数学建模--优化类模型

news2024/11/25 1:06:07

目录

一、根据目标函数约束条件类型分类

1、线性规划

①线性规划模型的一般形式

​②用MATLAB优化工具箱解线性规划

 ③模型分析    

 2、非线性规划

①非线性规划的基本概念

②非线性规划的基本解法

③二次规划

④一般非线性规划 

二、控制变量类型分类

1、整数规划

①matlab编程

②模型求解

2、混合整数规划（MIP）

①matlab语法

②模型案例

3、0-1规划

①应用范围

②案例分析

③matlab代码如下：

三、其他分类方法

1、单目标规划与多目标规划

①理想点法

 ②线性加权和法

 ③最大最小值法

 ④目标规划法

 ⑤模糊数学求解方法

2、动态规划与静态规划

①动态规划思路

②最短路径规划

3、随机规划与确定规划

①随即规划

②案例分析

一、根据目标函数约束条件类型分类

1、线性规划

①线性规划模型的一般形式

目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。

4f598fa74f7f4464892f77e4cf08e3b0.png

0f5b5ff45ae7406386969dc308201dc3.png ②用MATLAB优化工具箱解线性规划

45f709f454f64d228880b96843309d51.png

966625e195c544fdb14fc2d54f1e9fe3.png

 ③模型分析    1e766a64c896487dabc303113009b7f8.png

    c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
    A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];
    b=[850;700;100;900];
    Aeq=[];
    beq=[];
    vlb=[0;0;0;0;0;0];
    vub=[];
    [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

   55923392e80143ffa5c30e0755c334e8.png

0d630580bd834b77abff913707dbd564.png 由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度.我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：

a=0;
while(1.1-a)>1
c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185];
Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065];
beq=[1];
A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026];
b=[a;a;a;a];
vlb=[0,0,0,0,0];
vub=[];
[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);
a
x=x'
Q=-val
plot(a,Q,'.')
axis([0 0.1 0 0.5])
hold on
a=a+0.001;
end 
xlabel('a'),ylabel('Q')

a = 0.0030  x = 0.4949      0.1200      0.2000       0.0545      0.1154      Q = 0.1266

a = 0.0060  x = 0               0.2400      0.4000       0.1091      0.2212      Q = 0.2019

a = 0.0080  x = 0.0000      0.3200      0.5333       0.1271      0.0000      Q = 0.2112

a = 0.0100  x = 0               0.4000      0.5843       0               0               Q =0.2190

a = 0.0200  x = 0               0.8000      0.1882       0               0               Q =0.2518

a = 0.0400  x = 0.0000      0.9901      0.0000       0               0               Q =0.2673

fd634e01812a49f1a603c4d5964751ef.png                 

 2、非线性规划

①非线性规划的基本概念

 定义   如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数,则最优化问题就叫做非线性规划问题

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②非线性规划的基本解法

 罚函数法：SUTM外点法、SUTM内点法（障碍罚函数法）

近似规划法

③二次规划

a016eb1a023d49d7a036bafea3aced78.png

   用MATLAB软件求解,其输入格式如下:

   1．x=quadprog(H,C,A,b);

   2．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);

   3．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);

   4．x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);

   5．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);

   6．[x,fval]=quaprog(…);

   7．[x,fval,exitflag]=quaprog(…);

   8．[x,fval,exitflag,output]=quaprog(…);

b04526b7122942c19a54f5e944e79922.png

 写成标准式：

c598387021f246d0b2b5471030578c19.png

H=[1 -1; -1 2]; 
c=[-2 ;-6];
A=[1 1; -1 2];  
b=[2;2];
Aeq=[];
beq=[];    
VLB=[0;0];VUB=[];
[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

 运算结果为：

x = 0.6667        1.3333
z = -8.2222

④一般非线性规划 

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1、首先建立M文件fun.m，用来定义目标函数F（X）:

2、若约束条件中有非线性约束：

G(X)或Ceq(X)=0，则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X):

function [G,Ceq]=nonlcon(X)

G=…

Ceq=…

3、 建立主程序.求解非线性规划的函数是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)  x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)  x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)  x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)

(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)

(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)  

11bdcaedce864f18999518712179b360.png

(6) [x,fval]= fmincon(…)

(7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…)

(8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)

4、例题解释

f2418c9e9c9344ea869219f9194cb500.png

 写成标准式：

96a134ac97334e168e365ff2e1b86b58.png

 先建立M-文件 fun3．m:

    function f=fun3(x);

    f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2

再建立主程序youh2．m：

 x0=[1;1];
 A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5];
 Aeq=[];beq=[];
 VLB=[0;0]; VUB=[];
 [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

运行结果为：

   x = 0．7647       1．0588
   fval =   -2．0294

二、控制变量类型分类

1、整数规划

①matlab编程

利用Matlab的线性规划指令：

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

编写计算整数规划函数，输入与输出与上述指令相同

分枝定界法（递归实现）

function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e)

%整数规划求解函数 intprog()

%     其中 f为目标函数向量

%     A和B为不等式约束 Aeq与Beq为等式约束

%     I为整数约束

%     lb与ub分别为变量下界与上界

%     x为最优解，fval为最优值

%例子:

%        maximize 20 x1 + 10 x2

%        S.T.

%                5 x1 + 4 x2 <=24

%                2 x1 + 5 x2 <=13

%                   x1, x2 >=0

%                   x1, x2是整数

% f=[-20, -10];

% A=[ 5  4; 2 5];

% B=[24; 13];

% lb=[0 0];

% ub=[inf inf];

% I=[1,2];

% e=0.000001;

% [x v s]= IP(f,A,B,I,[],[],lb,ub,,e)

% x = 4     1  v = -90.0000   s = 1



% 控制输入参数

if nargin < 9, e = 0.00001;

   if nargin < 8, ub = [];

      if nargin < 7, lb = [];

         if nargin < 6, Beq = [];

            if nargin < 5, Aeq = [];

               if nargin < 4, I = [1:length(f)];

               end, end, end, end, end, end

 

%求解整数规划对应的线性规划,判断是否有解

options = optimset('display','off');

[x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);

if exitflag < 0

    disp('没有合适整数解');

    x = x0;

    fval = fval0;

    status = exitflag;

    return;

else

    %采用分支定界法求解

    bound = inf;

    [x,fval,status] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);

end



子函数

function [newx,newfval,status,newbound] = branchbound(f,A,B,I,x,fval,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e)



% 分支定界法求解整数规划

% f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub与线性规划相同

% I为整数限制变量的向量

% x为初始解，fval为初始值

options = optimset('display','off');

[x0,fval0,status0]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);



%递归中的最终退出条件

%无解或者解比现有上界大则返回原解

if status0 <= 0 || fval0 >= bound

    newx = x;

    newfval = fval;

    newbound = bound;

    status = status0;

    return;

end



%是否为整数解,如果是整数解则返回

intindex = find(abs(x0(I) - round(x0(I))) > e);

if isempty(intindex)

    newx(I) = round(x0(I));

    newfval = fval0;

    newbound = fval0;

    status = 1;

    return;

end



%当有非整可行解时，则进行分支求解

%此时必定会有整数解或空解

%找到第一个不满足整数要求的变量

n = I(intindex(1));

addA = zeros(1,length(f));

addA(n) = 1;

%构造第一个分支 x<=floor(x(n))

A = [A;addA];

B = [B,floor(x(n))];

[x1,fval1,status1,bound1] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);

A(end,:) = [];

B(:,end) = [];

%解得第一个分支，若为更优解则替换，若不是则保持原状



status = status1;

if status1 > 0 && bound1 < bound

    newx = x1;

    newfval = fval1;

    bound = fval1;

    newbound = bound1;

else

    newx = x0;

    newfval = fval0;

    newbound = bound;

end



%构造第二分支

A = [A;-addA];

B = [B,-ceil(x(n))];

[x2,fval2,status2,bound2] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);   

A(end,:) = [];

B(:,end) = [];



%解得第二分支，并与第一分支做比较，如果更优则替换

if status2 > 0 && bound2 < bound

    status = status2;

    newx = x2;

    newfval = fval2;

    newbound = bound2;

end

②模型求解

利用上述指令求解下列问题：

汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量

 

小型

中型

大型

现有量

钢材（吨）

1

2

5

1000

劳动时间（小时）

250

125

150

120000

利润（万元）

3

5

12

 

1、若每月生产的汽车必须为整车，试制订月生产计划，使工厂的利润最大？

f = [-3 -5 -12];
A = [1 2 5;250 125 150];
B = [1000 120000];
I = [1:length(f)];
lb = [0 0 0];
[x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,[],[],lb)

答案为 x =307   344     1     fval = -2653      status =1

2、如果生产某一类型汽车，则至少要生产50辆，那么最优的生产计划应作何改变？

lb = [50 50 50]

答案为  x =350   200    50     fval =-2.6500e+003     status =1

2、混合整数规划（MIP）

①matlab语法

x = intlinprog(f, intcon,A,b)
x = intlinprog(f , intcon,A,b,Aeq, beq)
X=intlinprog(f , intcon, A, b, Aeq, beq,1b,ub)
x = intlinprog(f, intcon,A, b,Aeq, beq, lb, ub,x0)
x = intlinprog(f, intcon, A, b,Aeq, beq,lb, ub, x0, options)
x = intlinprog(problem)
[x, fval, exitflag,output] = intlinprog(__)

f、x、intcon、lb、beq、Ib和ub是向量，A和Aeq是矩阵

②模型案例

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f = [8;1];%确定目标函数系数
intcon = 2;%理解为两个受x受到整数限制
A = [-1,-2;
    -4,-1;
    2,1];%构造不不等式左边系数矩阵
b = [14;-33;20];%构造不等式右边矩阵
x = intlinprog(f,intcon,A,b)

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%案例二
clear all
clc
% 编写目标函数向量和由整数变量组成的向量。
f = [-3;-2;-1];
intcon = 3;
% 编写线性不等式约束。
A = [1,1,1];
b = 7;
% 编写线性等式约束。
Aeq = [4,2,1];
beq = 12;
% 编写边界约束。
lb = zeros(3,1);%等效于lb=[0;0;0]
ub = [Inf;Inf;1]; %强制x(3)为一个固定1
%调用intlinprog
x = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

当x2 = 5 , x3 = 1 , x1 = 0 最值为−12 

3、0-1规划

①应用范围

0-1线性规划模型一般被用于指派问题上面

②案例分析

 [x,f]= L01p_e(c,A,b,N)用枚举法求解下列
  0-1线性规划问题
 min f=c'*x, s.t. A*x<=b,x的分量全为整数0或1,
 其中N表示约束条件 Ax ≤ b中的前N个是等式，N= 0时可以省略。
 返回结果x是最优解，f是最优解处的函数值。
  
例 max f=3x1+5x2+2x3+4x4+2x5+3x6
 s.t. 8x1+13x2+6x3+9x4+5x5+7x6<=24, x1,…,x6均为0或1
求解
c=-[3,5,2,4,2,3];a=[8,13,6,9,5,7];b=24;
x=L01p_e(c,a,b)

L01p_e(c,a,b)

③matlab代码如下：

function [x,f]=L01p_e(c,A,b,N)
if nargin<4,N=0;end
c=c(:);b=b(:);
[m,n]=size(A);x=[];f=abs(c')*ones(n,1);i=1;
while i<=2^n
   B=de2bi(i-1,n)';
   t=A*B-b;t11=find(t(1:N,:)~=0);
   t12=find(t(N+1:m,:)>0);t1=[t11;t12];
   if isempty(t1)
      f=min([f,c'*B]);
      if c'*B==f,x=B;end
   end
   i=i+1;
end

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0-1线性规划和整数规划的示例

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 f=[-6,-2,-3,-5];
A=[-3,5,-1,-6;1,1,1,-1;1,2,4,5;];
b=[-4,3,10];
intcon=[1,2,3,4];
lb=zeros(4,1);
ub=ones(4,1);
[x,y]=intlinprog(f,intcon,A,b,[],[],lb,ub);
x,y=-y
plot(x,'--ok');

结果为：

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三、其他分类方法

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1、单目标规划与多目标规划

①理想点法

 3a362d609a0e4831bfc2eecaa7e9ea73.png

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 ②线性加权和法

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 ③最大最小值法

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 ④目标规划法

7df065a079b1493298f6f0702c5c81ec.png

 ⑤模糊数学求解方法

d7b7be04d0c140488c68e65a681c60f7.png

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2、动态规划与静态规划

①动态规划思路

1、找到状态和选择，确定当前状态和转换

2、明确dp数组/或函数的定义，即dp数组保存了啥信息（dp数组一般是一维或二维）

3、寻找状态之间的关系，当前状态如何根据上一状态和一些已知信息得到（状态转换方程）

②最短路径规划

import matplotlib.pyplot as plt
import pylab as pl
import connmysql
import pandas as pd

sql2 = "SELECT id, distance,duration FROM  trafic"
checklist = connmysql.getdata(sql2)
ids=[]
for i in range(0,len(checklist)):
    ids.append(checklist[i][0])
time_dataframe = pd.DataFrame(columns=['distance','duration'], index=ids)
# print(time_dataframe)
for i in range(0,len(checklist)):
    id=checklist[i][0]
    time_dataframe.at[ids[i],'distance'] = float(checklist[i][1])#distance
    time_dataframe.at[ids[i], 'duration'] = float(checklist[i][2] ) # distance
# id='100001-100002'
# print(time_dataframe.at[id,'distance'])
# print(time_dataframe.at['100001-100002','duration'])
# list=['100002','100003','100004','100005','100006']
        #基于动态规划求得最短路径，计算量会比较小，速度较快
list = ['100002', '100003', '100004', '100005', '100006']
# 基于动态规划求得最短路径，计算量会比较小，速度较快
routelist=[]
route_distance=[]
for j in range(0,len(list)-1):
    print('mm',j)
    print('he1', routelist)
    print('he2', route_distance)
    ids = []
    distances, routes = {}, {}
    for i in range(0, len(list)):
        if len(routelist)==0:#当里面还没有目标在时
            id = list[0] + '-'+list[i]
            if list[i]!=list[0]:
                ids.append(id)
        else:
            if list[i] not in routelist :#计算过的点不再重复计算
                id =  routelist[j]+ '-'+list[i]
                ids.append(id)
    print('he3',ids)
    for k in range(0, len(ids)):
        distances[ids[k]] = time_dataframe.at[ids[k], 'distance']
    print('he4',distances)
    route1 = sorted(distances.items(), key=lambda item: item[1])  # 将最小距离取出来
    route_distance.append(route1[0])
    # routes[route1[0][0]] = route1[0][1]  # key:100002-100006,values: 3929.0,,保存离最后一个点的最优路线
    print('he5',route1)
    a=route1[0][0].split('-')
    if a[0] not in routelist:
        routelist.append(a[0])
    if a[1] not in routelist:
        routelist.append(a[1])
    print('he6', routelist)
print('he',routelist)

3、随机规划与确定规划

①随即规划

运用随机动态规划的分析方法，求解随机动态规划模型的最优解是一种比较常见的数学建模问题。例如，在实际应用中，经常会遇到某些多阶段决策过程中出现随机因素的情况，而动态规划的方法也可以处理这种随机性问题。

②案例分析

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 分析并假设

此问题中价格是一个随机变量，是按照某种已知的概率分布规律取值的。可以将采购期限内的5周看做5个阶段（即需要每周做一次决策，自然也可以每天做一次决策而将之更加细致地分为35个阶段，则问题便成了在每个阶段进行决策是否购进原料，以期使原料的采购价格的期望值达到最小。

在实际应用中，经常会遇到某些多阶段决策过程中出现随机因素的情况。用动态规划的方法也可以处理这种随机性问题。不过此时状态转移不能完全确定，而是按照某种已知的概率分布取值，具有这种性质的多阶段决策过程就称之为随机性的决策过程，此时运用的动态规划也就相应的被称为随机动态规划。

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 模型的建立和求解e9f9045464ba4ce580de09f28add3b45.png

 e093c3869c384ae28cd21259cfa73a4d.png

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 结论与分析

 由以上逆推计算得结果可知，最优的采购策略序列为{,,,,}u1u2u3u4u5。根据u1，u2，3u的表达式可知，在第1、2、3周时，若价格为500时，就应采购；而在价格为600或者700时则应采取等待观望的态度。

由u4的表达式得，在第4周，若价格为500或者600时就应该采购，而在价格为700时则等待观望。

若在前4周都采取了等待观望策略，则在第5周，无论什么价格都必须采购（u5=1）。

 

 

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