0401概述-最短路径-加权有向图-数据结构和算法(Java)

news2024/10/6 12:24:13

文章目录

    • 1 最短路径
    • 2 最短路径的性质
    • 3 加权有向图的数据结构
      • 3.1 加权有向边
      • 3.2 加权有向图
    • 4 最短路径
      • 4.1 最短路径API
      • 4.2 最短路径的数据结构
      • 4.3 边的松弛
      • 4.4 顶点的松弛
    • 结语

1 最短路径

如图1-1所示，一幅加权有向图和其中的一条最短路径：

在这里插入图片描述

定义：在一幅加权有向图中，从顶点t到顶点s的最短路径是所有从s到t的路径中权重最小者。

**单点最短路径。**给定一幅加权有向图和一个起点s，回答“从s到给定目的顶点v是否存在一条有向路径？如果有，找出最短（总权重最小）的那条路径。“等类似问题。

2 最短路径的性质

最短路径问题的基本定义很简单，但是有些问题需要我们解决：

  • **路径上有向的。**最短路径需要考虑到各条边的方向。
  • **权重不一定等价于距离。**权重可以表示时间、花费等，也不一定 和距离的远近成正比。
  • **并不是所有顶点都是可达的。**如果t并不是从s可达的，那么就不存在任何路径，也就不存在从s到t到最短路径。为了简化问题，我们的样图都是强连通的。
  • **父权重会使问题更复杂。**我们暂时假设边的权重都是正的（或零），父权重在后面讨论。
  • 最短路径一般都是简单的。我们的算法会忽略构成环的零权重边，因此找到的最短路径都不会含有环。
  • **最短路径不一定是唯一的。**从一个顶点到达另一个顶点的权重最小的路径可能有多条，我们只要找到其中一条即可。
  • **可能存在平行边或自环。**平行边中的权重最小者才会被选中，最短路径也不可能包含自环（除非自环的权重为零，但我们会忽略它）。为零避免歧义我们隐式地假设平行边不存在，用v->w表示从v到w到边。

我们的重点是单点最短路径问题，其中给出起点s，计算的结果是一棵最短路径树（SPT），它包含了顶点s到所有可达到顶点的最短路径。如图2-1所示：

在这里插入图片描述

给定一幅加权有向图和一个顶点s，以s为起点的一颗最短路径树树图的一幅子图，它包含s和从s可达的所有顶点。这颗有向树的根结点为s，树中的每条路径都是有向图中的一条最短路径。

3 加权有向图的数据结构

3.1 加权有向边

有向边的数据结构比无向边简单，因为有向边只有一个方向，这里定义了from()和to()方法，API如下表3.1-1所示：

public classDirectedEdge
publicDirectedEdge(int v, int w, double weight)
public doubleweight()边的权重
public intfrom()指出这条边的顶点
public intto()这条边指向的顶点
public StringtoString()对象的字符串表示

有向边DirectedEdge源代码3.1-1如下所示：

package edu.princeton.cs.algs4;
/**
 *  有向边
 */

public class DirectedEdge { 
    /**
    * 边的起点
    */
    private final int v;
    /**
    * 边的终点
    */  
    private final int w;
    /**
    * 边的权重
    */  
    private final double weight;

    /**
     * 初始化权重weight，从顶点v指向w的有向边
     * @param v 边的起点
     * @param w 边的终点
     * @param weight 边的权重
     */
    public DirectedEdge(int v, int w, double weight) {
        if (v < 0) throw new IllegalArgumentException("Vertex names must be non-negative integers");
        if (w < 0) throw new IllegalArgumentException("Vertex names must be non-negative integers");
        if (Double.isNaN(weight)) throw new IllegalArgumentException("Weight is NaN");
        this.v = v;
        this.w = w;
        this.weight = weight;
    }

    /**
     * 返回边的起点
     * @return 边的起点
     */
    public int from() {
        return v;
    }

    /**
     * 边的终点
     * @return 边的终点
     */
    public int to() {
        return w;
    }

    /**
     * 边的权重
     * @return 边的权重 
     */
    public double weight() {
        return weight;
    }

    /**
     * 边的字符串表示
     * @return 边的字符串表示
     */
    public String toString() {
        return v + "->" + w + " " + String.format("%5.2f", weight);
    }
}

3.2 加权有向图

加权有向图API如下表3.2-1所示：

public classEdgeWeightedDigraph
publicEdgeWeightedDigraph(int V)初始化含有V个顶点的空有向图
publicEdgeWeightedDigraph(In in)从输入流读取取构造加权有向图
public intV()顶点总是
public intE()边的总数
public voidaddEdge(DirectedEdge e)添加一条有向边
public Iterable<DirectedEdge>adj(int v)从v指出的边
public Iterable<DirectedEdge>eges()该有向图的所有边
public StringtoString加权有向图的字符串表示

加权有向图EdgeWeightedDigraph 源代码3.2-1如下所示：

package edu.princeton.cs.algs4;

import java.util.NoSuchElementException;

/**
 *  加权有向图
 */
public class EdgeWeightedDigraph {
    private static final String NEWLINE = System.getProperty("line.separator");

    /**
    * 顶点总数
    */  
    private final int V;
  
    /**
    * 边的总数
    */  
    private int E;
  
    /**
    * 顶点指出的边
    */  
    private Bag<DirectedEdge>[] adj;
  
    /**
    * 入度
    */  
    private int[] indegree;
    
    /**
     * 初始化V个顶点的空有向图
     *
     * @param  V 顶点数
     */
    public EdgeWeightedDigraph(int V) {
        if (V < 0) throw new IllegalArgumentException("Number of vertices in a Digraph must be non-negative");
        this.V = V;
        this.E = 0;
        this.indegree = new int[V];
        adj = (Bag<DirectedEdge>[]) new Bag[V];
        for (int v = 0; v < V; v++)
            adj[v] = new Bag<DirectedEdge>();
    }

    /**
     * 初始化v个顶点e条边的加权有向图
     *
     * @param  顶点总是
     * @param  边的总数
     */
    public EdgeWeightedDigraph(int V, int E) {
        this(V);
        if (E < 0) throw new IllegalArgumentException("Number of edges in a Digraph must be non-negative");
        for (int i = 0; i < E; i++) {
            int v = StdRandom.uniform(V);
            int w = StdRandom.uniform(V);
            double weight = 0.01 * StdRandom.uniform(100);
            DirectedEdge e = new DirectedEdge(v, w, weight);
            addEdge(e);
        }
    }

    /**  
     * 从输入流读取数据初始化加权有向图
     *
     * @param  输入流
     */
    public EdgeWeightedDigraph(In in) {
        if (in == null) throw new IllegalArgumentException("argument is null");
        try {
            this.V = in.readInt();
            if (V < 0) throw new IllegalArgumentException("number of vertices in a Digraph must be non-negative");
            indegree = new int[V];
            adj = (Bag<DirectedEdge>[]) new Bag[V];
            for (int v = 0; v < V; v++) {
                adj[v] = new Bag<DirectedEdge>();
            }

            int E = in.readInt();
            if (E < 0) throw new IllegalArgumentException("Number of edges must be non-negative");
            for (int i = 0; i < E; i++) {
                int v = in.readInt();
                int w = in.readInt();
                validateVertex(v);
                validateVertex(w);
                double weight = in.readDouble();
                addEdge(new DirectedEdge(v, w, weight));
            }
        }   
        catch (NoSuchElementException e) {
            throw new IllegalArgumentException("invalid input format in EdgeWeightedDigraph constructor", e);
        }
    }

    /**
     * 用一个加权有向图初始化加权有向图
     *
     * @param  加权有向图G
     */
    public EdgeWeightedDigraph(EdgeWeightedDigraph G) {
        this(G.V());
        this.E = G.E();
        for (int v = 0; v < G.V(); v++)
            this.indegree[v] = G.indegree(v);
        for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
            // reverse so that adjacency list is in same order as original
            Stack<DirectedEdge> reverse = new Stack<DirectedEdge>();
            for (DirectedEdge e : G.adj[v]) {
                reverse.push(e);
            }
            for (DirectedEdge e : reverse) {
                adj[v].add(e);
            }
        }
    }

    /**
     * 顶点总数
     *
     * @return 顶点总是
     */
    public int V() {
        return V;
    }

    /**
     * 边的总数
     *
     * @return 边的总数
     */
    public int E() {
        return E;
    }

    /**
    * 校验顶点v
    */
    private void validateVertex(int v) {
        if (v < 0 || v >= V)
            throw new IllegalArgumentException("vertex " + v + " is not between 0 and " + (V-1));
    }

    /**
     * 添加一条有向边e
     *
     * @param  e 有向边e
     */
    public void addEdge(DirectedEdge e) {
        int v = e.from();
        int w = e.to();
        validateVertex(v);
        validateVertex(w);
        adj[v].add(e);
        indegree[w]++;
        E++;
    }


    /**
     * 顶点v的指出边
     *
     * @param  v 顶点v
     * @return 顶点v指出的边
     */
    public Iterable<DirectedEdge> adj(int v) {
        validateVertex(v);
        return adj[v];
    }

    /**
     * 顶点v的出度
     *
     * @param  v 顶点v
     * @return 顶点v的出度
     */
    public int outdegree(int v) {
        validateVertex(v);
        return adj[v].size();
    }

    /**
     * 顶点v的入度
     *
     * @param  v 顶点v
     * @return 顶点v的入度
     */
    public int indegree(int v) {
        validateVertex(v);
        return indegree[v];
    }

    /**
     * 所有边
     *
     * @return 所有边
     */
    public Iterable<DirectedEdge> edges() {
        Bag<DirectedEdge> list = new Bag<DirectedEdge>();
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            for (DirectedEdge e : adj(v)) {
                list.add(e);
            }
        }
        return list;
    } 

    /**
     * 加权有向图的字符串表示
     * @return 加权有向图的字符串表示
     */
    public String toString() {
        StringBuilder s = new StringBuilder();
        s.append(V + " " + E + NEWLINE);
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            s.append(v + ": ");
            for (DirectedEdge e : adj[v]) {
                s.append(e + "  ");
            }
            s.append(NEWLINE);
        }
        return s.toString();
    }
}

加权有向图示意图3.2-1如下所示：

在这里插入图片描述

4 最短路径

4.1 最短路径API

public classSP
publicSP(EdgeWeightedDigraph G, int s)构造函数
public doubledistTo(int v)从顶点s到顶点v的距离，不存在路径为无穷大
public booleanhasPathTo(int v)是否存在从顶点s到v的路径
public Iterable<DirectedEdge>pathTo(int v)从顶点s到v的路径，不存在为null

4.2 最短路径的数据结构

表示最短路径 所需的数据结构很简单，如下图4.2-1所示：

在这里插入图片描述

  • 最短路径树中的边。使用一个由顶点索引的DirectedEdge对象的父链接数组edgeTo[],其中edgeTo[v]的值为连接v和它的父结点的边。
  • 到达起点的距离。由顶点索引的distTo[],其中distTo[v]表示从起点s到v的已知最短路径的长度。

我们约定edgeTo[s]为null，distTo[s]值为0。同时约定，从起点到不可达到顶点的距离均为Double.POSITIVE_INFINITY。

4.3 边的松弛

我们的最短路径API的实现都基于一个被称为松弛的操作。

  • 边的松弛。放松边v->w意味着检查从s到w到最短路径是否是先从s到v，然后在由v到w。如果是，则根据这个情况更新数据结构的内容。由v到w到最短路径是distTo[v]与e.weight()之和-如果这个值小于distTo[w],称这条边失效了并将它忽略；如果这个值更新，就更新数据。代码实现4.3-1如下所示：

        private void relax(DirectedEdge e) {
        int v = e.from(), w = e.to();
        if (distTo[w] > distTo[v] + e.weight()) {
            distTo[w] = distTo[v] + e.weight();
            edgeTo[w] = e;
        }
    }

如下图4.3-1所示：

在这里插入图片描述

显示的是边的放松操作之后可能出现的两种情况。一种情况边失效（做边的例子），不更新任何数据；另外一种情况是v->w到达w的最短路径（右边的例子），这将会更新edgeTo[w]和distTo[w]。

4.4 顶点的松弛

实际上，实现会放松从一个顶点这出的所有边。从任意distTo[v]为有限值的顶点v指向任意distTo[]为无穷的顶点的边都是有效的。如果v被放松，那么这些有效边都会被添加到edgeTo[]中。某条从起点指出的边将会是第一天被加入edgeTo[]中的边。算法会谨慎选择起点，使得每次顶点松弛操作都能得出到达某个顶点的更短路径，最好逐渐找出到达某个顶点的最短路径。

顶点松弛代码4.4-1如下所示：

private void relax(EdgeWeightedDigraph G, int) {
	for(DirectedEdge e: G.adj(v)) {
		int w = e.to();
		if(distTo[w] > distTo[v]+ e.weight) {
			distTo[w] = distTo[v] + e.weight;
			edgeTo[w] = e;
		}
	}
}

结语

如果小伙伴什么问题或者指教，欢迎交流。

❓QQ:806797785

⭐️源代码仓库地址：https://gitee.com/gaogzhen/algorithm

参考链接:

[1][美]Robert Sedgewich,[美]Kevin Wayne著;谢路云译.算法：第4版[M].北京：人民邮电出版社，2012.10.p412-419.

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