分布"),
       lty = c("solid", "dashed"), col = c("black", "orange"))

上面代码中使用的dtobit()、ptobit()函数是分别计算Tobit分布的概率密度和累积密度的。

VGAM工具包中关于Tobit分布的系列函数：

dtobit(x, mean = 0, sd = 1, Lower = 0, Upper = Inf, log = FALSE)
ptobit(q, mean = 0, sd = 1, Lower = 0, Upper = Inf,
       lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qtobit(p, mean = 0, sd = 1, Lower = 0, Upper = Inf,
       lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rtobit(n, mean = 0, sd = 1, Lower = 0, Upper = Inf)

• Lower和Upper参数分别表示区间的最小值和最大值。

2 tobit模型

以线性回归为例，如果因变量是删失数据，那么可以使用对应的tobit模型：

其中服从独立的正态分布。假设区间上、下限分别为 = a、 = b，删失数据的处理如下：

下面生成四个样本量为100的示例数据，已知与理论上的数量关系为，真实数据存在随机扰动。

数据y：随机扰动服从正态分布。

set.seed(0501)
nn <- 100
x <- seq(-4, 4, length = nn) 
y <- rnorm(nn, mean = 2*x +2)

数据y1：随机扰动服从默认的Tobit分布（L = 0，U = ，即下限为0，无上限）。

set.seed(0501)
y1 <- rtobit(nn, mean = 2*x + 2)

数据y2：随机扰动服从Tobit分布（L = -2，U = 6）。

set.seed(0501)
y2 <- rtobit(nn, mean = 2*x + 2, Lower = -2,
             Upper = 6)

数据y3：随机扰动服从Tobit分布，但每个样本的上、下限不同（例如调查数据来自不同调查组）。

set.seed(0501)
lower <- rnorm(nn, -2, 0.5) ## 下限
upper <- rnorm(nn, 6, 0.5) ## 上限
y3 <- rtobit(nn, mean = 2*x + 2, Lower = lower,
             Upper = upper)

各示例数据的散点图：

par(mfrow = c(2,2), plt = c(0.1, 0.9, 0.15, 0.9),
    mgp = c(1.2,0.3,0), pch = 20,
    las = 1, tck = -0.02)

plot(x, y)
plot(x, y1)
plot(x, y2)
plot(x, y3)