一、堆（二叉堆）

堆是用来干什么的？

堆是用什么存储结构存储的？

1. 堆的概念

2. 堆的性质

3. 堆的存储方式

下标之间的规则：

4. 堆的基本操作

(1). 向下调整/堆化操作

(2).堆的创建

(3).堆的插入

(4).堆的删除

(5). 堆最主要的应用：优先级队列（假设小堆）

二、常用接口介绍

1. PriorityQueue的特性

2.PriorityQueue常用接口介绍

(1).优先级队列的构造

(2).插入/删除/获取优先级最高的元素

三、堆的应用

1.PriorityQueue的实现

2.堆排序

一、堆（二叉堆）

堆是用来干什么的？

在一组不断变化的（随时在添加，删除元素）集合中，快速找到 "最值" （最大值or最小值）。

堆是用什么存储结构存储的？

二叉树结构存储。假设使用线性链表结构进行维护，添加和删除的时间复杂度是O(1)，但是想找到此刻的最大值，只能进行遍历，时间复杂度为O(n)。

补充：二叉树是可以使用顺序结构进行维护的，但更适合完全二叉树。

1. 堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

2. 堆的性质

逻辑上一颗完全二叉树（不需要按照链式结构进行组织，所以没有结点的概念），而是采用顺序结构进行组织。
物理存储上表现为一个数组（顺序表数字+元素个数）。

同时要求这颗完全二叉树做到：

大堆——同时要求这颗完全二叉树，做到任取一个树上的元素，都大于等于其两个孩子的值。
小堆——这颗完全二叉树，做到任取一个树上的元素，都小于等于其两个孩子的值。

注意：物理视角——根本没有结点存在！

3. 堆的存储方式

堆是一颗完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储。

下标之间的规则：

假如我们已知一个元素的下标是[k]，则这个元素的左孩子的下标一定是[2 * k + 1]，右孩子的下标一定是[2 * k + 2]。
假如我们已知一个元素的下标是[k]，则这个元素的双亲的下标一定是：[(k - 1) / 2]。

PS：如果这个元素是其双亲的左孩子那么双亲下标：[(k - 1) / 2]；右孩子：[(k - 2) / 2]。但是向下取整就是((k - 1) / 2)（计算机中的除法本身就是向下取整）。

语言表达上使用树的概念：根，左孩子，右孩子，叶子...但是实际代码层面都是下标的处理，数组的处理。

4. 堆的基本操作

(1). 向下调整/堆化操作

a. 前提

完全二叉树基本已经满足堆的性质，只有进行操作的元素位置和其孩子的关系还不明确（也许满足，也许不满足），只有满足这个前提，才能进行向下调整操作。

要进行向下调整操作，需要：

满足前提的"堆"：long[] array，int size
要操作的位置：int index

b. 操作（以小堆为例）

前提："我" ：待调整元素，"我" 不是叶子—>"我" 有孩子。

步骤：

1. 找到最小的孩子（可能是左孩子可能是右孩子）

2. 比较"我"和最小孩子的大小

"我" <= 最小的孩子 —> 满足堆的性质，调整停止
"我" > 最小的孩子 —> 交换"我"和最小的孩子

3. 交换后，条件可能满足，可能不满足，若不满足，返回上述步骤，继续交换。

最坏情况："我“是根位置，最后调整至叶子位置。

图例：

向下调整：

代码参考（小堆）：

public void shiftDown(int[] array, int parent) {
    // child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右
    int child = 2 * parent + 1;
    int size = array.length;
    while (child < size) {
        // 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记
        if(child+1 < size && array[child+1] < array[child]){
            child += 1;
        }
        // 如果双亲比其最小的孩子还小，说明该结构已经满足堆的特性了
        if (array[parent] <= array[child]) {
            break;
        }else {
            // 将双亲与较小的孩子交换
            int t = array[parent];
            array[parent] = array[child];
            array[child] = t;
            // parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
    }
}

c.复杂度

数据规模n是size：

时间复杂度：完全二叉树的高度：O(log2(n))
空间复杂度：非递归：O(1)；递归：O(n)

(2).堆的创建

没有任何规律的数组（完全二叉树）变成一个堆：建堆的过程。

eg：对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 }，该如何调整为大堆？

代码参考：

public static void createHeap(int[] array) {
    // 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整
    int root = ((array.length-2)>>1);
    for (; root >= 0; root--) {
        shiftDown(array, root);
    }
}

所以构造出来的大根堆为：{8，7，6，5，1，3}。

建堆的时间复杂度：O(n)

(3).堆的插入

堆的插入总共需要两个步骤：

1. 先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)；

2. 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质。

图例（小堆）：

向上调整代码参考（大堆）：

public void shiftUp(int child) {
    // 找到child的双亲
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0) {
    // 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束
        if (array[parent] > array[child]) {
            break;
        } else{
        // 将双亲与孩子节点进行交换
            int t = array[parent];
            array[parent] = array[child];
            array[child] = t;
            // 小的元素向下移动，可能到值子树不满足对的性质，因此需要继续向上调增
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 1;
        }
    }
}

(4).堆的删除

注意：堆的删除一定删除的是堆顶元素。

具体如下：

1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换

2. 将堆中有效数据个数减少一个

3. 对堆顶元素进行向下调整

图例（小堆）：

(5). 堆最主要的应用：优先级队列（假设小堆）

a.操作

插入（向上调整）
删除（最后一个元素放置堆顶，向下调整）
查看堆顶元素

b.代码实现

public class MyPriorityQueue {
    // 演示作用，不再考虑扩容部分的代码
    private int[] array = new int[100];
    private int size = 0;

    //插入
    public void offer(int e) {
        array[size++] = e;
        shiftUp(size - 1);
    }

    //删除
    public int poll() {
        int oldValue = array[0];
        array[0] = array[--size];
        shiftDown(0);
        return oldValue;
    }
    
    //查看堆顶元素
    public int peek() {
        return array[0];
    }
}

二、常用接口介绍

1. PriorityQueue的特性

Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，这里主要介绍PriorityQueue。

关于PriorityQueue的使用要注意：

使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：

import java.util.PriorityQueue;

PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException异常。
不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException。
没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容。
插入和删除元素的时间复杂度为。
PriorityQueue底层使用了堆数据结构。
PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素。

2.PriorityQueue常用接口介绍

(1).优先级队列的构造

这里是PriorityQueue中常见的几种构造方式，具体可以查看帮助文档。

构造器	功能介绍
PriorityQueue()	创建一个空的优先级队列，默认容量是11
PriorityQueue(int initialCapacity)	创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意： initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异常
PriorityQueue(Collection<? extends E> c)	用一个集合来创建优先级队列

如果创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11 ，但是一般在创建优先级队列对象时，如果知道元素个数，建议就直接将底层容量给好，否则在插入时需要不断的扩容。
扩容机制：开辟更大的空间，拷贝元素，这样效率会比较低。

以下是JDK 1.8中，PriorityQueue的扩容方式：

private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;
    
private void grow(int minCapacity) {
    int oldCapacity = queue.length;
    // Double size if small; else grow by 50%
    int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?  
                      (oldCapacity + 2) :                                                                                                     
                      (oldCapacity >> 1));
    // overflow-conscious code
    if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)
        newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);
    queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);
}

private static int hugeCapacity(int minCapacity) {
    if (minCapacity < 0) // overflow
        throw new OutOfMemoryError();
    return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ?
        Integer.MAX_VALUE :
        MAX_ARRAY_SIZE;
}

优先级队列的扩容说明：

如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容

注意：默认情况下，PriorityQueue队列是小堆，如果需要大堆需要用户提供比较器（实现Comparator接口，然后重写接口中的compare方法即可）。

(2).插入/删除/获取优先级最高的元素

函数名	功能介绍
boolean offer(E e)	插入元素e，插入成功返回true，如果e对象为空，抛出NullPointerException异常，时间复杂度O(log2N) ，注意：空间不够时候会进行扩容
E peek()	获取优先级最高的元素，如果优先级队列为空，返回null
E poll()	移除优先级最高的元素并返回，如果优先级队列为空，返回null
int size()	获取有效元素的个数
void clear()	清空
boolean isEmpty()	检测优先级队列是否为空，空返回true