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本文收录于算法与数据结构体系专栏,本专栏对于0基础者极为友好,欢迎与我一起完成算法与数据结构的从0到1的跨越

一、前情回顾

• 👉传送门:1 详解线性查找法
• 👉传送门:2 线性查找的优化
• 👉传送门:3 线性查找的测试
• 👉传送门:4 循环不变量与复杂度分析

二、常见的时间复杂度

1.常见的时间复杂度

1.1 $O(n)$级别

✳️以线性查找法为例，对一个规模为n的数组做了一遍循环，时间复杂度叫做O(n)级别的

 public static <E> int search(E[] data, E target){
	for(int i = 0; i < data.length; i ++)
		if(data[i].equals(target))
			return i;
	return -1;
    }

1.2 $O(n^2)$级别

• ❓提问： 一个数组中的元素可以组成哪些数据对?

for(int i = 0; i < data.length; i ++)
	for(int j = i + 1; j < data.length; j ++)
		//获得一个数据对(data[i],data[j])

• 🙋回答： 使用双重循环来遍历这个数组，这个算法的时间复杂度是$O(n^2)$级别的

  • *️⃣虽然是$O(n^2)$级别的，但是这两重循环总共的执行的次数并不是$n^2$那么多次，差不多是$n^2/2$这么多次
    • 每次j是从i+1开始的，遍历的数据对的i一定是小于j的，因为我们对于数据对的设计，认为(data[i],data[j])与(data[j],data[i])是一样的，所以大概扔掉了一半这样的数据对

• ✅但是对于这个算法，依然说它是$O(n^2)$级别的，因为前面的1/2它也是常数，对于算法复杂度的分析来说常数不重要

1.3 🚩复杂度分析,定要明确n是什么

• ❓提问： 遍历⼀个$n\ast n$ 的⼆维数组

for(int i = 0; i < n; i ++)
	for(int j = 0; j < n; j ++)
		// 遍历到 A[i][j]

• ⬆️这二维数组的两个维度，两个维度都为n，从这样的一个视角看，算法的时间复杂度是$O(n^2)$级别的

• ⬇️假如是一个$a\ast a$的二维数组，且$a\ast a=n$，这个二维数组的维度变成了a，这个二维数组中的元素总个数是n

for(int i = 0; i < a; i ++)
	for(int j = 0; j < a; j ++)
		// 遍历到 A[i][j]

• ➡️对于这个算法复杂度来说，实际上它是一个$O(a^2)$级别的算法，因为这个二位数组的维度变成了a，如果要使用n来表示的话，这个算法的时间复杂度就是$O(n)$级别的(因为$a\ast a=n$)

• ✴️同样是一个二维循环，一个是$O(n^2)$级别的，一个是$O(n)$级别的——因为 n代表的意思不一样，前者的n表示的是这个二位数组的某一个维度是n，后者的n表示的是二维数组的元素总数为n

1.4 $O(logn)$级别

• ❓提问： 求某一个十进制数字n所对应的二进制的位数是多少

while(n){
	n % 2; // n 的⼆进制中的⼀位
	n /= 2;
}
//每一次n % 2的的操作的结果都是0或者是1，
//这就是n的二进制的某一位

• ⌛️时间复杂度： 这个算法的时间复杂度是$O(logn)$级别，更严谨的说，对于当前这个算法应该是$O(lo{g}_{2}n)$，因为n每次都是除以2，相当于看这个数字n能够被多少次除以2之后结果等于0

如果给一个数字n，求这个数字n所对应的十进制的表示的那个位数——比如16这个数所对应的十进制的表示就是1和6，如何可以求出来？求十进制的某一位，应该是n对10求余数，然后n除以10——这个算法的时间复杂度应该是$O(lo{g}_{10}n)$

• ✴️不管是$O(lo{g}_{2}n)$还是$O(lo{g}_{10}n)$，或者是任意一个底数，通常管它叫做$O(logn)$级别的算法——省略掉底数是因为对于$log$函数来说，不同的底数之间其实相差的只是一个常数而已

简单的使用换底公式做一下数学推导：
换底公式:$$\boxed{lo{g}_{a}b=\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}}$$
令a=2,b=n,c=10,代入换底公式 $$lo{g}_{2}n=\frac{lo{g}_{10}n}{lo{g}_{10}2}$$
💡很明显，$lo{g}_{2}n$与$lo{g}_{10}n$之间就差了一个$\frac{1}{lo{g}_{10}2}$，和n没有关系，
✔️对于算法复杂度分析来说常数不重要，因此$lo{g}_{2}n$与$lo{g}_{10}n$是同一个复杂度
✔️同理，$log$以任何数为底，都是一个复杂度——叫做$O(logn)$级别的复杂度，也就是常说的对数复杂度

• 🚩看一个算法的复杂度，不能简单的去数循环的个数
  • 比如下面⬇️这个循环也是一重循环，并不是$O(n)$级别的复杂度，因为在这重循环中n每次都是在除以2，并非如同每次减1一个一个的减到0，而是每次除2直到0，是$logn$的级别到达了0，因此不是$O(n)$级别的复杂度，而是$O(logn)$级别的复杂度

while(n){
	n % 2; // n 的⼆进制中的⼀位
	n /= 2;
}

1.5 $O(log\sqrt{n})$级别

• ❓提问： 求解数字n的所有的约数——所谓一个数字a是n的约数，代表n可以将a给整除

• 🙋方法1： 遍历从1到n中的每一个数，i可以被n整除的情况下，i是n的一个约数

  • ✅这个算法是一个$O(n)$级别的算法，对于这个问题进行优化
  • ☑️优化： 一个数字的约数总是成对出现的，比如对于数字10，2是10的一个约数，用10除以2得到了5，5肯定也是10的一个约数

for(int i = 1; i <= n; i ++) 
	if(n % i == 0)
	// i 是 n 的⼀个约数

• 🙋方法2： 其实对于这个i来说，不需要遍历到≤n，当$i\ast i>n$的时候，就可以了
  • 这种循环，循环的次数就少了很多
  • ✅这个算法的时间复杂度是$O(log\sqrt{n})$
    • *️⃣因为遍历的次数是1 ~ $\sqrt{n}$，当i为$\sqrt{n}$的时候，就退出了循环

for(int i = 1; i * i <= n; i ++)
	if(n % i == 0)
	// i 和 n / i 是 n 的两个约数
	//实际上还有`i == n / i`这种情况，这种特殊的情况只找到了一个约数

1.6 指数级别的复杂度$O(2^n)$

• ❓提问： 求出长度为n的所有二进制数字，如长度为3的二进制数字共有8个，分别是0~7

• ✅这个算法的时间复杂度是$O(2^n)$，

  • *️⃣因为长度为n，相当于共有n个位置，每个位置填0或1，整体就是$2^n$个情况

1.7 阶乘级别的复杂度$O(n!)$

• ❓提问： 求一个长度为n的数组的所有排列

• ✅用到了数学中的全排列公式，时间复杂度是$O(n!)$

  • 因为所有的排列的个数就是$n!$

1.8 常数级别的复杂度$O(1)$

• ❓提问： 判断一个数字n是否是偶数

return n % 2 == 0
//没有余数它就是一个偶数

• ✅这个算法的时间复杂度是$O(1)$，因为不管n有多大，只需要执行一个指令/判断，就能判断出它是否是偶数，这个算法和n的具体的大小无关
  • 即使这个算法要执行10条指令，如果我们这个算法要执行10条指令，那么它也是一个$O(1)$级别的算法，因为执行的指令的个数与n的大小无关，它还是一个常数

1.9 常见时间复杂度的比较

$O(1)<O(logn)<O(log\sqrt{n})<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(2^n)<O(n!)$

2.空间复杂度

• 和时间复杂度完全是同理的，对于一个算法而言，需要开辟的额外的空间的大小和数据规模n之间的关系是怎样的？

• ✳️以线性查找为例，并没有开任何额外的空间，因此算法的空间复杂度就是$O(1)$级别的

 public static <E> int search(E[] data, E target){
	for(int i = 0; i < data.length; i ++)
		if(data[i].equals(target))
			return i;
	return -1;
    }

• ✅通常来讲，在算法设计的过程中，不太强调空间复杂度，现在计算机内存越来越大，相较而言时间是更值钱的，很多算法设计的核心思想是用空间换时间